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第二章分式与根式
2.1分式与及其运算
1、分式的运算
分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高.
【例1】 计算:
【解】原式
【例2】 先化简，再求值： 其中m=57, n=3.
【解】原式:
当m=57, n=3时, 原式
【例3】已知 求 的值.
【解】 因为 所以 得
于是
因此
【注】 本题解答中灵活应用了
2 、分式的证明
【例4】 已知 求证：
【解】由 得
由 得
所以
得
即
两边都乘以 a, 得-1-ab+b=0, 两边再都除以b,得
移项得
【例5】 已知 abc=1,求证:
【解法 1】 因为 abc=1,所以a,b, c均不为零.
原式
【解法 2】 因为 abc=1,所以a, b, c均不为零.
原式
3、繁分式
我们知道，像 …这样分母中含有字母的代数式叫做分式.
而像 …这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式.
【例6】 化简:
【解法1】原式
【解法 2】原式
【解】设 则
原式
习题1.2
1.下列运算中，错误的是( ).
A.10 B. 15 C. D.
3.若 则
A.1 B.2 C.3 D.4
化简:
6.计算:
7.已知 求证：a +b +c =(a+b+c) .
8. 已知 xyz=1, x+y+z=2,x +y +z =16, 求 的值.
2.2根式及其运算
1.根式的运算
一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式. 最简根式满足以下3个条件：
(1) 被开方数的指数与根指数互质；
(2) 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；
(3) 被开方数不含分母.
把分母中的根号化去，叫分母有理化. 例如 在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号.
【例1】 化简: (2)x+v (x≠y);
(1)【解】
(2)【解法1】
【解法2】
(3)【解】
【例2】 计算:
【例3】 计算:
【解】 原式
【例4】 已知 求 的值.
【解】 因为 所以
原式
2.根式的证明
【例5】 已知 且 a -c =b , 其中a>b>0,求证:
【证明】 因为 所以
两边平方，整理得
两边再平方，整理得 (a -c )x +a y =a (a -c ).
把a -c =b 代入得b x +a y =a b ,两边同除以a b ，得
【例6】已知a，b都是非负数，且求证：
【证明】将 两边平方，
得( (1-a )(1-b )=a b ,
即 1-a -b +a b =a b ,
得a +b =1.
=a +b -2a b +2a b =1.
因为 a，b都是非负数，所以
因此
3.n次根式
实际上，数的平方根的概念可以推广. 一般地，如果 ，那么x叫做a 的n次方根. 例如,由于 2 =16和(-2) =16,我们把2或-2叫做16的4次方根. 当n是偶数时，正数 a的正的n次方根用符号表示，负的 n次方根用符号表示，也可以把两个方根合起来写作 例如，合起来写作
类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根. 本节所讨论的 n 次方根运算都限在实数范围内.
【例7】 (1) 求 的5次方根;(2)求(-8) 的 6次方根.
【解】
【例8】(1) 当x<0时,求的值.
若n为自然数,a的取值范围是什么
【解】(1)当x<0时,
(2) 因为 n为自然数，所以2n为偶数，于是
又因为 所以a≤0.
类似于二次根式的性质，我们也可以得到 n次根式的性质：
(2)当n为奇数时,
当n为偶数时，
从指数式的角度看, 所以
习题2.2
1. 下列说法正确的是( ).
A.正数有一个偶次方根 B. 负数没有偶次方根
C. 负数有两个奇次方根 D.正数有两个奇次方根
2. 当a>0时,
把 分母有理化的结果是( ).
A.-1
4.的7次方根是 ，0的8次方根是 .
(-4) 的4次方根是 , (-4) 的4次方根是 .
5.计算:
6.已知 求 的值.
7.化简:
8.化简:
9.证明:
第二章测试题
(满分为100分，考试时间45分钟)
一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)
1. 若分式 中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值( ).
A. 不变 B. 是原来的3倍 C.是原来的 D.是原来的
2.计算 的结果是( ).
3. 把 分母有理化的结果是( ).
A.-1
4.下列式子错误的是( ).
的整数) 的整数)
5. 化简 的结果是( ).
D. x
6.若n为自然数, 则a的取值范围是( ).
A. a≥0 B. a<0 C. a≤0 D. a为全体实数
二、填空题 (本题有4小题，每小题6分，共24分)
7.64的平方根是 ， 立方根是 ，6次方根是 .
8.化简:
10.当x<0时,
三、解答题(本题有3 小题, 第 11,12题各 15分,第 13题每题16分,共46分)
11.若 求y 的10次方根.
12.化简:
13.当 时，求 的值.
参考答案
第二章 分式与根式
习题2.1
1. D. 2. C. 3. B.
4.1-x.
7. 提示：由结论可知只需证 ab+bc+ca=0，这可由已知转化得到.
8.提示: xy+2z=xy+2(2-x-y)=xy-2x-2y+4=(x-2)(y-2), 原式
习题2.2
1. B. 2. C. 3. C.
4.-1, 0, ±2, ±4. 5. ,3, 8 , 3 . 6. .
7. 提示: 设 则 a=p , b=q , 把问题转化为分式的变形，原式=3.
(2) n为偶,原式=-2a; n为奇, 原式=2a.
9. 提示：等式右边平方后等于左边的被开方式，再考虑符号.
第二章测试题
1. A. 2. A. 3. C. 4. D. 5. D. 6. D.
7.±8, 4, ±2. 10. x.
11.±4. 12.4x.

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