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上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（2023高一下·宝山期末）在复数范围内，的所有平方根为　 　
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：设z=a+bi(a，b∈R) ，则 .
由z2=-4可得，
由2ab=0可得，a=0 或b=0 .
当a=0时，有b2=4 ，解得b=±2 ， z=±2i；
当b=0时，有a2=-4，显然不成立.
综上所述， z=±2i .
故答案为： z=±2i.
【分析】设z=a+bi(a，b∈R) ，求出由z2，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案.
2．（2023高一下·宝山期末）若幂函数为奇函数，则该函数的表达式　 　
【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解：由 为幂函数，得 为 ，解得m=5或m=0，
当m=5时，f(x)=x6 ，函数f(x)是偶函数，不符合题意，
当m=0时，f(x)=x ，函数f(x)是奇函数，符合题意，
所以f(x)=x，
故答案为：f(x)=x .
【分析】根据给定的条件，利用幂函数与奇函数的定义，结合性质求解作答.
3．（2023高一下·宝山期末）无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，该定点坐标为　 　
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当x-3=0 ，即x=3时，恒有a3-3=1，此时y=2，所以定点坐标位（3，2），故答案为：（3，2）.
【分析】由已知可知x-3=0 ，求解代入，即可得出答案.
4．（2023高一下·宝山期末）若，则　 　（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】解：由 ， 得
所以
故答案为：
【分析】利用对数的换底公式，结合对数运算性质求解作答.
5．（2023高一下·宝山期末）若向量、满足，，则　 　
【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：由，，得，
所以，
故答案为：.
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.
6．（2023高一下·宝山期末）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式 等价于(x+1)(x-1)<0 ，解得-1解|x-a|<2可得a-2因为 ， 所以 ，
故答案为：.
【分析】根据分式不等式与整式不等式的关系求解出 ，根据绝对值不等式的运算解出 .然后根据集合的运算关系，列出不等式组，求解即可得出答案.
7．（2023高一下·宝山期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则　 　
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由，则直线OP的方程为y=5x ，设其倾斜角为α ，即 ，
由tanα=5 ，则 ，
故答案为： .
【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.
8．（2023高一下·宝山期末）已知关于的一元二次方程有两个虚根、，且，则实数的值为　 　
【答案】
【知识点】复数的基本概念；二分法求方程的近似解；一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得 ，依题意2k-3<0， 即 ，
解得 ，而 ，
即 ，
整理得k2+2k-8=0 ，
解得k=-4或k=2 ，而
所以实数k的值为-4，
故答案为： -4.
【分析】求出方程的两个虚根x1，x2，再利用复数的乘方运算求解作答.
9．（2023高一下·宝山期末）函数的部分图像如图所示，则　 　
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由已知可得，所以T=π，，
所以，
又因为f(x)在处取得最大值，
所以有，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】根据图象推出T=π，，然后根据最大值，结合的取值范围，求出，代入，求解即可得出答案.
10．（2023高一下·宝山期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为　 　km（精确到0.1km）
【答案】5.8
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，有AB=5，AD=7，∠ABD=60°，
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB BDcos∠ABD，
即49=25++BD2-2×5×BD×，
整理可得BD2-5BD-24=0，
解得BD=8或BD=-3（舍去），
在中，有BD=8，∠CBD=23°，∠BCD=117°，
所以∠BCD=180°-∠CBD-∠BCD=40°，
由正弦定理可得(km)，
故答案为：5.8
【分析】在中，根据余弦定理求出BD=8，然后在，先求出∠BCD=40°，然后根据正弦定理，即可求出答案.
11．（2023高一下·宝山期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是　 　
【答案】
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，则，即，，
由，则如图：
点在劣弧上，即线段AP扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为S，
易知，在四边形ABOC中对角线AO⊥BC，
则四边形ABOC的面积，
在 BOC中，，解得∠BOC=，
扇形的面积，
故S=S'-S''=.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案.
12．（2023高一下·宝山期末）已知函数，有以下命题：
①函数的最小正周期为；
②函数在上为增函数；
③直线是函数图像的一条对称轴；
④函数在上有三个零点；
⑤函数的最小值为.
请写出正确命题的全部序号　 　
【答案】①③⑤
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的奇偶性与对称性；函数的零点；正弦函数的零点与最值；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：①：，
当时，，则，
根据函数y=sinx在上单调递增，可得此时f(x)单调递减；
当时，，则，
根据函数y=sinx在上单调递增，可得此时f(x)单调递增；
故①正确；
②：由①可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，故②不正确；
③：，
，
由，则直线是函数的对称轴，故③正确；
④：当时，，
则，根据函数y=sinx在上单调递增，可得此时y=f(x)-1单调递增，
由，则函数y=f(x)-1在存在唯一零点；
当时，
则，根据函数y=sinx在上单调递减，可得此时y=f(x)-1单调递减，
由，则函数在y=f(x)-1在存在唯一零点；
易知
综上：函数y=f(x)-1在上有两个零点，故④不正确；
⑤：由①可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数f(x)的最小值为f(0)=-1，
因为由①可知，函数f(x)的最小正周期为π，所以f(x)min=-1，故⑤正确.
故答案为：①③⑤.
【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（2023高一下·宝山期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：由aab>0，A正确；
由a-b>0，则，B错误；
由a由a故选：A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
14．（2023高一下·宝山期末）欧拉公式（其中e是自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：由题意得，
则其在复平面对应的点坐标为，即该点在第四象限.
故选：D.
【分析】根据欧拉公式，写出复数的标准形式，利用三角函数的诱导公式，求得点的坐标，可得答案.
15．（2023高一下·宝山期末）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量数乘的运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：，
所以，
所以，
故选：D.
【分析】利用平面向量的线性运算求出即可.
16．（2023高一下·宝山期末）在中，已知，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b ，
因为sinB=cosAsinC，即sin(A+C)=cosAsinC，
即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC ，
所以sinAcosC=0 ，
又0所以sinA>0，
所以cosC=0 ，
又0所以C= ，
因为 ，
即 ，
又 ，
所以，
因为
则ab=12 ，
所以， ，
解得 ，
所以 .
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 ，
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 ，，
设 ，则 ，，
因为，
所以 ，消去λ得4x+3y=12 ，
所以 ，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此 的最小值为 .
故选：B.
【分析】在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b ，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求cosC=0 ，可得C=，再由已知条件求得a=4 ，b=3 ，c=5 ，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12，然后利用基本不等式可求得的最小值.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（2023高一下·宝山期末）已知向量，.
（1）求；
（2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？
【答案】（1）解：因为 ，，
所以
则 ；
（2）解：依题意，，而 ，
因此5λ=5，解得λ=1，
所以λ=1，向量与同向.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）利用向量夹角的坐标表示求解作答.
（2）求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算作答.
18．（2023高一下·宝山期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快，菌落的覆盖面积（单位：mm）与经过时间（单位：min）的关系现有三个函数模型：①；②；③可供选择.
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的表达式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）
【答案】（1）解：因为 的增长速度越来越快，
和的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型
由题意得，解得，
所以该函数模型为；
（2）解：由题意得，即，
所以
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2.
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择 ，并求出解析式；
（2）根据题意，，求出x的取值范围，进而得出结果.
19．（2023高一下·宝山期末）已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和.
（1）求点的坐标；
（2）设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数.
【答案】（1）解：依题意，，则，
所以点B的坐标是.
（2）解：依题意，z1=1+2i，设z2=a+bi，a，b∈R，由 ，得b>0，
，而z1z2为纯虚数，则，
由 ， 得a2+b2=20，解得a=4，b=2，
所以z2=4+2i.
【知识点】平面向量的坐标运算；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出向量 、 的坐标，再利用向量的坐标运算求解作答.
（2）求出z1，设出z2的代数形式，再结合已知求解作答.
20．（2023高一下·宝山期末）已知向量，，令函数.
（1）求函数的表达式及其单调增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.
【答案】（1）解：）
，
由，解得，
即f(x)的单调递增区间为，
（2）解：将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位得到函数g(x)的图象，
g(x)
满足g(-x)=g(x)，
则g(x)是偶函数，则，
又t>0，
当k=-1时，t最小，此时，
此时，
由 ， 则，
即，则只有时方程有解，
即，
解得
故，
当时，最小，最小值为.
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，利用三角函数的二倍角公式以及辅助角公式，整理可得函数解析式，根据复合函数单调性法则，结合正弦函数的单调性，可得答案；
（2）根据图象变换以及函数g(x)是偶函数，求出g(x)的解析式，然后根据等式关系进行去求解即可.
21．（2023高一下·宝山期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
（1）计算的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明；
（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由已知可得cosh(2)，cosh(1)，
所以cosh2(1)，
所以 ，
（2）解： .
证明如下：
左边，
右边.
所以左边=右边，
所以.
（3）解：原题可转化为方程 有解，即有解，
令，
因为在上单调递增f(0)=0，，
所以，
又，当且仅当ex=e-x，即x=0时等号成立，
所以，即g(x)有最大值，
则要使f(t)=g(x)有解，应有g(x)max≥f(t)min=0，
即a-1≥0，所以a≥1.
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出cosh(2)，cosh(1)代入化简即可求出答案；
（2）类比推理可得出cosh(x+y)展开式中含有cosh(x)cosh(y)，sinh(x)sinh(y)两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出；
（3）代入整理可得有解，令，根据f(t)的单调性以及基本不等式得出，然后即可得出关于a的不等式，求解即可得出答案.
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上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（2023高一下·宝山期末）在复数范围内，的所有平方根为　 　
2．（2023高一下·宝山期末）若幂函数为奇函数，则该函数的表达式　 　
3．（2023高一下·宝山期末）无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，该定点坐标为　 　
4．（2023高一下·宝山期末）若，则　 　（用含的式子表示）
5．（2023高一下·宝山期末）若向量、满足，，则　 　
6．（2023高一下·宝山期末）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是　 　
7．（2023高一下·宝山期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则　 　
8．（2023高一下·宝山期末）已知关于的一元二次方程有两个虚根、，且，则实数的值为　 　
9．（2023高一下·宝山期末）函数的部分图像如图所示，则　 　
10．（2023高一下·宝山期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为　 　km（精确到0.1km）
11．（2023高一下·宝山期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是　 　
12．（2023高一下·宝山期末）已知函数，有以下命题：
①函数的最小正周期为；
②函数在上为增函数；
③直线是函数图像的一条对称轴；
④函数在上有三个零点；
⑤函数的最小值为.
请写出正确命题的全部序号　 　
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（2023高一下·宝山期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高一下·宝山期末）欧拉公式（其中e是自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2023高一下·宝山期末）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
16．（2023高一下·宝山期末）在中，已知，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（2023高一下·宝山期末）已知向量，.
（1）求；
（2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？
18．（2023高一下·宝山期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快，菌落的覆盖面积（单位：mm）与经过时间（单位：min）的关系现有三个函数模型：①；②；③可供选择.
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的表达式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）
19．（2023高一下·宝山期末）已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和.
（1）求点的坐标；
（2）设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数.
20．（2023高一下·宝山期末）已知向量，，令函数.
（1）求函数的表达式及其单调增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.
21．（2023高一下·宝山期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
（1）计算的值；
（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明；
（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：设z=a+bi(a，b∈R) ，则 .
由z2=-4可得，
由2ab=0可得，a=0 或b=0 .
当a=0时，有b2=4 ，解得b=±2 ， z=±2i；
当b=0时，有a2=-4，显然不成立.
综上所述， z=±2i .
故答案为： z=±2i.
【分析】设z=a+bi(a，b∈R) ，求出由z2，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案.
2．【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解：由 为幂函数，得 为 ，解得m=5或m=0，
当m=5时，f(x)=x6 ，函数f(x)是偶函数，不符合题意，
当m=0时，f(x)=x ，函数f(x)是奇函数，符合题意，
所以f(x)=x，
故答案为：f(x)=x .
【分析】根据给定的条件，利用幂函数与奇函数的定义，结合性质求解作答.
3．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当x-3=0 ，即x=3时，恒有a3-3=1，此时y=2，所以定点坐标位（3，2），故答案为：（3，2）.
【分析】由已知可知x-3=0 ，求解代入，即可得出答案.
4．【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】解：由 ， 得
所以
故答案为：
【分析】利用对数的换底公式，结合对数运算性质求解作答.
5．【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：由，，得，
所以，
故答案为：.
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.
6．【答案】
【知识点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式 等价于(x+1)(x-1)<0 ，解得-1解|x-a|<2可得a-2因为 ， 所以 ，
故答案为：.
【分析】根据分式不等式与整式不等式的关系求解出 ，根据绝对值不等式的运算解出 .然后根据集合的运算关系，列出不等式组，求解即可得出答案.
7．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由，则直线OP的方程为y=5x ，设其倾斜角为α ，即 ，
由tanα=5 ，则 ，
故答案为： .
【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.
8．【答案】
【知识点】复数的基本概念；二分法求方程的近似解；一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得 ，依题意2k-3<0， 即 ，
解得 ，而 ，
即 ，
整理得k2+2k-8=0 ，
解得k=-4或k=2 ，而
所以实数k的值为-4，
故答案为： -4.
【分析】求出方程的两个虚根x1，x2，再利用复数的乘方运算求解作答.
9．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由已知可得，所以T=π，，
所以，
又因为f(x)在处取得最大值，
所以有，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【分析】根据图象推出T=π，，然后根据最大值，结合的取值范围，求出，代入，求解即可得出答案.
10．【答案】5.8
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，有AB=5，AD=7，∠ABD=60°，
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB BDcos∠ABD，
即49=25++BD2-2×5×BD×，
整理可得BD2-5BD-24=0，
解得BD=8或BD=-3（舍去），
在中，有BD=8，∠CBD=23°，∠BCD=117°，
所以∠BCD=180°-∠CBD-∠BCD=40°，
由正弦定理可得(km)，
故答案为：5.8
【分析】在中，根据余弦定理求出BD=8，然后在，先求出∠BCD=40°，然后根据正弦定理，即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，则，即，，
由，则如图：
点在劣弧上，即线段AP扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为S，
易知，在四边形ABOC中对角线AO⊥BC，
则四边形ABOC的面积，
在 BOC中，，解得∠BOC=，
扇形的面积，
故S=S'-S''=.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案.
12．【答案】①③⑤
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的奇偶性与对称性；函数的零点；正弦函数的零点与最值；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：①：，
当时，，则，
根据函数y=sinx在上单调递增，可得此时f(x)单调递减；
当时，，则，
根据函数y=sinx在上单调递增，可得此时f(x)单调递增；
故①正确；
②：由①可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，故②不正确；
③：，
，
由，则直线是函数的对称轴，故③正确；
④：当时，，
则，根据函数y=sinx在上单调递增，可得此时y=f(x)-1单调递增，
由，则函数y=f(x)-1在存在唯一零点；
当时，
则，根据函数y=sinx在上单调递减，可得此时y=f(x)-1单调递减，
由，则函数在y=f(x)-1在存在唯一零点；
易知
综上：函数y=f(x)-1在上有两个零点，故④不正确；
⑤：由①可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数f(x)的最小值为f(0)=-1，
因为由①可知，函数f(x)的最小正周期为π，所以f(x)min=-1，故⑤正确.
故答案为：①③⑤.
【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案.
13．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小
【解析】【解答】解：由aab>0，A正确；
由a-b>0，则，B错误；
由a由a故选：A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
14．【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：由题意得，
则其在复平面对应的点坐标为，即该点在第四象限.
故选：D.
【分析】根据欧拉公式，写出复数的标准形式，利用三角函数的诱导公式，求得点的坐标，可得答案.
15．【答案】D
【知识点】向量数乘的运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：，
所以，
所以，
故选：D.
【分析】利用平面向量的线性运算求出即可.
16．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b ，
因为sinB=cosAsinC，即sin(A+C)=cosAsinC，
即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC ，
所以sinAcosC=0 ，
又0所以sinA>0，
所以cosC=0 ，
又0所以C= ，
因为 ，
即 ，
又 ，
所以，
因为
则ab=12 ，
所以， ，
解得 ，
所以 .
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 ，
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 ，，
设 ，则 ，，
因为，
所以 ，消去λ得4x+3y=12 ，
所以 ，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因此 的最小值为 .
故选：B.
【分析】在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b ，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求cosC=0 ，可得C=，再由已知条件求得a=4 ，b=3 ，c=5 ，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12，然后利用基本不等式可求得的最小值.
17．【答案】（1）解：因为 ，，
所以
则 ；
（2）解：依题意，，而 ，
因此5λ=5，解得λ=1，
所以λ=1，向量与同向.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）利用向量夹角的坐标表示求解作答.
（2）求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算作答.
18．【答案】（1）解：因为 的增长速度越来越快，
和的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型
由题意得，解得，
所以该函数模型为；
（2）解：由题意得，即，
所以
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2.
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择 ，并求出解析式；
（2）根据题意，，求出x的取值范围，进而得出结果.
19．【答案】（1）解：依题意，，则，
所以点B的坐标是.
（2）解：依题意，z1=1+2i，设z2=a+bi，a，b∈R，由 ，得b>0，
，而z1z2为纯虚数，则，
由 ， 得a2+b2=20，解得a=4，b=2，
所以z2=4+2i.
【知识点】平面向量的坐标运算；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出向量 、 的坐标，再利用向量的坐标运算求解作答.
（2）求出z1，设出z2的代数形式，再结合已知求解作答.
20．【答案】（1）解：）
，
由，解得，
即f(x)的单调递增区间为，
（2）解：将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位得到函数g(x)的图象，
g(x)
满足g(-x)=g(x)，
则g(x)是偶函数，则，
又t>0，
当k=-1时，t最小，此时，
此时，
由 ， 则，
即，则只有时方程有解，
即，
解得
故，
当时，最小，最小值为.
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，利用三角函数的二倍角公式以及辅助角公式，整理可得函数解析式，根据复合函数单调性法则，结合正弦函数的单调性，可得答案；
（2）根据图象变换以及函数g(x)是偶函数，求出g(x)的解析式，然后根据等式关系进行去求解即可.
21．【答案】（1）解：由已知可得cosh(2)，cosh(1)，
所以cosh2(1)，
所以 ，
（2）解： .
证明如下：
左边，
右边.
所以左边=右边，
所以.
（3）解：原题可转化为方程 有解，即有解，
令，
因为在上单调递增f(0)=0，，
所以，
又，当且仅当ex=e-x，即x=0时等号成立，
所以，即g(x)有最大值，
则要使f(t)=g(x)有解，应有g(x)max≥f(t)min=0，
即a-1≥0，所以a≥1.
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出cosh(2)，cosh(1)代入化简即可求出答案；
（2）类比推理可得出cosh(x+y)展开式中含有cosh(x)cosh(y)，sinh(x)sinh(y)两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出；
（3）代入整理可得有解，令，根据f(t)的单调性以及基本不等式得出，然后即可得出关于a的不等式，求解即可得出答案.
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