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2023北京丰台高二（下）期末
数 学
2023.07
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．在等差数列中，，，则
（A） （B）
（C） （D）
2．已知，那么
（A） （B）
（C） （D）
3．下图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是
（A） （B）
（C） （D）
4．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的倍．若记一次试验中成功的次数为，则随机变量的数学期望为
（A） （B）
（C） （D）
5．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大．当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为
（A） （B）
（C） （D）
6．某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为
A地至B地高铁列车时刻表 B地至C地高铁列车时刻表
车次 发车时间 到站时间
G87 07:00 08:01
G91 07:55 08:56
G93 09:00 10:01
车次 发车时间 到站时间
G2811 08:25 10:31
G653 09:24 11:13
G501 10:26 12:30
（A） （B）
（C） （D）
7．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量，可以证明，对给定的，是一个只与有关的定值，部分结果如下图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布．若共有名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为
（A） （B）
（C） （D）
8．设等比数列的公比为，前项和为．若，，则
（A） （B）
（C） （D）
9．2023年5月18日至19日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行．峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有
（A）种 （B）种
（C）种 （D）种
10．设函数给出下列四个结论：
①当时，函数有三个极值点；
②当时，函数有三个极值点；
③，是函数的极小值点；
④，不是函数的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是
（A）①② （B）②③
（C）①④ （D）②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在的展开式中，常数项是 （用数字作答）．
12．某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ．
13．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为 ．
14．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为．现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则 ；函数取最大值时， ．
15. 设是正整数，且，数列，满足：，
，，数列的前项和为．给出下列四个结论：
①数列为单调递增数列，且各项均为正数；
②数列为单调递增数列，且各项均为正数；
③对任意正整数，；
④对任意正整数，．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
已知函数在时取得极大值．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最值．
17．（本小题13分）
下图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图．
注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
18. （本小题14分）
数列的前项和为，其中，．从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分．
19．（本小题14分）
2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题．在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果．为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中的的值；
（Ⅱ）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用表示分数在[50,60）中的人数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（直接写出结果）
20．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）判断与的大小关系，并说明理由．
21．（本小题15分）
正实数构成的集合，定义且.当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
（Ⅰ）判断集合是否具有性质；
（Ⅱ）若集合具有性质，且中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合中的元素个数的最大值；
（Ⅲ）若集合具有性质，且中的所有元素能构成等比数列．问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A C B B C B D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13．
14．， 15．①③④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为函数，所以．
因为函数在时取得极大值，
所以．
即
所以，． …………………………………………6分
（Ⅱ）因为，
所以时，，在单调递增；
时，，在单调递减；
时，，在单调递增．
因为，，，，
所以，． …………………………………………14分
17.（本小题13分）
解：（Ⅰ）由折线图的数据和附注中的参考数据得，，
所以，
所以．
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系． …………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
又因为，
所以．
所以关于的回归方程为．
将2023年对应的代入回归方程得：，
所以预测2023年我国65岁及以上老年人人口约2.15亿． …………………13分
18.（本小题14分）
解：选择条件①：.
（Ⅰ）因为， 即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以． …………………………………………6分
（Ⅱ）因为，
所以
． …………………………………………14分
选择条件条件③：．
（Ⅰ）因为，且，
所以，所以．
当时，；
因为时，，
所以．
（Ⅱ）因为，
所以
．
19.（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意，
所以． …………………………………………3分
（Ⅱ）的所有可能取值为1，2，3．
，
，
．
所以X的分布列为
1 2 3
所以X的数学期望为． …………………12分
（Ⅲ）． …………………………………………14分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，所以．
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为． ………………4分
（Ⅱ）的定义域是，由题得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，解得．
随着的变化，与的变化情况如下表
0 +
↘ 极小值 ↗
由表可知，的单调递增区间是；的单调递减区间是．
综上，当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间是；的单调递减区间是．
…………………………………………11分
（Ⅲ），证明如下：
当时，由（Ⅱ）知函数在区间的单调递增，
所以，总有，即，当且仅当时取等号．
令，得． …………………………………………15分
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）具有性质；不具有性质. ……………………………………4分
（Ⅱ）当中的元素个数时，因为中所有元素能构成等比数列，
不妨设元素依次为构成等比数列，则，其中互不相同.
于是这与具有性质，中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.
当中的元素个数恰有3个时，取时满足条件，
所以集合中的元素个数最大值为3. …………………………………………8分
（Ⅲ）因为，不妨设，
所以.
（1）当时，构成等比数列，
所以，即，其中互不相同.
这与中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.
（2）当时，构成等比数列，第3项是或.
① 若第3项是，则，即，
所以，与题意矛盾.
② 若第3项是，则，即，
所以成等比数列，设公比为，则中等比数列的前三项为：
，其公比为，第四项为，第十项为.
(ⅰ)若第四项为，则，得，
又，得，此时中依次为
显然，不合题意.
(ⅱ)若第四项为，则，得，又，得，
此时中依次为，显然，不合题意.
因此，.
取满足条件.
所以中的元素个数最大值是4. …………………………………………14分

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