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浙教版数学八年级下册第4-5章综合题（二）
期末专题二（教师版）
1.在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2.
①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长.
②探究BH与AF的数量关系，并给予证明.
（1）证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
∴DF＝BE，且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4；
故答案为：BE＝4.
②AF＝BH，
理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，
∴△HMC≌△CND（AAS）
∴HM＝CN，
∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，
∴∠BHM＝∠DBC＝45°，
∴BM＝HM，
∴BH＝HM，
∵AD＝BC，DF＝BE，
∴AF＝EC＝2CN，
∴AF＝2HM＝BH.
故答案为：AF＝BH
2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD是　 　．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；
【参考答案】；
（1）平行四边形
（2）解：把A（n，3） 代入 y＝ 中，得3n=3，
∴n=1，
∴A（1，3），
∴OA=，
∵ 四边形ABCD是矩形 ，
∴OB=OA=，
∴m=；
（3）不能，理由如下：
∵点A在第一象限，B在x轴上，
∴∠AOB＜90°，即得AC与BD不可能垂直，
∴ 四边形ABCD不能成为菱形 ；
3.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：
以下平面图形中，是等邻角四边形得是 　 　．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ ▲ °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
【参考答案】；
（1）②④
（2）解：①∵∠A＝120°，∠B＝100°，
根据“等邻角四边形”定义可知：当∠C＝∠D，
∴∠D＝（360°﹣120°﹣100°）÷2＝70°，
当∠A＝∠D＝120°时，∠D＝120°，
当∠B＝∠C＝100°时，∠D＝360°﹣200﹣120°＝40°
故答案为：70或120或40；
②证明：∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：
过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，如图：
∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，
∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，
∴四边形PMHG是矩形，
∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，
∴∠B＝∠GPC，
∵∠B＝∠NCP，
∴∠GPC＝∠NCP，
∵PN⊥CD，
∴∠PGC＝∠CNP＝90°，
在△PGC和△CNP中，
，
∴△PGC≌△CNP（AAS），
∴CG＝PN，
∴PM+PN＝HG+CG＝CH，
即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，是定值．
4.如图，等边中，，动点，分别是边，上的两个点，且满足，以，为邻边构造，记的长为
（1）　 　（含的代数式表示）；
（2）当点分别落在，的角平分线上时，求对应的的值；
（3）作的角平分线，交于，当恰好平分的面积时，　 　．（请直接写出答案）
【参考答案】；
（1）m+1
（2）解：当点F落在∠BAC的平分线上时，如图1，作∠BAC的平分线交BC于点G，
是等边三角形，，
，，，
，，
，且点F在AG上，
，
，
，，
，
解得；
当点F落在∠ABC的平分线上时，如图2，作∠ABC的平分线交AC于点H，
，，，
，，，
，
，
，
，
解得，
综上所述，m的值分别为和；
（3）
5.如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若的面积与的面积比为4：1，，求的长．
（1）证明：如图，连接BD，则BD、AC、MN相交于点O，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌ODN（ASA），
；
，
四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，AM=CM，
四边形AMCN是菱形
（2）解：的面积与的面积比为4：1，
，
即，
，
，
由面积公式得：，
即，
．
6.定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边不重复相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．
（1）如图，在边长为的正方形网格中，、、在格点小正方形的顶点上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”要求：、在格点上；
（2）下列说法正确的有　 　；填写所有正确结论的序号
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点．
①若，求证：“准菱形”是菱形；
②在①的条件下，连接，若，，，求四边形的面积．
（1）解：如图3③所示，四边形 即为所求；
如图3④所示，四边形 即为所求；
（2）①②③④
（3）解：①证明：
在△ACF 和△ECF中，
∴△ACF ≌△ECF（SSS） ，
， ，
，
， ，
， ，
准菱形ACEF是平行四边形，
，
准菱形ACEF是菱形；
②如图⑤，取AC的中点G ，连接BG 、DG 、BD ，
四边形ACEF是菱形，
，
， ， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
菱形ACEF的面积为： ．
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期末专题（二）（学生版）
1.在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2.
①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长.
②探究BH与AF的数量关系，并给予证明.
2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD是　 　．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；
3.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：
以下平面图形中，是等邻角四边形得是 　 　．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ ▲ °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
4.如图，等边中，，动点，分别是边，上的两个点，且满足，以，为邻边构造，记的长为
（1）　 　（含的代数式表示）；
（2）当点分别落在，的角平分线上时，求对应的的值；
（3）作的角平分线，交于，当恰好平分的面积时，　 　．（请直接写出答案）
5.如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若的面积与的面积比为4：1，，求的长．
6.定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边不重复相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．
（1）如图，在边长为的正方形网格中，、、在格点小正方形的顶点上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”要求：、在格点上；
（2）下列说法正确的有　 　；填写所有正确结论的序号
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点．
①若，求证：“准菱形”是菱形；
②在①的条件下，连接，若，，，求四边形的面积．
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