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专题2.1 图形的轴对称
模块1：学习目标
1、了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念；
2、理解轴对称图形的性质；对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段；
3、会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴；
4、能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
模块2：知识梳理
1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．图形的轴对称的定义：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴．
3．轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．
4．图形的轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．成轴对称的两个图形是全等图形．
模块3：核心考点与典例
考点1、轴对称图形的辨别
例1．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）下列小陈爱用的表情包中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
变式1．（2023·福建泉州·统考二模）中国的剪纸艺术源远流长，是中国传统民间社会的一种特有的民俗文化形式，是中华优秀传统文化的重要组成部分，至今已有3000多年的历史．福建剪纸整体风格属于南方派，闽北、闽南、闽东、莆仙等地区的剪纸风格又略有不同，别具区域特色．下列剪纸艺术图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义确定．
【详解】根据轴对称图形的定义确定A、B、C均错误，D正确．故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，注意图形的细节是解题的关键．
变式2．（2023·福建泉州·统考二模）《国语 楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
考点2、轴对称、轴对称图形的性质（概念）
例1．（2022·江苏常州·八年级校考期中）下列说法错误的是（　　）
A．轴对称的两个图形一定是全等图形 B．轴对称图形的两部分一定能完全重合
C．两个全等三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的定义或性质以及两个图形成轴对称的性质依次判断即可．
【详解】解：A、轴对称的两个图形一定是全等图形，这句话正确，故该选项不符合题意；
B、轴对称图形的两部分一定能完全重合，这句话正确，故该选项不符合题意；
C、两个全等三角形一定关于某直线成轴对称，这句话错误，故该选项符合题意；
D、轴对称图形的对称轴至少有一条，这句话正确，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义与性质、对称轴、两个图形成轴对称的性质等知识，解题关键是掌握成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称，因为轴对称包含了一种位置关系．
变式1．（2023秋·广东广州·八年级统考开学考试）下列说法中，错误的是（ ）
A．轴对称图形必有对称轴 B．两个能完全重合的图形必是轴对称图形
C．轴对称图形可能有无数条对称轴 D．关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合
【答案】B
【分析】根据轴对称及轴对称图形的定义，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：A．轴对称图形必有对称轴，说法正确，故本选项不符合题意；
B．两个能完全重合的图形不一定是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．轴对称图形可能有无数条对称轴，如圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；
D．关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的知识，注意轴对称是针对两个图形来说的，轴对称图形是针对一个图形而言的．
变式2．（2022·山东聊城·八年级统考期末）下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全等；④两个全等三角形是轴对称图形．其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据全等三解开有的性质判定①；根据全等三角形的定义判定②；根据轴对称图形的性质判定③；根据轴对称图形的有定义判定④．
【详解】解：全等三角形的面积相等，故①是真命题；
面积相等的两个三角形不一定全等，故②是假命题；
成轴对称的两个图形是全等图形，故③是真命题；
两个全等三角形不一定是轴对称图形，故④是假命题；∴真命题有①③共2个，故选：B．
【点睛】本题考查命题真假的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的判定与性质，熟练掌握等三角形的判定与性质和轴对称图形的判定与性质是解题的关键．
考点3、轴对称、轴对称图形的性质（计算）
例1．（2023秋·广东广州·八年级期中）如图，与关于直线l对称，则（　　）
A． B．' C． D．
【答案】D
【分析】利用成轴对称的两个图形全等，即可得到解答．
【详解】解：∵与关于直线l对称，
∴，∴．故选：D．
【点睛】此题考查了成轴对称图形，熟练关于直线成轴对称的两个图形全等是解题的关键．
变式1．（2023春·七年级单元测试）如图，与关于直线对称，则的度数为________．

【答案】
【分析】根据轴对称的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可求得答案．
【详解】解：与关于直线对称，，
，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称的性质、三角形的内角和定理，是解题的关键．
变式2．（2023春·八年级期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若线段长为，则的周长为________．
【答案】12
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．
【详解】解：∵P点关于的对称点，
的周长为： cm故答案为：12．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任一点到两个对应点之间的距离相等．
考点4、台球桌面上的轴对称问题
例1．（2022秋·广东八年级期中）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（ ）
A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋
【答案】C
【分析】根据题意画出图示可直接得到答案．
【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中，故选：C．
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角．
变式1．（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个．
【答案】2
【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解．
【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个，故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．
变式2．（2022秋·广东八年级期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
【答案】673
【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【详解】解：如图，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，
经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹，
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
考点5、轴对称中的光线反射问题
例1．（2023春·江苏·七年级校考周测）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解．
【详解】解：如图：
由反射规律可知：，，，
又∵ ∴，
即．故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用．
变式1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
【答案】40°/40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，，
∴，．故答案为：40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
变式2．（2023春·重庆·七年级专题练习）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
， ．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
考点6、折叠问题
例1．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，E为AD上一点，将沿翻折得到点F在上，且，，则的度数为（ ）
A．56° B．34° C．48° D．62°
【答案】C
【分析】由平行线的性质和折叠的性质得出，，由三角形的外角性质得出，由三角形内角和定理
求出，即可得出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，
由折叠的性质得：，，
∵，，∴
∴，∴故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
变式1．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠的性质得，再由平行线的性质可求得，从而得解．
【详解】解：由折叠得：，
四边形是长方形，，，
，，，
．故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
变式2．（2023年湖南省娄底市中考模拟数学试题（5月））如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为______．

【答案】80°/80度
【分析】首先利用两直线平行同位角相等得，再利用折叠的性质得出，从而即可求出的度数．
【详解】解：根据题意可得：，，
沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查折叠问题与平行线的性质，利用折叠的性质得出是解决问题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人土的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．该窗花作品是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该窗花作品不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该窗花作品不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该窗花作品不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2022 常德期末）如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（　　）
A．4：40 B．4：20 C．7：40 D．7：20
【分析】根据镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分解答即可．
【解析】根据镜面对称的性质可得，真实时间是4：40，故选：A．
4．（2022 无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解；
【解析】如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：C．
5．（2023春·七年级单元测试）将一个正方形纸片依次按下图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，最后将该图纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下，结合轴对称图形的性质，即可得到答案．
【详解】解：严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，从右下角剪去一个四分之一圆，从左上角和左下角各剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的应用，解题的关键是弄清楚两条折痕的特征及其与剪线的位置关系．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，与关于直线l对称，下列结论中：①；②；③l垂直平分；④与的延长线的交点不一定在l上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：根据轴对称的定义可得，与关于直线l对称，则①正确．
因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线(中垂线)；轴对称图形的对应线段、对应角相等，
故②，③l垂直平分，正确．
因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故④与的延长线的交点不一定在l上，错误．正确的有3个，故选：B
【点睛】此题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案.
【详解】解：如图所示，
球最后落入的球袋是2号袋，故选：B.
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.
8．（2022 南通一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　）
A．38° B．48° C．50° D．52°
【思路点拨】通过折叠角相等，∠BAD+∠B’AD+∠B’AC＝90°计算∠BAD，进而用余角进行计算．
【答案】解：∵∠BAD+∠B’AD+∠B’AC＝90°，且∠BAD＝∠B’AD，∠B′AC＝14°，
∴∠BAD＝38°∴∠B＝90°﹣38°＝52°故选：D．
【点睛】本题考查折叠以及直角三角形中角的转化与计算，属于中考常考题型．
9．（2022 深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【思路点拨】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．
【答案】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．（2023·河北邯郸·校考三模）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质求出，根据平行线的性质求出即可．
【详解】解：∵，将纸带沿EF折叠成图②，∴，
∵，∴，∴，
∵ ∴ ∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质的应用，能求出和求出是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有_____个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形性质来判断，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可得出答案．
【详解】（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形，轴对称图形对应线段相等，对应角相等，说法正确；（2）成轴对称的两个图形的对称轴可能在图形中间，说法不正确；
（3）等边三角形三边相等，角相等，是轴对称图形且有三条对称轴，说法正确，
故答案为：2
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的性质，对称轴数量的判断是解题关键．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）
【答案】都是轴对称图形
【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．
【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．
13．（2022 姜堰区期中）小华从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是　　．
【分析】平面镜成像的特点：像与物关于平面镜对称，根据这一特点可解答出电子钟示数的像对应的时间．
【解析】方法一：将显示的像数字依次左右互换并将每一个数字左右反转，得到时间为21：05；
方法二：将显示的像后面正常读数为21：05就是此时的时间．
故答案为：21：05．
14．（2022 宝应县期中）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝　 　°．
【分析】由△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，推出△ABC≌△A′B′C′，推出∠C＝∠C′＝24°，即可解决问题．
【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，
∴∠B＝180°﹣36°﹣24°＝120°，故答案为：120．
15．（2022·江苏无锡·九年级校考期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是______．
【答案】65°
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∴∠CDH+α=90°，根据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC=∠CDH，
，∴∠CDH=25°，∴α=65°．故答案为：65°．
【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB．
16．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，将长方形纸片沿翻折，点C，D的对应点分别是点G，H，若，则的大小是___________．

【答案】/80度
【分析】根据平行线的性质可得，，则．
【详解】解：长方形中，，
，，
，
由轴对称的性质得：，
，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、轴对称的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；折叠前后对应角相等．
17．（2022 李沧区期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝ 　°．
【分析】根据∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
【解析】∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝22°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝46°﹣22°＝24°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝48°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝22°+48°＝70°，故答案为：70．
18．（2022 南岗区校级月考）如图，点P关于OA、OB的对称点分别为H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若∠HOG＝80°，则∠HPG＝　 　°．
【分析】根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠CPD的关系，利用已知可得∠AOB＝40°可求出∠CPD，进而得出∠HPG．
【解析】∵P关于OA、OB的对称点是H、G，
∴OA垂直平分PH于R，OB垂直平分PG于T，
∴CP＝CH，DG＝DP，∴∠PCD＝2∠CHP，∠PDC＝2∠DGP，
∵∠PRC＝∠PTD＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠RPT+∠AOB＝180°，
∵∠POC＝∠COH，∠POD＝∠DOG，∠HOG＝80°，∴∠AOB＝40°，
∴∠RPT＝180°﹣40°＝140°，∴∠CHP+∠PGD＝40°，
∴∠PCD+∠PDC＝80°，∴∠CPD＝180°﹣80°＝100°．
或∠CPD＝∠CPO+∠DPO＝∠OHG+∠OGH＝180°﹣∠GOH＝100°，
∴∠HPG＝100°+40°＝140°，故答案为：140．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．

【答案】，、
【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．
【详解】解：和关于直线对称，
，，，
又，，．
，，，
【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等．
20．（2022 宝应县期末）图1、图2、图3都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图1中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点；
（2）在图2中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P、Q为格点；
（3）在图3中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，符合条件的三角形共有　 　个．
【分析】根据要求利用轴对称的性质作出图形即可（答案不唯一）．
【解析】（1）如图，线段MN即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，线段PQ即为所求作（答案不唯一）．
（3）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一），符合条件的三角形有4个．故答案为：4．
21．（2023秋·八年级课时练习）如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，．若表示，两点间的距离，求的最大整数值．

【答案】5
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，

∵点关于直线，的对称点分别是点，，∴，．
当点与不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可知；
当点，P，在同一直线上时，．
综上，．所以的最大整数值为5．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．
22．（2022·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性．(2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求．
（2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求．
【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求，原理：∵点和点P关于对称，∴，
∵，∴；
（2）如图3中，作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求．
【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
23．（2022 竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝　 　°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为　 　．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；
【解析】（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α．
（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，故答案为：4
24．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)线段被直线l______；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短；(4)的面积＝______．
【答案】(1)见解析(2)垂直平分(3)见解析(4)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）由轴对称可知，线段被直线l垂直平分．
（3）连接，交直线l于点P，连接，此时的长最短．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由轴对称可知，线段被直线l垂直平分．故答案为：垂直平分；
（3）解：如图，点P即为所求．
（4）解：的面积=．故答案为：．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
25．（山西省太原市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）

操作探究：(1)如图，若，则的度数为______°．(2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)45(2)说明理由见解析(3)①；②
【分析】（1）由，证明，由折叠知，，可得，结合，从而可得答案；（2）由，可得，由，可得，从而可得答案；（3）①：由折叠得出，同理得出，即可得出结论； ②：同①的方法得，，，由平行得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：在长方形中，，
，由折叠知，，，
，，，，故答案为：；
（2）解：∵，，
∵，，；
（3）解：①：由折叠知，，，
，同理：，
；
②：同①的方法得，，，
∴，，，．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解本题的关键．
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专题2.1 图形的轴对称
模块1：学习目标
1、了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念；
2、理解轴对称图形的性质；对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段；
3、会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴；
4、能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
模块2：知识梳理
1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．图形的轴对称的定义：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴．
3．轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．
4．图形的轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．成轴对称的两个图形是全等图形．
模块3：核心考点与典例
考点1、轴对称图形的辨别
例1．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）下列小陈爱用的表情包中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·福建泉州·统考二模）中国的剪纸艺术源远流长，是中国传统民间社会的一种特有的民俗文化形式，是中华优秀传统文化的重要组成部分，至今已有3000多年的历史．福建剪纸整体风格属于南方派，闽北、闽南、闽东、莆仙等地区的剪纸风格又略有不同，别具区域特色．下列剪纸艺术图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·福建泉州·统考二模）《国语 楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、轴对称、轴对称图形的性质（概念）
例1．（2022·江苏常州·八年级校考期中）下列说法错误的是（　　）
A．轴对称的两个图形一定是全等图形 B．轴对称图形的两部分一定能完全重合
C．两个全等三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条
变式1．（2023秋·广东广州·八年级统考开学考试）下列说法中，错误的是（ ）
A．轴对称图形必有对称轴 B．两个能完全重合的图形必是轴对称图形
C．轴对称图形可能有无数条对称轴 D．关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合
变式2．（2022·山东聊城·八年级统考期末）下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全等；④两个全等三角形是轴对称图形．其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3、轴对称、轴对称图形的性质（计算）
例1．（2023秋·广东广州·八年级期中）如图，与关于直线l对称，则（　　）
A． B．' C． D．
变式1．（2023春·七年级单元测试）如图，与关于直线对称，则的度数为________．

变式2．（2023春·八年级期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若线段长为，则的周长为________．
考点4、台球桌面上的轴对称问题
例1．（2022秋·广东八年级期中）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（ ）
A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋
变式1．（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个．
变式2．（2022秋·广东八年级期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
考点5、轴对称中的光线反射问题
例1．（2023春·江苏·七年级校考周测）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ( )
A． B． C． D．
变式1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
变式2．（2023春·重庆·七年级专题练习）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．
考点6、折叠问题
例1．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，E为AD上一点，将沿翻折得到点F在上，且，，则的度数为（ ）
A．56° B．34° C．48° D．62°
变式1．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
变式2．（2023年湖南省娄底市中考模拟数学试题（5月））如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为______．

模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人土的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．（2022 常德期末）如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是（　　）
A．4：40 B．4：20 C．7：40 D．7：20
4．（2022 无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2023春·七年级单元测试）将一个正方形纸片依次按下图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，最后将该图纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，与关于直线l对称，下列结论中：①；②；③l垂直平分；④与的延长线的交点不一定在l上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
8．（2022 南通一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　）
A．38° B．48° C．50° D．52°
9．（2022 深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2023·河北邯郸·校考三模）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有_____个．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）
13．（2022 姜堰区期中）小华从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是　　．
14．（2022 宝应县期中）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝　 　°．
15．（2022·江苏无锡·九年级校考期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是______．
16．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，将长方形纸片沿翻折，点C，D的对应点分别是点G，H，若，则的大小是___________．

17．（2022 李沧区期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝ 　°．
18．（2022 南岗区校级月考）如图，点P关于OA、OB的对称点分别为H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若∠HOG＝80°，则∠HPG＝　 　°．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．

20．（2022 宝应县期末）图1、图2、图3都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图1中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点；
（2）在图2中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P、Q为格点；
（3）在图3中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，符合条件的三角形共有　 　个．
21．（2023秋·八年级课时练习）如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，．若表示，两点间的距离，求的最大整数值．
22．（2022·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题：(1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性．(2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可．
23．（2022 竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝　 　°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为　 　．
24．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)线段被直线l______；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短；(4)的面积＝______．
25．（山西省太原市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）。操作探究：(1)如图，若，则的度数为______°．
如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；
(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．
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