资源简介

14.2　乘法公式
14.2.1　平方差公式
学习目标
1.经历探索平方差公式的过程,进一步发展符号感和推理能力;会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算.
2.通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用,认识平方差及其几何背景,使学生明白数形结合的思想.
学习策略
1.结合多项式的乘法法则，理解平方差公式；
2.牢记平方差公式.
学习过程
一.复习回顾：
1．多项式乘以多项式的法则是什么？请用公式表示出来；
2. （1）（x-1）（x+1）； （2）（x-3y）（x+3y）
（3）（3c+d）(3c-d) ； (4)(x+5y)(x-5y) .
二.新课学习：
知识点一：平方差公式
1.观察2题算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？
①上面四个算式中每个因式都有________项；
②它们都是两个数的________与________的________(填“和”“差”或“积”).
综上，你能得出什么结论？
【答案】①两　②和；差；积
结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ .
【答案】
3.判断下列各式中，符合平方差公式特征的有 .
①(x﹣y)(﹣x+y) ②(﹣x+y)(﹣x﹣y) ③(﹣x﹣y)(x﹣y) ④(x+y)(﹣x+y)
【答案】②③④
【解析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解.
知识点二：用几何拼图验证平方差公式
(1)由①②③组成的长方形的面积可以表示成 ；
(2)将③拼接在①的下方后，图形的面积可以表示成 ；
(3)根上述图形，我们可以得出 .
【答案】(1)(a+b)(a-b) (2)a2-b2 (3)(a+b)(a-b)= a2-b2
三.尝试应用：
例1 计算:
（1）（3a+2b） （3a﹣2b）；
（2）（﹣2y2+5x） （﹣2y2﹣5x）；
（3）（x+） （x2+） （﹣x）；
解：（1）（3a+2b） （3a﹣2b）
＝9a2﹣4b2；
（2）（﹣2y2+5x） （﹣2y2﹣5x）
＝4y4﹣25x2；
（3）（x+） （x2+） （﹣x）
＝[（x+）（﹣x）] （x2+）
＝（﹣x2）（x2+）
＝﹣x4；
例2 （1）29.8×30.2； （2）10.98×11.02．
解：（1）29.8×30.2＝（30﹣0.2）（30+0.2）＝900﹣0.04＝899.96；
（2）10.98×11.02＝（11﹣0.02）（11+0.02）＝121﹣0.0004＝120.9996．
四.自主总结：
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.（a+b）（a-b）=a2-b2.
五.达标测试
一、选择题
1. 下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2b-a） B．(+1)( 1) C．（3x-y）（-3x+y） D．（-m-n）（-m+n）
2. 利用乘法公式计算正确的是（　　）
A．（4x﹣3）2＝8x2+12x﹣9 B．（2m+5）（2m﹣5）＝4m2﹣5
C．（a+b）（a+b）＝a2+b2 D．（4x+1）2＝16x2+8x+1
3.为了运用平方差公式计算(x+2y﹣1)(x﹣2y+1)，下列变形正确的是(　　)
A.[x﹣(2y+1)]2 B.[x+(2y﹣1)][x﹣(2y﹣1)]
C.[(x﹣2y)+1][(x﹣2y)﹣1] D.[x+(2y﹣1)]2
4.已知m+n=5，m﹣n=3，则m2﹣n2=(　　)
A.5 B.15 C.25 D.9
5. （2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（　　）
A．232﹣1 B．232+1 C．232 D．216
二、填空题
6. 4.已知a+b=8，a-b=4，则a2-b2=__________.
7. 计算20212﹣2025×2017＝　 　．
8. 若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝　 　．
三、解答题
9.利用平方差公式简算：
（1）20 ×19；
（2）13.2×12.8．
10.对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n－1)－(3－n) (3+n)的值一定是10的倍数吗 试说明理由.
参考答案
1.D 2. D
3.B 解析：运用平方差公式计算(x+2y﹣1)(x﹣2y+1)，应变形为[x+(2y﹣1)][x﹣(2y﹣1)].
4.B 解析：因为m+n=5，m﹣n=3，所以(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2=3×5=15.
5. A解析：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）…（216+1）
＝（28﹣1）…（216+1）
＝232﹣1，故选：A．
6.32
7. 解析：原式＝20212﹣（2021+4）×（2021﹣4）＝20212﹣（20212﹣42）＝20212﹣20212+42＝16．
8. 10解析：由（2m+5）（2m﹣5）＝15，得4m2﹣25＝15．解得m2＝10．
9.解：（1）20×19=（20+）×（20－）=400－=399；（2）13.2×12.8=（13+0.2）×（13－0.2）=169－0.04=168.96．
10.解：原式=（3n+1）（3n－1）－（3－n）（3+n）=9n2－1－（9－n2）=10n2－10=10（n+1）（n－1），因为n为正整数，所以（n－1）（n+1）为整数，即（3n+1）（3n－1）－（3－n）（3+n）的值是10的倍数．

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