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§10.3 电势差与电场强度的关系
新课标物理必修3
电 场 力
电场强度.电场线
电势.电势差.等势面
电 势 能
电场
知识结构
电场力的性质
电场能的性质
？
如图，表示某一匀强电场的等势面和电场线。
沿场强方向选取A、B两点，设A、B两点间的距离为d，电势差为UAB，场强为E;把正电荷q由A点移动到B点，则电场力所做的功：
从力的角度：
从能的角度：
由上两式得:
Ｗ=Fd
Ｗ= qUAB
UAB=Ed
d
A
B
E
在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积。
=qEd
一、电势差与电场强度的关系
怎样将电势差、场强联系起来？
思考与讨论：
A
B
L
如图，在匀强电场E中，有相距为L的A、B两点，两点连线与场强方向成α角。则A、B两点间的电势差为 U=EL，对不对？
E
α
Bˊ
d
从力的角度：
ＷAB=FLcosα
从能的角度：
ＷAB=qUAB
由上两式得：
UAB=ELcosα
=qELcosα
∴ UAB=ELcos= Ed
沿曲线从A运动到B结果是否改变？
UAB=Ed与移动的路径无关
在非匀强电场中有没有这样的表达式？电势差与路径有没有关系？
不变
没有
d是两点沿场强方向的距离。
d
A
B
E
A
B
L
E
α
Bˊ
d
将正电荷从B移到A，如何求两点间的电势差？
UBA=-UAB=-Ed
注意：U=Ed和E =U/d的适用条件是：
（1）匀强电场
（2）d是两点沿场强方向的距离。
或：E=UAB/d（计算式）
2、在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差。
UAB=Ed
1、在匀强电场中两点间的电势差等于场强与这两点沿电场方向的距离的乘积。
小结
问题:
沿AB、AC、AD三个方向，哪个电势降落得快？
A
B
d
q
E
C
L
3、场强E的方向是电势降落最快的方向。
D
单位长度内沿哪个方向电势降得多？
(适用所有电场)
4、电场强度三个公式的区别：
区别
公式
公式含义
适用范围
E =
F
q
E = k
Q
r2
E =
U
d
是电场强度的定义式
任意电场
是真空中点电荷电场的场强计算公式
真空中点电荷电场
是匀强电场的场强的计算公式
匀强电场
问题：非匀强电场中，等差等势面之间的距离相等吗？
结论：等差等势面密处场强大，等势面疏处场强小。
可以用U=Ed 来定性判断非匀强电场问题.
推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示.
技巧点拨
练习1．如图所示，a、b、c、d是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知a、b、c 三点的电势分别为φa=15V，φb=3V，φc=－3V，由此可得d点的电势等于多少伏？
a
b
c
d
·
·
Φ=-3V
Φ=9V
方法2：延长ab
方法3：连接bd,ac交点为O，
Φo=6V,Ubo=Uod=3V,Φd=9V
方法1:Uad=Ubc, Φd=9V 或Uab=Ucd, Φd=9V
练习2.如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V, 点B处的电势为3 V, 则电场强度的大小为 ( )
A. 200V/m B.
C. 100 V/m D.
O
x(cm)
y(cm)
A(6,0)
B(0, )
●
●
A
d=1.5cm=1.5×10-2m
E=U/d=200V/m
方法1：找等势面
方法2：电场强度的合成与分解法
Ex=UOA/dOA=100V/m，方向沿-x方向
Ey=UOB/dOB≈173V/m，方向沿-y方向
【类演】一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
O
x/cm
2
4
6
8
4
6
2
y/cm
a
c
b
ABD
（1）负电、－0.2J；（2）104V；
（3）106v/m
练习3. 如图所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们间距为2cm ，两点的连线与场强方向成60°角。将一个不知道电荷性质，电量为2×10-5C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.2J。求：
（1）判断电荷带正电还是负电？由A到B电场力做的功WAB？
（2）A、B两点的电势差UAB为多少？
（3）匀强电场的场强的大小？
如图所示,匀强电场中三点A、B、C是三角形的三个顶点，∠ABC=∠CAB=30°,BC= ，已知电场线平行于△ABC所在的平面，一个带电荷量q=－2×10-6C的点电荷由A移到B的过程中，电势能增加1.2×10-5J，由B移到C的过程中，电场力做功6×10-6J，求：
⑴A、C两点的电势差UAC
⑵该电场的场强E
（1）3V （2）1V/m 由A指向B
如图所示，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA＝60°，OB＝ 1.5OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q(q>0)，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g.求
(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
(2)电场强度的大小和方向．
A
B
O
60°
三、电场中的图像问题
考向一　E-x图像
(1)E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律.（要注意题干中有没有规定场强的正方向）
(2)E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低根据电场方向判定.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况.
解析
C
例1.空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示．下列说法中正确的是(　　)A．O点的电势最低B．x2点的电势最高C．x1和－x1两点的电势相等D．x1和x3两点的电势相等
【练】 (多选)空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示。－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图象关于坐标原点O中心对称(取+x方向为场强正方向)，下列说法中正确的是(　　)
A.－x1处的电势比x1的电势高
B.将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小
C.将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力
作用，它将在－x1和x1之间往复运动
D.负电荷在这四个点中位于x2处电势能最大
BC
解析　根据题意，电场关于x轴对称分布，作出电场线如图所示。根据顺着电场线电势降低，则O电势最高，从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等。则－x1处的电势与x1处的电势相等，故A错误；
将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小，选项B正确；
－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，选项C正确；
在这四个点中，x3点的电势最低，则负电荷在四个点中位于x3处电势能最大，选项D错误。
考向二　φ-x图像
(1)φ-x图线的斜率绝对值表示电场强度的大小,在φ-x图线切线的斜率为零处,电场强度为零.
(2)由φ-x图像可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向.
(3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用公式WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后做出判断.
.电场中常见的φ－x图象
两个等量异种点电荷连线上的φ－x图象
例1　(多选)两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图象如图11所示，其中P点电势最高，且xAPA.q1和q2都是负电荷
B.q1的电荷量大于q2的电荷量
C.在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧
移到右侧，电势能先减小后增大
D.一点电荷只在电场力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小
AC
解析　由题图知，越靠近两点电荷，电势越低，则q1和q2都是负电荷，故A项正确；
φ－x图象的切线斜率表示电场强度，则P点场强为零，据场强的叠加知两点电荷在P处产生的场强等
由题图知，在A、B之间沿x轴从P点左侧到右侧，电势先增加后减小，则负点电荷的电势能先减小后增大，故C项正确；
（多选）两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，不计重力，则(　　)
A．A、N点的电场强度大小为零
B．NC间场强方向向x轴正方向
C．将一正点电荷静止放在x轴负半轴，它将一直做加速运动
D．将一负点电荷从N点移动到D点，电场力先做正功后做负功
CD
考向三　Ep-x图像、Ek-x图像
　　电场力做功等于电势能的减少量,而电场力做功就是力对位移的积累,由Ep0-Ep=Fx,得Ep=Ep0-Fx,故Ep-x图像的斜率大小表示电场力大小,纵截距表示初电势能;合力做功等于动能的增加量,如果带电粒子只受电场力的作用,则合力做的功就是电场力做的功,由Ek-Ek0=Fx,得Ek=Ek0+Fx,故Ek-x图像的斜率表示电场力,纵截距表示初动能.然后根据两图像斜率的变化可判断出电场力的变化,进而判断出电场强度的变化.
例 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动,其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示,其中0~x2段是关于直线x=x1对称的曲线,x2~x3段是直线,则下列说法正确的是(　　)
A.x1处电场强度最小,但不为零
B.粒子在0~x2段做匀变速运动,在x2~x3段做匀速运动
C.在0、x1、x2、x3处的电势φ0、φ1、 φ2、φ3的关系
为φ3>φ2=φ0>φ1
D.x2~x3段的电场强度大小、方向均不变
D
[解析] 根据ΔEp=qΔφ,E=,可得ΔEp=qEΔx,由数学知识可知Ep-x图像切线的斜率表示qE,x1处切线斜率为零,则x1处电场强度为零,故A错误;
由图像可看出,0~x1段图像切线的斜率绝对值不断减小,则电场强度减小,粒子所受的电场力减小,加速度减小,做非匀变速运动,x1~x2段图像切线的斜率不断增大,则电场强度增大,粒子所受的电场力增大,做非匀变速运动,x2~x3段图像切线
的斜率不变,则电场强度不变,即电场强度大小和方向均不变,粒子
所受的电场力不变,做匀变速运动,故B错误,D正确;
根据Ep=qφ,粒子带负电,q<0,电势能越大,则粒子所在处的电势越低
,所以φ1>φ2=φ0>φ3,故C错误.
考向四　电场分布结合v-t图像
　　根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度的变化),可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况,进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化.
光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示．一质量m＝1 g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点(图中未画出)，其运动过程的v－t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定(　　)
A．中垂线上B点电场强度最大
B．A、B两点之间的位移大小
C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧
D．UBC>UAB
AD

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