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12.2全等三角形的判定
第4课时 斜边、直角边（HL）
学习目标
1.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题.
2.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理.
学习策略
1.通过画符合条件的三角形，理解三角形全等的判定；
2.灵活运用三角形全等的判定方法.
学习过程
一.复习回顾：
1.判定两个三角形全等的条件有哪些
SSS,SAS,ASA,AAS
2.SSA能够证明两个三角形全等吗？画出图形说明
3.上面定理对于直角三角形适用吗？
适用
二.新课学习：
阅读课本本节的内容，解决下列问题
知识点一：用“HL”定理判定直角三角形全等
1.在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°，除去这个直角外，你能添加哪些条件使△ABC≌△A1B1C1 并说明你用的是哪种判定方法.
【答案】①BC=B1C1，∠C=∠C1，AC=A1C1(SAS)；
②∠A=∠A1，AC=A1C1，∠C=∠C1(ASA)；
③∠B=∠B1，BC=B1C1，∠C=∠C1(ASA)；
④∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1(AAS)；
⑤∠A=∠A1，∠C=∠C1，BC=B1C1(AAS)；
⑥∠A=∠A1，∠C=∠C1，AB=A1B1(AAS)；
⑦∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB=A1B1(AAS).
2.已知线段a=4 cm，c=5 cm，∠α=90°，在硬纸片上用直尺和圆规作出△ABC，使BC=a，AB=c，∠C=∠α.把你的作法写出来.
【答案】(1)作∠MCN=∠α=90°；(2)在射线CM上截取BC=a；(3)以点B为圆心，以5 cm为半径画弧，交射线CN于点A；(4)连接AB
总结：　 　和一条　 　分别相等的两个　 　三角形全等(可以简写成“　 　”或“　 　”).
【答案】斜边；直角边；直角；斜边、直角边；HL
三.尝试应用：
例1 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD，AB为两个直角三角形的公共斜边，
∴Rt△ADB≌Rt△CBA（HL），
∴BC＝AD．
例2如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？
解：D，E与路段AB的距离相等，
理由：∵点C是路段AB的中点，
∴AC＝CB，
∵两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，
∴DC＝EC，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AD＝BE，
∴D，E到路段AB的距离相等．
四.自主总结：
1.直角三角形斜边、直角边判定定理（HL）;
2.判定直角三角形全等的方法有5种.分别是_______，_______，_______，_______，_______.
SSS, SAS, AAS, ASA, HL
五.达标测试
一、选择题
1. 如图，BE、CD是△ABC的高，且BD=EC，能判定△BCD≌△CBE的依据是(　　)
A.HL B.SAS C.AAS D.ASA
2. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(　　)
A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
3. 下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．两对直角边对应相等
4.已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90 ，有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′；
③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的个数为（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=___________.
7.如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件_______；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件________．
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=______时，△ABC和△PQA全等．
9.如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC 于F，DE⊥BC与E，AB = DC，BE = CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
10. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？
参考答案
1..A
2.B
3. D 解析：A、斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；
B、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；D、两对直角边对应相等，可利用SAS定理证明两个直角三角形全等，故此选项正确．
4.D解析：根据已经学过的5种判定方法：“SSS”“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”，并结合题目中的已知条件进行判断.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
① ∠A=∠A′， AC=A′C′， ∠C=∠C′，
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（ASA）.
② AB=A′B′， AC=A′C′，
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
③ AC=A′C′， ∠C=∠C′， BC=B′C′，
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）.
④ ∠A=∠A′，∠C=∠C′， AB=A′B′，
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（AAS）
5.D 解析：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD，∴（1）△ABD≌△ACD正确；∴（2）AB=AC正确；（3）∠B=∠C正确；∠BAD=∠CAD，∴（4）AD是△ABC的角平分线．
6.50° 解析：∵∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
7.AB=DC AD=BC 解析：（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；∵AC⊥AB，AC⊥CD，∴∠BAC=90°，∠DCA=90°，∴∠BAC=∠DCA，在△ABC和△CDA中，∵，∴△ABC≌△CDA（SAS）；（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；在Rt△ABC和Rt△CDA中，,∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
8.5或10 解析：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①当AP=5=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中，，∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP=10=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL）．
9. 解：平行.理由：
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB 和∠DEC 都是直角，
又 BE = CF，
∴BE+EF=CF+EF，即 BF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴∠B =∠C，AB∥CD.
10. 解：CE=DF．理由：在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴AC=BD，∠CAB=∠DBA．在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（AAS），∴CE=DF．

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