资源简介

3.2.2　奇偶性
【知识梳理】
知识点一　函数奇偶性的定义
前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
知识点二　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点三　奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
【基础自测】
1．下列函数中奇函数的个数为(　　)
①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；
③f(x)＝x＋； ④f(x)＝.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于(　　)
A．6 B．－6 C．2 D．－2
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)【例题详解】
一、判断函数的奇偶性
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
(4)；
(5)；
(6)；
(7).
(8)（多选）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
(6)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
二、由奇偶性求解析式
命题角度1　求对称区间上的解析式
例2　(1)已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
(2)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．求当时，的解析式．
(3)已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
跟踪训练2　(1)若函数为R上的奇函数，当时，，则当时，______．
(2)若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，
若，则实数的取值范围是_______.
(3)已知是定义在上的偶函数，当时，.
(i)求在上的解析式；
(ii)解不等式.
命题角度2　构造方程组求解析式
例3　若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 _______．
跟踪训练3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
三、由奇偶性求参数
例4　(1)若函数，（a，）为奇函数，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
(2)若函数为奇函数，则___________.
(3)已知是定义在上的偶函数，则________.
跟踪训练4　(1)已知定义域为的奇函数，则_______.
(2)若函数是偶函数，则正数a的值为________．
四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例5　(1)若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
(2)定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
(3)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
跟踪训练5　(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
五、由函数奇偶性解不等式
例6　(1)已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
(2)设是定义在上的偶函数，且在单调递增，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
(3)已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．
跟踪训练6　(1)已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
(2)已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，
则不等式的解集为________.
(3)已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.
六、函数奇偶性的应用
例7　已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
跟踪训练7　已知函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， f(1)＝－.
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）求证：f(x)在R上是减函数；
（3）求f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值．
【课堂巩固】
1．下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知是偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C．或3 D．或
5．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若为奇函数，则实数______.
8．函数是偶函数，当时，，则________.
9．已知是偶函数，当时，，则当时，的解析式为______，不等式的解集是______．
10．已知函数,则不等式的解集为______．
11．定义在R上的奇函数和偶函数满足，当时，恒成立，则实数k的取值范围______．
12．已知函数是定义在上的奇函数，且. 求的值.
13．已知定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【课时作业】
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（ ）
A． B． C． D．
3．是定义在上的偶函数，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
7．定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数是偶函数的充分必要条件是（ ）．
A． B．
C．且 D．，且
9．已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选）已知函数是偶函数，在区间上单调递增，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若，则或 D．若，则
13．已知函数是奇函数，则____________；
14．已知函数是偶函数，则的值域是__________.
15．设函数是定义在R上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____
16．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________．
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的增区间；
（2）求出函数在上的解析式；
（3）若函数，，求函数的最小值.
18．设为实数，函数.
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)当时，证明：函数在区间上单调递增；
(3)在（2）的条件下，若，使成立，求实数的取值范围.
19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求．
(2)求函数的解析式．
(3)若，求实数a的取值范围．
20．已知函数对任意实数恒有，当时，且.
(1)求在区间上的最小值；
(2)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
3.2.2　奇偶性答案
【知识梳理】
知识点一　函数奇偶性的定义
前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
知识点二　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点三　奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
【基础自测】
1．下列函数中奇函数的个数为(　　)
①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；
③f(x)＝x＋； ④f(x)＝.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
2．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于(　　)
A．6 B．－6 C．2 D．－2
【答案】A
【详解】g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
【答案】4
【详解】f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
【答案】－x
【详解】方法一　令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二　利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)【答案】
【详解】依题意有f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，
∴|2x－1|<，即－<2x－1<，解得【例题详解】
一、判断函数的奇偶性
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
(4)；
(5)；
(6)；
(7).
【详解】(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
(5)因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
(6)对于函数，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
(7)函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
(8)（多选）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用函数奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】解：因为是定义在R上的偶函数，所以，
对于A，因为，所以为偶函数，故满足题意；
对于B，因为，所以为奇函数，故不满足题意；
对于C，易得为偶函数，故满足题意；
对于D，因为，所以不为偶函数，故不满足题意；
故选：AC
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【详解】(1) ，定义域为，
有，则函数为奇函数，
(2)，定义域为，
有，则函数为偶函数，
(3)因为，所以，则有，解得，
则函数定义域为，且，所以和同时成立，
故既是奇函数又是偶函数，
(4)，其定义域为，其定义域不关于原点对称，
则是非奇非偶函数．
(5)由题意知的定义域为，定义域关于原点对称.
当时，，所以；
当时，，所以.
综上所述，知对于任意，都有，
所以，函数为偶函数.
(6)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】A
【详解】由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
二、由奇偶性求解析式
命题角度1　求对称区间上的解析式
例2　(1)已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数为奇函数求在上的解析式即可.
【详解】在上有，
∴，又是奇函数，
∴，故.
故选：C.
(2)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．求当时，的解析式．
【答案】当时，．
【分析】设时，，则，再根据偶函数性质即可得时，求的解析式．
【详解】解：（1）当时，，所以，
又是偶函数，∴，
∴，
所以当时，．
(3)已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
【详解】因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
f(0)＝0.
所以f(x)＝
跟踪训练2　(1)若函数为R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【分析】设，则所以，化简即得解.
【详解】解：设，则
所以
所以
所以.
所以当时，.
故答案为：
(2)若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，
若，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
(3)已知是定义在上的偶函数，当时，.
(i)求在上的解析式；
(ii)解不等式.
【答案】(i)；(ii)
【分析】(i)由偶函数的定义求解即可；
(ii)分与讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解
【详解】(i)令，则，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
即在上的解析式为.
(ii)当时，可化为，解得，
当时，可化为，解得，
所以不等式的解集为.
命题角度2　构造方程组求解析式
例3　若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 _______．
【答案】
【分析】利用题给条件列方程组即可求得的解析式
【详解】由题意，，
则由
可得，即
由，可得
故答案为：
跟踪训练3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【详解】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
三、由奇偶性求参数
例4　(1)若函数，（a，）为奇函数，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】因为函数是奇函数，通过带特殊值可以求出的值，从而得到答案
【详解】利用和可得： 解得：，，所以，.
故选B.
(2)若函数为奇函数，则___________.
【答案】
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值，再将1代入即可求解
【详解】∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即f（﹣x），
∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），
即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，
∴2a﹣1＝0，解得a．故
故答案为
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．
(3)已知是定义在上的偶函数，则________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求得，进而求得.
【详解】由于是定义在上的偶函数，所以，
，
所以，
不恒为，所以，
所以.
故答案为：
跟踪训练4　(1)已知定义域为的奇函数，则_______.
【答案】3
【分析】由定义域关于0对称得，由奇函数的定义求得，从而可得结论．
【详解】由题意，，
是奇函数，则恒成立，即，
恒成立，，，
所以．
故答案为：3.
(2)若函数是偶函数，则正数a的值为________．
【答案】
【分析】由函数为偶函数可得，化简整理即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以，即，
所以，所以，所以.
故答案为：.
四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例5　(1)若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据在上是增函数，且，可得，，的大小关系，再根据偶函数的性质可得，，的大小关系．
【详解】因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故选：B．
(2)定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】因为对任意的，有，
所以当时，，
所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，
即．
故选：D．
(3)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
【答案】①③⑤
【详解】f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误．
x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．
又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．
跟踪训练5　(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)【答案】A
【详解】因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
【答案】A
【详解】∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)五、由函数奇偶性解不等式
例6　(1)已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】分别在和的情况下，根据的正负，结合偶函数的性质可求得结果.
【详解】由得：当时，；当时，；
当时，由得：；
为偶函数，若，则当时，；
综上所述：的解集为或.
故选：C.
(2)设是定义在上的偶函数，且在单调递增，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可得，解不等式即可.
【详解】由于是偶函数，且在单调递增,则，有，解得，即不等式的解集为，
故选：B
(3)已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】；
【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由奇函数对称性求出时的解，又，综上即可得出不等式解集.
【详解】当时，，解得，
因为是上的奇函数，故图象关于原点对称
所以当时，，
又由是上的奇函数，所以，即，
综上，的解集为.
故答案为：
跟踪训练6　(1)已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.
【详解】为偶函数，且在上递减.
∵，
∴，
∵，，∴且，∴.
故选：B
(2)已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.
【答案】
【分析】根据函数为奇函数又已知得函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，又，可得函数大致图象，结合图象解不等式即可得解集.
【详解】解：已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
(3)已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集.
【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；
又，可得，所以；
易知函数在上单调递增，
所以不等式即为，
根据函数单调性和奇偶性可得，解得.
故答案为：
六、函数奇偶性的应用
例7　已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【详解】(1)因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．
跟踪训练7　已知函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， f(1)＝－.
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）求证：f(x)在R上是减函数；
（3）求f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值是2，最小值是－2.
【分析】（1）由已知令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，由此可得证．
（2）在R上任取x1， x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．再由已知判断f(x1)＞f(x2)，根据函数的单调性的定义可得证；
（3）由（2）得f(x)在R上是减函数，由此可求得函数的最值.
【详解】（1）证明：因为函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
（2）证明：在R上任取x1， x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
又因为当x＞0时，f(x)＜0，而x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，因此f(x)在R上是减函数．
（3）解：因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3， 3]上是减函数，所以f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2， f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3， 3]上的最大值是2，最小值是－2.
【课堂巩固】
1．下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.
【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误；
当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误；
当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误.
故选：B.
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由得，则，且，
，为奇函数，排除BC，
当且时，，排除A，
故选：D．
3．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得,
而当时，函数是上的偶函数，
所以.
故选：A.
4．已知是偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C．或3 D．或
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义求解.
【详解】当时，由，得，解得（舍去）或；
根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时，
由，得(舍)或，
综上，
故选:B.
5．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可得，函数在在上单调递增，结合函数性质解不等式即可.
【详解】因为为的奇函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递增，
由，可得，或，或，
由，，可得；
由，，可得；
所以的解集为.
故选：D.
6．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据的单调性和奇偶性以及，知：当 时，，当 时，，进而根据分式不等式进行求解.
【详解】由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，，
又或，解得：或
满足的x的取值范围是或
故选：D
7．若为奇函数，则实数______.
【答案】
【分析】根据奇函数定义结合指数运算求解.
【详解】若为奇函数，则，
故，解得.
故答案为：1.
8．函数是偶函数，当时，，则________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.
【详解】因为当时，，
所以当时，，
所以，
函数是偶函数，
所以，
所以，
故答案为：.
9．已知是偶函数，当时，，则当时，的解析式为______，不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质由条件求出函数在上的解析式，根据的解析式化简不等式求其解集.
【详解】设，则，则，
因为函数为偶函数，，
所以当时，．
若，
则当时，，化简可得解得；
当时，，化简可得，解得，
所以所求不等式的解集为．
故答案为：，.
10．已知函数,则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】先分析的奇偶性,再对函数进行求导,判断单调性,根据单调性列出不等式,解出即可.
【详解】解:由题意可知,函数的定义域为,
且,
所以函数为偶函数,
当时,
因为不恒为零,所以函数在上为增函数,
因为,只需,
即,可得,
整理可得,解得.
故答案为:
【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,关于解不等式的方法有:
(1)根据函数解析式判断函数的奇偶性;
(2)求导或者直接观察法判断函数在上的单调性;
(3)根据单调性奇偶性,列出不等式解出.
11．定义在R上的奇函数和偶函数满足，当时，恒成立，则实数k的取值范围______．
【答案】
【分析】先根据函数奇偶性的定义，求出的表达式，然后代入中，分离出参数，得，令，则，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可求得结果
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，
由，得，
所以，
所以，
所以不等式可化为
，
因为，所以，
所以，
令，则，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
所以，即实数k的取值范围为，
故答案为：
12．已知函数是定义在上的奇函数，且. 求的值.
【答案】
【分析】利用奇函数在原点有意义，则，且，可解出a，b的值.
【详解】已知函数f(x)是定义在上的奇函数，则，且，
，解得，故，
显然，满足题设.
所以.
13．已知定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)（1，2].
【分析】（1）设，则，然后将代入已知解析式并根据奇偶性化简，进而求出函数在R上的解析式；
（2）判断出函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合函数的对称性并比较区间端点值的大小即可求出答案.
【详解】（1）当时，则，，
又∵为偶函数，∴．
∴当时，，∴.
（2）由（1）知在上单调递减，函数是偶函数.∴在上单调递增.
又∵在上单调递增，∴.
∴，则，故实数的取值范围是（1，2].
【课时作业】
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先判定A,B不是奇函数，然后根据幂函数的知识判定C,D的单调性.
【详解】A. 定义域为R，当时，不是奇函数，；
B. 定义域为R，当时，不是奇函数，
C. 的定义域为R，
由可知是奇函数，
当时，
,
由于,且在不全为零的情况下，恒成立，
∴在定义域R上是单调递增函数；
D.是奇函数，在定义域的两个子区间和内都是单调递减，但在定义域上不是单调递减(时的函数值为，时的函数值为2，).
故选：C.
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性求在上的表达式.
【详解】令，则，故，
又是定义在上的奇函数，
∴.
故选：D.
3．是定义在上的偶函数，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求出的值，进而可得定义域，再由偶函数的定义求出的值可得的解析式，再求的最小值即可.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，可得，
所以，定义域为
因为即对于恒成立，
所以，即对于恒成立，
所以，
所以，当时，
故选：D.
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
5．已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，再考虑和两种情况，解不等式得到答案.
【详解】当时，，.
当时，，即，解得，故；
当时，，即，解得或，故.
综上所述：.
故选：B.
6．已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性的定义列出和的方程组求解即可．
【详解】函数的定义域为，设函数， ，
则，，
即，解得，所以，
故选：B
7．定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间上，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以.
故选：A
8．函数是偶函数的充分必要条件是（ ）．
A． B．
C．且 D．，且
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证时情况即可判断作答.
【详解】显然函数定义域为R，
因是偶函数，即，亦即，
整理得，而不恒为0，因此，，即且，
当时，也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
9．已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.
【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，
∴在区间上单调递减，且，
∴当时，，
当时，，
综上所述，的取值范围是.
故选：C.
10．已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解.
【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故
当和时，，当和时，，
故等价于和，解得，
故选：B
11．（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
12．（多选）已知函数是偶函数，在区间上单调递增，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若，则或 D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性和单调性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】函数在区间上单调递增，
因为函数是偶函数，所以在区间上单调递减，
因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
若，则，解得：或，故C正确；
若，则，解得：或，故D不正确.
故选：ABC.
13．已知函数是奇函数，则____________；
【答案】或
【分析】根据函数是奇函数的定义可求出，即可求解.
【详解】由函数是奇函数可知，
恒成立，
解得或，
当时，，
所以，
当时，，
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，根据解析式求函数值，属于中档题.
14．已知函数是偶函数，则的值域是__________.
【答案】
【解析】利用偶函数性质，赋值可求出函数解析式，再求值域即可.
【详解】因为是偶函数，
所以有，代入得：，解得：.
所以，
故答案为：.
15．设函数是定义在R上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____
【答案】
【分析】将原不等式转化为，然后利用的单调性，即可解不等式.
【详解】解：因为，且是定义在上的偶函数，
则，
∴函数为偶函数，
原不等式可化为，
即，
又因为函数在区间上是增函数，则，解之得：或，
故答案为：
16．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】由奇函数关于原点对称，即可求出函数的解析式；利用偶函数在轴左右两边单调性相反，结合，即可列出不等式组，则可求出答案.
【详解】当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以当时，，
当时，，
所以函数的解析式为；
因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
所以不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：；.
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的增区间；
（2）求出函数在上的解析式；
（3）若函数，，求函数的最小值.
【答案】（1）增区间为，；（2）；（3）.
【解析】（1）根据奇偶性，结合二次函数的单调区间求解；
（2）设，则，利用求出时函数的解析式，即可求解；
（3）由（2）可得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，对进行分类讨论，进而可得函数的最小值的表达式.
【详解】（1）由题意知当时，，
此时函数的增区间为，减区间为.
又函数为偶函数，所以当时，其增区间为，
所以函数的增区间为，.
（2）设，则，所以，
由已知，
所以当时，，
所以.
（3）由（2）可得，，
对称轴为直线.
当时，，此时函数在区间上单调递增，
故函数的最小值为；
当时，，此时函数在对称轴处取得最小值，
故函数的最小值为；
当时，，此时函数在区间上单调递减，
故函数的最小值为.
综上，所以函数的最小值为
【点睛】关键点点睛：，求函数最小值，需要根据对称轴与定义域的关系，分三类讨论，需要熟练掌握.
18．设为实数，函数.
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)当时，证明：函数在区间上单调递增；
(3)在（2）的条件下，若，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)或.
【分析】（1）分和两种情况讨论，利用奇偶函数的定义判断可得结果；
（2）按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可；
（3）利用单调性求出函数在上的最小值，再将不等式能成立转化为，解不等式即可得解.
【详解】（1）当时，为偶函数，理由如下：
因为的定义域为，且，
所以为偶函数；
当时，为非奇非偶函数，理由如下：
因为，即，所以不是奇函数，
因为，即，所以不是偶函数，
所以为非奇非偶函数；
综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；
（2）当时，，
任取，
则
，
因为，所以，，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
（3）由上可知函数在区间上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
所以，即
解得或.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求．
(2)求函数的解析式．
(3)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇函数定义直接可得；
（2）设，利用，可得解析式；
（3）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）因为为奇函数，则
（2）因为为奇函数，，
设，则，
则,因为为奇函数，则
则．
（3）当时，为单调递增函数，由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵，∴，
故有：，则有，解得
所以实数a取值范围是：
20．已知函数对任意实数恒有，当时，且.
(1)求在区间上的最小值；
(2)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用赋值法与函数奇偶性的定义证得为奇函数，再利用函数单调性的定义证得为减函数，从而利用的单调性与奇偶性即可得解；
（2）利用恒成立的解法，将问题转化为对恒成立，再利用一次函数的单调性得到关于的不等式组，从而得解.
【详解】（1）根据题意，的定义域为，关于原点对称，
又任意实数恒有，
取，则，
取，则，
对任意恒成立，为奇函数；
任取且，
则，
，又为奇函数，.
故为上的减函数.
，
，
故在上的最小值为.
（2）在上是减函数，，
对所有恒成立.
对恒成立；
即对恒成立，令，
则，即，解得或.
实数的取值范围为.

展开更多......

收起↑