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通关练18 平面向量的极化恒等式问题
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，满足，，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【详解】由平行四边形模拟得
2．（2023·全国·高一专题练习）已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先根据题意，将其转换为如图1所示的图形，令，，，不妨设，取中点，再根据极化恒等式，由此可知取到最小时，取最小值，此时，，三点共线，设，则，又，再根据余弦定理可得，由此即可求出结果.
【详解】如图1：
令，，，不妨设
取中点，由，可得，由极化恒等式得；
要求的最小值，即最小时取到；显然，此时，，三点共线，如图2：
设此时，
因为
由余弦定理可知：
所以，即.
故选:A.
【分析】本题考查平面向量的模、数量积及其几何意义，同时考查了极化恒等式、考查学生运用转化思想，函数思想解题能力．还考查学生的数学运算能力，本题属于难题．
3．（2022·全国·高一专题练习）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案.
【详解】如图，取的中点D，
由极化恒等式可得：，
同理，，由于，
则，所以，
因为，D是的中点，于是.
故选：D.
4．（2022·全国·高一专题练习）在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
取中点，由极化恒等式得，，
所以当，最小，则，即．
故选C．
5．（2022·全国·高一专题练习）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用极化恒等式求解即可.
【详解】
取OC中点D，由极化恒等式得
又，∴的最小值为．
故选:C.
6.（2023·全国·高一专题练习）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.
【详解】
如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
二、填空题
7．（2022·重庆·统考模拟预测）已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为__________.
【答案】##0.75
【分析】根据题意，记线段的中点为，由且，可得点到直线的距离为，由，根据向量的运算代入求解即可.
【详解】记线段的中点为，点到直线的距离为，
则有，解得，
由极化恒等式可得：
.
故答案为：.
8．（2023秋·广东·高一统考阶段练习）在中，，动点在内，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】依题意可得点是的中点，设是的中点，利用极化恒等式得到，即可得解；
【详解】解：∵
∴点是的中点
∴
设是的中点，由极化恒等式得
，即的最小值为
故答案为：
9．（2023秋·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习）设.若平面上点P满足，对于任意,有，则的最小值为________，此时________.
【答案】 6
【详解】由可知点P到直线AB的距离为3.
设AB的中点为O.由极化恒等式得：
.
此时.
10．（2023秋·山西吕梁·高一山西省孝义中学校校考阶段练习）如图，矩形中，，，是矩形内的动点，且点到点距离为1，则的最小值为________．
【答案】
【分析】将数量积转化成计算，只要观察圆上哪个点到最近即可算得结果.
【详解】取的中点为，则
则
为圆弧上一点，由图形可知，到的距离最小为三点共线的时候，即在位置时，
故
故答案为：
【分析】本题用了极化恒等式求解数量积的最值问题，将数量积的最小值问题转化成求距离的最小值问题，体现了转化与化归的数学思想，
11．（2023·全国·高一专题练习）在中，则_________.
【答案】
【分析】直接构造极化恒等式的结构，即可求解.
【详解】解析：即为和的和向量；即为和的差向量，所以原问题可转化成两向量和向量模与两向量差向量模的比.再观察条件，若利用极化恒等式可将原条件转化如下：.所以，所以，即.所以.
故答案为：3
12．（2022·全国·高一专题练习）如图，在梯形中，已知，若是线段上的动点，当取最小值时，与的夹角为___________.
【答案】##
【分析】根据极化恒等式可得转化为求最小即可得解.
【详解】取线段的中点，如图，
由极化恒等式可知：
,
要使最小，则最小，此时，
,
,
,,
,
,
,
, 即，
由于，故与重合，
此时与的夹角为
故答案为：
13．（2022·全国·高一专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由题意可得四边形是菱形，然后利用极化恒等式可得到，，即可求得答案
【详解】由得，
所以四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形，
易得是等边三角形，所以，
设四边形对角线的交点为E，，
由极化恒等式得，
，
所以，
因为是圆内一点，所以，所以，即.
故答案为：
14．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________．
【答案】-4
【分析】利用向量数量积的极化恒等式求解
【详解】取MN中点E，由向量数量积的极化恒等式，
∴，
∴，∴．
故答案为：-4.
15．（2022·全国·高一专题练习）设G为△ABC的重心，若，AB=4，则的取值范围为_________.
【答案】
【分析】连接并延长交于，先由求出，再结合极化恒等式求出，
结合即可求出的取值范围.
【详解】
由可得，连接并延长交于，则为的中点，且，
在中，，则，，即，
，又，
即，故.
故答案为：.
16．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考期末）如图,在平面四边形中, 是对角线的中点,且，. 若,则的值为____________.
【答案】36
【详解】分析：利用极化恒等式可快速解决此题
详解：如图，O为BC中点， (1) (2)
把(1)式和(2)式两边平方相减得：该结论称为极化恒等式
所以在本题中运用上述结论可轻松解题，
所以
所以
分析：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大大简化，要注意应用.
17.（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ．
【答案】
【详解】（为的中点），因，所以，所以
18.（2023·全国·高一专题练习）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解.
【详解】
如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，.
故答案为：.
19.（2023·全国·高一专题练习）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，，，应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得，即可求最小值.
【详解】
由题设，，取的中点，连接，，，
则，，
所以.
故答案为：
20.（2023·全国·高一专题练习）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .
【答案】
【解析】
【分析】
首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可.
【详解】
在上取一点，使得，取的中点，连接，，
如图所示：
则，，，
，即.
，
当时，取得最小值，此时，
所以.
当与重合时，，，
则，
当与重合时，，，
则，
所以，即的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
21．（2023春·浙江杭州·高一统考期中）在中，内角的对边分别为,且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若,求的取值范围;
（Ⅲ）若,求的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理将整理变形即可得到的值（Ⅱ）由,得，作于点,设有向线段长为,则=，结合图形可知取值范围是（Ⅲ）设线段中点为D, 可知=，所以取值范围
试题解析：（Ⅰ）因为：
所以：展开后得：
故=,即
（Ⅱ）由,得外接圆直径,且点在优弧上任意运动.
由图：于点,设有向线段长为,则=
由图可知：
（Ⅲ）设线段中点为D,由图可知
由极化恒等式：==
所以：
考点：1.三角形余弦定理；2.向量的三角形法则；3.数形结合法
22．（2023·全国·高一专题练习）阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD=BC=3，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由极化恒等式知，代入即可得出答案.
（2）因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，解两个方程求出，再因为，代入即可得出答案.
【详解】（1）由极化恒等式知．
（2）设，，
因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，所以
解得m=2，n=3，
所以．通关练18 平面向量的极化恒等式问题
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，满足，，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．（2023·全国·高一专题练习）已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2022·全国·高一专题练习）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一专题练习）在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一专题练习）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2023·全国·高一专题练习）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．5 D．4
二、填空题
7．（2022·重庆·统考模拟预测）已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为__________.
8．（2023秋·广东·高一统考阶段练习）在中，，动点在内，则的最小值为___________.
9．（2023秋·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习）设.若平面上点P满足，对于任意,有，则的最小值为________，此时________.
10．（2023秋·山西吕梁·高一山西省孝义中学校校考阶段练习）如图，矩形中，，，是矩形内的动点，且点到点距离为1，则的最小值为________．
11．（2023·全国·高一专题练习）在中，则_________.
12．（2022·全国·高一专题练习）如图，在梯形中，已知，若是线段上的动点，当取最小值时，与的夹角为___________.
13．（2022·全国·高一专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________．
14．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________．
15．（2022·全国·高一专题练习）设G为△ABC的重心，若，AB=4，则的取值范围为_________.
16．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考期末）如图,在平面四边形中, 是对角线的中点,且，. 若,则的值为____________.
17.（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ．
18.（2023·全国·高一专题练习）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
19.（2023·全国·高一专题练习）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________.
20.（2023·全国·高一专题练习）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .
三、解答题
21．（2023春·浙江杭州·高一统考期中）在中，内角的对边分别为,且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若,求的取值范围;
（Ⅲ）若,求的取值范围.
22．（2023·全国·高一专题练习）阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD=BC=3，求的值；
(2)若，，求的值．

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