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2022~2023学年高一下学期期末联合考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还要给孩子们佩戴香囊．某商家销售的香囊有四种不同的形状，其中圆形的香囊有36个，方形的香囊有18个，桃形的香囊有27个，石榴形的香囊有9个．现该商家利用分层随机抽样的方法在这些香囊中抽出20个香囊摆放在展台上，则抽出的桃形香囊的个数为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．8
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
6．柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双．若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每个小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，若，则（ ）
A． B．z在复平面内对应的点在第四象限
C． D．的虚部为3
10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．在上的值域为
11．在正四棱台中，，，，则（ ）
A．该四棱台的高为3
B．该四棱台的体积为
C．能够被完整放入该四棱台内的圆台的侧面积可能为
D．该四棱台的外接球的表面积为
12．如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1，2，3，…，8，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，若事件，事件，事件，则（ ）
A．事件A，C相互独立 B．事件A，B相互独立
C．事件B，C相互独立 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知且，则__________．
14．已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为__________．
15．如图，在四面体中，点P在平面ABC上的射影是A，，若，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为__________．
16．咸阳市的标志性建筑清渭楼，古朴典雅，蔚为壮观．为了测量清渭楼最高点M与其附近一观测点N之间的距离，取水平方向距离1200米的P，Q两点，测得，，，，其中点M，N，P，Q在同一铅垂面内，则M，N两点之间的距离为__________米．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量，，．
（1）若，，求向量与的夹角；
（2）若且，求与的值．
18．（12分）
如图，平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点．
（1）证明：平面ABC．
（2）证明：平面平面PAC．
19．（12分）
某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）估计A校这300名学生成绩的75%分位数；
（2）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为，B校抽取的400名学生成绩的平均值为，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为，试比较和的大小．
20．（12分）
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若AD为的角平分线，，且，求的周长．
21．（12分）
某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．
（1）求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；
（2）求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率．
22．（12分）
如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．
（1）证明：．
（2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．
2022~2023学年高一下学期期末联合考试
数学参考答案
1．C 因为，所以．
2．B ．
3．B 根据分层随机抽样的概念可得抽出的桃形香囊的个数为．
4．A 因为，，，所以．
5．C 将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，再把得到的曲线上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到的图象．
6．D 设红、黑、白颜色的左手手套依次为，，，右手手套依次为，，，则这个试验的样本空间为{，，，，，，，，，，，，，，}，共包含15个样本点．记事件“取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套”，则，共包含6个样本点，所以．
7．C 因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立．
8．D 因为，所以．又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q．因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，而，所以．因为，所以，即的取值范围为．
9．ACD ，因为，所以，解得，则，，A正确．z在复平面内对应的点为（2，1），在第一象限，B错误．，C正确．，虚部为3，D正确．
10．ABD 依题意得，，，因为，所以，A正确．因为，所以，解得．因为，所以，所以当时，，C错误．因为，所以令，解得，则的图象关于直线对称，B正确．因为当时，，所以，所以在上的值域为，D正确．
11．ACD 因为，，，所以该四棱台的高为，A正确．该四棱台的体积为，B错误．当能够被完整放入该四棱台内的圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3时，圆台的母线长为，则侧面积为，，C正确．设该四棱台的外接球的球心到上底面的距离为x，则，解得，则该四棱台的外接球的半径，该四棱台的外接球的表面积为，D正确．
12．ACD 因为事件，事件，事件，所以，，，，所以，，，，，所以，事件A，B不相互独立，B错误；，事件A，C相互独立，A正确；，事件B，C相互独立，C正确；，D正确．
13． 因为，所以，则．
14． 这25名学生每人作品数量的平均数为，方差．
15． 如图，分别取PA，AC，BC的中点E，F，H，连接EF，FH，HE，AH．因为点P在平面ABC上的射影是A，所以平面ABC，则，．因为E，F，H分别为PA，AC，BC的中点，所以，，所以PC与AB所成的角即或其补角．因为，所以，，所以．又因为，所以，所以，故异面直线PC与AB所成角的余弦值为．
16． 由题意知，，所以，所以在中，米，米．又，，所以．在中，由正常定理，得，所以米，在中，．
由余弦定理，得
米．
17．解：（1）当，时，，，
．
设向量与的夹角为．则．
因为，所以向量与的夹角为．
（2），
因为，所以，得．
又因为，，所以，
解得或．
18．证明：（1）因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以．
因为平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC．
（2）因为AB为圆O的直径，所以．
因为平面ABC，平面ABC，所以．
又，所以平面PAC．
由（1）知，所以平面PAC．
又因为平面AEF，所以平面平面PAC．
19．解：（1）设75%分位数为x，易得，
则，
解得，所以估计A校这300名学生成绩的75%分位数为88.75．
（2），
，
则．
又A校与B校抽取的学生人数比为3：4．
所以A校抽取的学生人数占总数的，B校抽取的学生人数占总数的，
故A，B两个学校抽取的700名学生成绩的平均值，
故．
20．解：（1）由正弦定理得，
即．
因为，
所以．
因为，所以．
又，则．
（2）因为，所以．
由，得，
得．又，解得，，
则，
所以的周长为．
21．解：（1）设，分别表示甲、乙在第轮射中，
则，．
设C表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，
则
，
所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率为．
（2）设，，，分别表示甲在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，
，，，分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，
M表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次．
，，
，，
，，
，，
所以
，
故“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率为．
22．（1）证明：连接BD交AC于O，连接ON．
因为，，所以根据相似的性质可得．
因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面，
所以，
则．所以．
（2）解：取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF．
因为为等边三角形，所以不妨设，
则，．
因为平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD，所以，．
又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以，
而，所以，又，则平面MEF，得，
所以是二面角的平面角，即．
设，则，得．
过N作交AD于H，连接CH，易得平面ABCD，
则为直线CN与平面ABCD所成的角，即．
，，．
因为，所以，
则．
因为，所以．
故的取值范围为．

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