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浙教版数学八年级下册第4-5章综合题（一）
期末专题一（教师版）
1.如图1，平面直角坐标中，O为坐标原点，点A、C都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是60．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点E、F分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点F坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在的延长线上，连接，点M是的中点，连接、、，点N在上，连接，，连接并延长交y轴于点P，连接，当时，求点N坐标．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ 轴， 轴，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴设 ，则 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：
延长 交 于G，
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴
取 中点H，连接 ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵M是 中点，H是 的中点，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴
∴ ，
∴ 是 中位线，
∴ 轴
∴ ，
∴
连接 ， 为 斜边中线，
∴ ，
∴
又∵N是 中点，
∴
在x轴负半轴上取 ，连接 ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ， ，
∴
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2.如图，为的中位线，在外取点F，连接，，，与相交于点，，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
3.如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E
求证：；
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴.
4.定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．
（1）如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形
（2）如图1， ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．
①求证：四边形ABCE是准等边四边形；
②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；
（3）如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C=90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．
（1）解：由图可知：AB＝AC，
∴只要作CD或BD中至少一条与AB相等就可，
故作图（1），由四种画法．
（2）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
由旋转得：CD＝CE，
∴AB＝BC＝CE，
∴四边形ABCE是准等边四边形.
②延长EC至点H，
∵BC＝CE＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，
∴∠DCH＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∠BCH＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，
∴∠DCH﹣∠BCH＝6∠CED﹣2∠CEB＝2∠BED，
∴∠BCD＝4∠BED，
由①得：∠ACB＝∠ACD，
∴∠BCD＝2∠ACB，
（3）解：如图（3），过点B作DC的平行线，过点D作BC的平行线，交于点F，过A作BC的平行线，交BF于点K，
∵BF⊥BC，DF⊥CD，
∴四边形BCDF是矩形，
∵CD＝BC，
∴四边形BCDF是正方形，
∴DF＝FB＝AB＝2，
∵∠ABC＝150°，∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝∠AFB＝60°，AF＝FB＝DF，
∴∠AFD＝∠AFB+∠BFD＝150°，∠FAD＝∠FDA，
∴∠FAD＝ （180°﹣150°）＝15°，
∴∠DAB＝∠FAB﹣∠FAD＝60°﹣15°＝45°，
∴∠KAB＝30°，
∵AB＝2，
∴BK＝GC＝3，
∴AK＝ ，
∴AG＝AK+KG＝+6，
∴GD＝CD﹣GC＝2﹣1＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC＝
∴∠DAB＝45°，四边形ABCD的面积为3+
5.如图，在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为点E，F．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
6.如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接．
求证：四边形是平行四边形；
证明：∵，，
∴，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
在△ABE和△CDF中，，
∴，
∴，
∴四边形AECF为平行四边形；
7.如图，在四边形中，，，，，垂足分别为，.
求证：；
证明：，，
，
，，
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浙教版数学八年级下册第4-5章综合题（一）
期末专题（一）（学生版）
1.如图1，平面直角坐标中，O为坐标原点，点A、C都在坐标轴上，，连接，，矩形的面积是60．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点E、F分别在线段、上，，连接，当四边形是平行四边形时，求点F坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在的延长线上，连接，点M是的中点，连接、、，点N在上，连接，，连接并延长交y轴于点P，连接，当时，求点N坐标．
2.如图，为的中位线，在外取点F，连接，，，与相交于点，，．
求证：四边形是平行四边形．
3. 如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E
求证：；
4.定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．
（1）如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形
（2）如图1， ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．
①求证：四边形ABCE是准等边四边形；
②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；
（3）如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C=90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．
5.如图，在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为点E，F．
求证：．
6.如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接．
求证：四边形是平行四边形；
7.如图，在四边形中，，，，，垂足分别为，.
求证：；
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