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第三十三讲：函数的奇偶性
【教学目标】
1.了解函数奇偶性的定义；
2掌握判断和证明函数奇偶性的方法；
3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题；
4.掌握用奇偶性求解析式的方法；
5.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
【基础知识】
一、奇偶函数的定义
偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
注意点：①函数的奇偶性是函数的整体性质；②先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数；③偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；④若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0；⑤若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．
二、奇偶性求函数解析式
用奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
三、奇偶性与单调性的关系
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同．
四、常见函数的奇偶性结论
奇函数：关于原点对称，且，若时，；
常见奇函数：1、（为奇数）；2、；
3、，即；4、；
5、；6、，即
偶函数：关于轴对称，且；
常见的偶函数：1、（为偶数）；2、
3、，即；4、；5、（为常数）
即为奇函数，又为偶函数；
奇偶性的运算
奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇+偶=非
奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇
复合函数的奇偶性
内偶则偶；内奇同外
【题型目录】
考点一：函数奇偶性的判断
考点二：利用函数奇偶性求值
考点三：利用函数奇偶性求解析式
考点四：奇偶性求特殊函数值
考点五：奇偶性与单调性比较大小
考点六：奇偶性求解不等式
【考点剖析】
考点一：函数奇偶性的判断
例1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．，
变式训练2．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：利用函数奇偶性求值
例2．已知是奇函数，且当时，，则（ ）
A．－2 B．－14 C．2 D．14
变式训练1．已知是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．4 B． C．7 D．
变式训练2．设是定义在上的奇函数，则＝（ ）
A． B． C． D．
变式训练3．为奇函数，为偶函数，且则（ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
考点三：利用函数奇偶性求解析式
例3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
变式训练1．已知为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3．已知函数是奇函数，当时，，则______．
考点四：奇偶性求特殊函数值
例4．已知，则等于（ ）
A．8 B． C． D．10
变式训练1．函数且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
变式训练2．已知函数，且，则______．
变式训练3．已知函数，且，则______．
考点五：奇偶性与单调性比较大小
例5．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3．若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________.
考点六：奇偶性求解不等式
例6．奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练1．若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是_______.
变式训练2．设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3．已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.
【课堂小结】
1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
(3)利用奇偶性求函数的解析式．
(4)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：特值法、转化法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称；解不等式易忽视函数的定义域.
【课后作业】
1．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称
C．坐标原点对称 D．直线対称
2．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．， B．
C． D．，
3．下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ）
A． B． C．0 D．2
5．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（ ）
A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
8．（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是偶函数 D．是偶函数
9．（多选）下列函数中，即是奇函数，又是（0，+∞）增函数的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．是图像的一条对称轴
D．在上单调递增
11．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域是
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
12．函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
14．定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
16．（多选）已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
17．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第三十三讲：函数的奇偶性答案
【教学目标】
1.了解函数奇偶性的定义；
2掌握判断和证明函数奇偶性的方法；
3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题；
4.掌握用奇偶性求解析式的方法；
5.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
【基础知识】
一、奇偶函数的定义
偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
注意点：①函数的奇偶性是函数的整体性质；②先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数；③偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；④若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0；⑤若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．
二、奇偶性求函数解析式
用奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
三、奇偶性与单调性的关系
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同．
四、常见函数的奇偶性结论
奇函数：关于原点对称，且，若时，；
常见奇函数：1、（为奇数）；2、；
3、，即；4、；
5、；6、，即
偶函数：关于轴对称，且；
常见的偶函数：1、（为偶数）；2、
3、，即；4、；5、（为常数）
即为奇函数，又为偶函数；
奇偶性的运算
奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇+偶=非
奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇
复合函数的奇偶性
内偶则偶；内奇同外
【题型目录】
考点一：函数奇偶性的判断
考点二：利用函数奇偶性求值
考点三：利用函数奇偶性求解析式
考点四：奇偶性求特殊函数值
考点五：奇偶性与单调性比较大小
考点六：奇偶性求解不等式
【考点剖析】
考点一：函数奇偶性的判断
例1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；
对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；
对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.
故选：C
变式训练1．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】B
【详解】选项A：令，则定义域为，
则，则为奇函数.判断错误；
选项B：令，则定义域为R，
则，则是偶函数.判断正确；
选项C：定义域关于原点不对称是非奇非偶函数.判断错误；
选项D：，定义域关于原点不对称是非奇非偶函数.判断错误.
故选：B
变式训练2．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是；
对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是；
对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是；
对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.
故选：A
变式训练3．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，是偶函数，当时是增函数；
对于B，是偶函数，当时是增函数；
对于C，，不是偶函数；
对于D，设，则，，
当时，，，是偶函数，
当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；
故选：D.
考点二：利用函数奇偶性求值
例2．已知是奇函数，且当时，，则（ ）
A．－2 B．－14 C．2 D．14
【答案】B
【详解】因为是奇函数，所以．
故选：B.
变式训练1．已知是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．4 B． C．7 D．
【答案】A
【详解】当时，，
因为是上的奇函数，所以，
所以.
故选：A.
变式训练2．设是定义在上的奇函数，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，即，且，故，所以，
所以，则.
故选：B.
变式训练3．为奇函数，为偶函数，且则（ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【答案】A
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
则
所以
两式相加可得，即
故选：A.
考点三：利用函数奇偶性求解析式
例3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
【答案】
【详解】由于函数是上的奇函数，则.
当时，，
设，则，则，
所以.
综上所述，.
故答案为：
变式训练1．已知为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时，，则，
又因为是偶函数，所以.
故选：B.
变式训练2．已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，，所以，则，
结合已知解析式知：.
故选：D
变式训练3．已知函数是奇函数，当时，，则______．
【答案】
【详解】由函数是上的奇函数，得，
而当时，，
所以有，
综上所述，，
故答案为：
考点四：奇偶性求特殊函数值
例4．已知，则等于（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】C
【详解】函数的定义域为R，
令函数，显然，
即函数是R上的奇函数，因此，即，而，
所以.
故选：C
变式训练1．函数且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【详解】由，令，
则，，
故是奇函数，
所以，
所以．
故选:A．
变式训练2．已知函数，且，则______．
【答案】
【详解】由，得，
构建函数，定义域为，
则，即是奇函数，
于是，所以，
可得，
又，因此．
故答案为：
变式训练3．已知函数，且，则______．
【答案】2024
【详解】构造具有奇偶性的函数，由，得，
构建函数，定义域为，
因为
所以函数是偶函数，所以，
所以，
从而，又，
因此.
故答案为：2024
考点五：奇偶性与单调性比较大小
例5．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】偶函数的定义域为，则，，
当时，是减函数，故，
即.
故选：B
变式训练1．已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由知，在上单调递增，
∵是奇函数，则在上单调递增，
由，可得，B错误，D正确；
虽然由题意可得在，上单调递增，但是由已知条件无法判断是否在定义域内单调递增，则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立；
故选：D.
变式训练2．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为时，恒成立，
所以，
所以在上单调递增，
因为是偶函数，
所以的图象关于对称，
因为，，，
因为，
所以，即，
所以．
故选：A．
变式训练3．若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________.
【答案】
【详解】由于在上是偶函数，所以，
因为，函数在上时增函数，所以，所以.
故答案为：
考点六：奇偶性求解不等式
例6．奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在定义域上为奇函数，
所以，
又函数在定义域上是减函数，
所以，解得.
故选：A
变式训练1．若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】∵偶函数在上为增函数，
∴在上为减函数，
则不等式，即，
两边平方化简得，，解得或.
故实数的取值范围为.
故答案为：
变式训练2．设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数，
且，函数图像示意图如图所示：
故不等式，即，即，
结合的示意图可得它的解集为或
故选：D．
变式训练3．已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.
【答案】
【详解】解：因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立，
所以，即，
又因为，所以在上是单调递减函数，
则有恒成立，即恒成立，
令，，则，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【课堂小结】
1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
(3)利用奇偶性求函数的解析式．
(4)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：特值法、转化法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称；解不等式易忽视函数的定义域.
【课后作业】
1．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称
C．坐标原点对称 D．直线対称
【答案】C
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称.
故选：C
2．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【详解】函数，，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，A选项错误；
函数，，，，函数不是偶函数，B选项错误；
函数，定义域为R，，函数是奇函数，C选项错误；
函数，，定义域关于原点对称，，函数为偶函数，D选项正确．
故选：D
3．下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，且在定义域内有恒成立，特别地，若在时有定义，则有，
对于A，的定义域为，不满足要求，故A错误；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以是奇函数，故B正确；
对于C，因为，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，因为，，即，
所以不是奇函数，故D错误.
故选：B.
4．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【详解】因为是奇函数，
所以有
即.
故选：A
5．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（ ）
A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
【答案】A
【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数，
则函数在区间也为增函数，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
故选：A.
6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】当时，函数，
当时，；当时，，
所以函数在上的值域为
因为是上的奇函数，所以的值域为，
所以的最小值是.
故选：A.
7．（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
【答案】AD
【详解】选项A：
设，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，
，所以为偶函数，故A正确；
选项B：
，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误；
选项C：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以为偶函数，故C错误；
选项D：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，，
因为是不恒为0的函数，
所以不恒成立，所以不是奇函数，，
因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，
所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，
故选：AD.
8．（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】ABD
【详解】因为满足，所以是偶函数；
因为满足，所以是偶函数，
因为满足，所以是奇函数；
因为满足，所以是偶函数；
故选：ABD．
9．（多选）下列函数中，即是奇函数，又是（0，+∞）增函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】选项A不具有奇偶性；
选项B是奇函数，在上单调递增；
选项C，记，则，，，函数在上不是增函数；
选项D，函数是奇函数，在上是增函数，
故选：BD．
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．是图像的一条对称轴
D．在上单调递增
【答案】BD
【详解】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误；
当时，，B正确；
因为，不是图像的对称轴，C错误；
因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确.
故选：BD
11．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域是
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
【答案】D
【详解】对于选项A，要使函数有意义，需满足，解得，所以的定义域为，故选项A正确；
对于选项B，当时，；当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立；综上，，即的值域是，故选项B正确；
对于选项C，的定义域为，，所以是奇函数，故选项C正确；
对于选项D，当时，，令，则变为.
由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，所以；又在上单调递减；所以在单调递增，在单调递减，故选项D错误.
故选：D
12．函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数是定义在上的奇函数且单调递减，
可化为
则，解之得
故选：C
13．已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【详解】由任意的，（），都有可知在单调递减，
由于是定义在上的偶函数，所以在单调递增，
由得，平方可得，解得或，
故选：A
14．定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为在上单调递减，且，
所以，当时，；当时，.
又因为为定义在上的偶函数，
所以在上单调递增，且，
所以，当时，；当时，.
综上所述，当时，；当或时，.
由可得，或.
由可得，，解得；
由可得，，解得.
所以满足的的取值范围是.
故选：C.
15．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，
又在上单调递增，且，
所以的大致图象如图所示．
由可得，，
由于在分母位置，所以，
当时，只需，由图象可知；
当时，只需，由图象可知；
综上，不等式的解集为．
故选：D
16．（多选）已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【详解】由题设，且，又在R上单调递减，
所以，即，符合要求的x值为C、D.
故选：CD
17．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对任意的，，，所以，函数的定义域为，
，则函数为偶函数，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
则等价为，即，
平方得，即，解得.
故所求的取值范围是．
故选：B.

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