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2023年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 面积为的正方形，其边长等于( )
A. 的平方根 B. 的算术平方根 C. 的立方根 D. 的算术平方根
2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米用计算器求的长，下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 解不等式组时，不等式的解集在同一条数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，每个球除颜色外都相同晓君同学从袋中任意摸出个球不放回后，晓静同学再从袋中任意摸出个球两人都摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如图是一正方体的表面展开图将其折叠成正方体后，与顶点距离最远的顶点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
8. 常言道：失之毫厘，谬以千里当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据的角真的很小把整个圆等分成份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是若一个等腰三角形的腰长为千米，底边长为毫米，则其顶角的度数就是太阳到地球的平均距离大约为千米若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
9. 如图，四边形是一张矩形纸片将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为若矩形与原矩形相似，，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 在中，，，下列说法错误的是( )
A.
B.
C. 内切圆的半径
D. 当时，是直角三角形
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 某些灯具的设计原理与抛物线有关如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出若，，则 ______
13. 九章算术中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元问有多少人？该物品价值多少元？设有人，该物品价值元，根据题意列方程组：______ ．
14. 如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ______
15. 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程千米与行驶时间小时之间的函数关系如图所示当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上点的坐标为连接，，若，，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再从的范围内选择一个合适的数代入求值．
18. 本小题分
某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动纪念馆距学校千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
19. 本小题分
如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬已知苗圃的南北宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．
20. 本小题分
某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了名学生进行安全知识测试，测试结果如表所示每题分，共道题专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取名学生进行测试，根据测试数据制作了如图、图所示的统计图尚不完整．
表
分数分 人数人
设定分及以上为合格，分析两次测试结果得到表．
表
平均数分 众数分 中位数分 合格率
第一次
第二次
请根据图表中的信息，解答下列问题：
将图中的统计图补充完整，并直接写出，，的值；
若全校学生以人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，连接，．
求点的坐标；
求的值．
22. 本小题分
城建部门计划修建一条喷泉步行通道图是项目俯视示意图步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池图是主视示意图喷水装置的高度是米，水流从喷头处喷出后呈抛物线路径落入水池内当水流在与喷头水平距离为米时达到最高点，此时距路面的最大高度为米为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为米，且与喷泉水流的水平距离为米点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽结果精确到米
参考数据：．
23. 本小题分
已知：射线平分，为上一点，交射线于点，，交射线于点，，连接，，．
如图，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，过点作，交于点；过点作，交于点求证：．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，顶点坐标为抛物线交轴于点，，顶点坐标为．
连接，求线段的长；
点在抛物线上，点在抛物线上比较大小： ______ ；
若点，在抛物线上，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，
其边长．
故选：．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题考查的是算术平方根，熟知一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．
3.【答案】
【解析】解：，
则不符合题意；
B.，
则不符合题意；
C.，
则符合题意；
D.，
则不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，积的乘方法则，单项式乘单项式法则，同底数幂除法法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】
【解析】解：在中，，米，
，
，
因此按键顺序为：
故选：．
根据锐角三角函数的定义得出，进而确定按键顺序．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
5.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
将不等式的解集在同一条数轴上表示如图所示：
该不等式组的解集为：，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：列表如下：
红 红 黄 黄 黄
红 红，红 黄，红 黄，红 黄，红
红 红，红 黄，红 黄，红 黄，红
黄 红，黄 红，黄 黄，黄 黄，黄
黄 红，黄 红，黄 黄，黄 黄，黄
黄 红，黄 红，黄 黄，黄 黄，黄
由表知，共有种等可能结果，其中两人都摸到红球的有种结果，
所以两人都摸到红球的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
7.【答案】
【解析】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点距离最远的顶点是，
故选：．
把图形围成立体图形求解．
本题考查了平面图形和立体图形，掌握空间想象力是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设等腰三角形底边长为毫米，由题意得，
，
解得，
毫米千米，
故选：．
根据题意列方程求解即可．
本题考查科学记数法，等腰三角形的性质，理解题意是正确解答的前提．
9.【答案】
【解析】解：设，
四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
矩形与原矩形相似，
，
，
解得：或，
经检验：或都是原方程的根，
，
，
，
故选：．
设，根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得：，，，从而可得四边形是正方形，然后利用正方形的性质可得，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程公式法，矩形的性质，翻折变换折叠问题，正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、由三角形三边关系得，，即，故A正确，不符题意；
B、当时，最大，此时，故B正确，不符题意；
C、三角形内切圆半径，由，得，故C错误，符合题意；
D、当时，，所以时直角三角形，故D正确，不符题意．
故选：．
根据三角形的性质逐个判断即可．
本题考查了三角形相关知识点的应用，三角形面积、勾股定理、内切圆半径的求法是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
分别根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则、数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，涉及到零指数幂、负整数指数幂的计算法则、数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得．
本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程组为，
故答案为：．
根据“人数物品价值、物品价值人数”可得方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
14.【答案】
【解析】解：连接、，
，
是等边三角形．
，
在正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：．
根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．
本题考查了作图基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是关键．
15.【答案】
【解析】解：当时，与之间的函数表达式为，
当时，，
设当时，与之间的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得，
故答案为：．
根据当时，与之间的函数表达式为，可得当时，，设当时，与之间的函数表达式为，用待定系数法可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点．
，，
，
，．
≌，
，．
，，
点、都在反比例函数上，
，
解得：，舍去，
点的坐标为，
．
构造全等三角形推出点的含有的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于的方程，解出即可求出的坐标，
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
17.【答案】解：原式
，
要使分式有意义，且且，
所以不能为，，，
取，
当时，原式．
【解析】先根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出不能为，，，，根据满足的整数取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：设大型客车的速度为，则小型客车的速度为，
根据题意得分钟小时．
故列方程为：．
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：大型客车的平均速度是．
【解析】设大型客车的速度为，则小型客车的速度为，根据时间差为分钟列出方程．
已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
19.【答案】解：如图，过点作于点，
设，则，
在中，
，
，
同理，
，
，
解得，
即遮阳蓬的高度约为，
，，
，
，
即遮阳蓬的宽约为．
【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，再由直角三角形的边角关系求出即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20.【答案】解：分人数为：人，
故分人数为：人，
补全统计图如下：
故众数，
平均数；
合格率；
人，
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为人；
专项安全教育活动的效果良好，理由如下：
专项安全教育活动后，学生测试成绩的平均数，中位数以及合格率比开展专项安全教育活动前高的多，所以项安全教育活动的效果良好．
【解析】用样本容量乘可得分人数，进而得出分人数，再分别根据众数、加权平均数以及合格率的定义可得、、的值；
利用样本估计总体思想求解可得；
比较两次的平均数，众数、中位数以及合格率即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：点，，
，
过作于，
，
，
连接，，
与轴相切于点，
轴，
，
四边形是矩形，
，
，
点的坐标为；
连接并延长交于，连接，
则，
，
．
【解析】过作于，根据垂径定理得到，求得，连接，，根据切线的性质得到轴，得到，根据勾股定理得到；连接并延长交于，连接，得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确都作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
抛物线的最高点为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，
，
米．
答：步行通道的宽的长约为米．
【解析】选以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设抛物线的解析式为：，把代入求得，写出解析式，再求出点的坐标，即可求解．
本题是二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键．
23.【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
如下图，作于点，作于点，
平分，
，，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
证明：如下图，连接，
，，
，，
，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】如图，作于点，作于点，利用角平分线定义及性质易得，，然后利用可证得≌，≌，再根据全等三角形性质及线段的和差可证得，利用平行线性质及等角对等边可证得，最后利用有一组邻边相等的平行四边形即可证得结论；
连接，结合中所求及垂径定理，利用易证得≌，再根据全等三角形性质及已知条件可证得，最后利用平行线分线段成比例即可证得结论．
本题考查圆与全等三角形的综合应用，中作于点，作于点，中连接分别构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，
；
由题意得：设抛物线：，抛物线：，
由得：，，
，
，
，
把代入抛物线得：，
把代入物线得：，
，
；
故答案为：；
，
点离对称轴更近，
，
，
；
或，
或．
根据抛物线与轴的交点坐标，即可求出顶点横坐标，从而求出结果；
用两点式设出抛物线解析式，把顶点坐标代入可得，再把，代入比较即可；
根据，则点离对称轴更近，可得，解不等式即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，综合性强，掌握数形结合是解题的关键．
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