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1.1 集合的概念及其表示
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
3．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
(一) 集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
例1．（1）、（2020秋·浙江温州·高一校考期中）下列对象中，能组成集合的是（ ）
A．所有接近1的数的全体 B．某班高个子男生的全体
C．某校考试比较靠前的学生的全体 D．大于2小于7的实数的全体
（2）、（2019·高一课时练习）以下元素的全体不能够构成集合的是______（用题号填空）．
①中国古代四大发明
②地球上的小河流
③方程的实数解
④周长为的三角形
【变式训练1-1】、（2021·高一课时练习）下列各个全体中，能表示为集合的是（ ）
A．某届某校较优秀的毕业生； B．很接近的所有实数；
C．某班身高较高的男生； D．数轴上所有的有理数点．
【变式训练1-2】、（2021·浙江高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
(二) 元素与集合之间的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
例2．（1）、（2023·高一课时练习）若，则a的值为______.
（2）．（2021秋·高一课时练习）下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2021秋·高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______.
【变式训练2-2】、（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
例3．（2020·安徽省太和中学高一月考）设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
【变式训练3-1】、（2022秋·高一课时练习）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
(三)、集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例4．（2022·高一课时练习）用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【变式训练4-1】、（2022·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
例5．（2022秋·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【变式训练5-1】、（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
例6．（2016·高一课时练习）方程组的解集不可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】、（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）用列举法表示集合__________．
（四）、集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例7．（1）、（2020·高一课时练习）设集合，且，则实数的值是________．
（2）、（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数 _______
【变式训练7-1】、（2021·高一课前预习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，求实数的值．
【变式训练7-2】、（2022·高一单元测试）集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
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1.1 集合的概念及其表示
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
3．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
(一) 集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
例1．（1）、（2020秋·浙江温州·高一校考期中）下列对象中，能组成集合的是（ ）
A．所有接近1的数的全体 B．某班高个子男生的全体
C．某校考试比较靠前的学生的全体 D．大于2小于7的实数的全体
【答案】D
【解析】根据集合元素的特性：确定性即可排除ABC，进而得到正确选项.
【详解】由集合元素的特性：ABC不符合确定性原则，D可表示为，
故选：D
（2）、（2019·高一课时练习）以下元素的全体不能够构成集合的是______（用题号填空）．
①中国古代四大发明
②地球上的小河流
③方程的实数解
④周长为的三角形
【答案】②
【分析】根据集合的定义即可得到结果.
【详解】由集合定义可知，①③④均为确定的对象构成的整体，能够构成集合
②中的“小河流”无明确标准，不是确定的对象，不能够构成集合
本题正确结果：②
【点睛】本题考查集合的定义，属于基础题.
【变式训练1-1】、（2021·高一课时练习）下列各个全体中，能表示为集合的是（ ）
A．某届某校较优秀的毕业生； B．很接近的所有实数；
C．某班身高较高的男生； D．数轴上所有的有理数点．
【答案】D
【分析】根据集合的概念依次判断即可得答案.
【详解】解：对于A选项，较优秀的毕业生不确定，故不正确；
对于B选项，很接近的数没有度量标准，故不正确；
对于C选项，身高较高没有度量标准，故不正确；
对于D选项，满足集合的概念，故正确.
故选：D
【变式训练1-2】、（2021·浙江高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【分析】
根据集合定义与性质一一判断即可.
【详解】
A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.
故选：B
(二) 元素与集合之间的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
例2．（1）、（2023·高一课时练习）若，则a的值为______.
【答案】
【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，
若，解得，此时，，符合题意，即，
而，即，
所以a的值为.
故答案为：
（2）．（2021秋·高一课时练习）下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，结合选择，逐项判定，即可求解.
【详解】由属于实数，所以A错误；
由是正整数集，因此，所以B错误；
由是有理数，所以C正确；
由于是无理数，是整数集，所以D错误.
故选：C.
【变式训练2-1】、（2021秋·高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______.
【答案】3
【分析】根据集合的表示规则和常用集合的含义求解.
【详解】是无理数，属于实数，①正确；
是分数，属于有理数，②正确；
0表示一个元素，表示一个集合，③错误；
N表示从0开始的所有自然数集合，，④错误；
是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z表示所有整数的集合，-3是整数，，⑥正确；
故答案为：3.
【变式训练2-2】、（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
例3．（2020·安徽省太和中学高一月考）设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析.
【分析】
（1）根据，则，由求解.
（2）根据，，进行递推求解.
【详解】
（1）∵若，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴中另外两个元素分别为-1，.
（2）∵，，
∴，且，，，
所以集合中至少有3个元素，
所以集合A不是双元素集合.
【变式训练3-1】、（2022秋·高一课时练习）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【答案】(1)1或
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）依题意可得或，分别求出的值，再代入检验即可；
（2）依题意可得或，求出的值，再判断是否符合集合元素的互异性，即可得解.
【详解】（1）因为是集合中的元素，
所以或．
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，
此时集合中含有两个元素，，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或．
（2）不能．理由如下：
若为集合中的元素，则或．
当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．
综上，不能为集合中的元素．
(三)、集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例4．（2022·高一课时练习）用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.
（1）
以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ，
（2）
的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ，
（3）
联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为
【变式训练4-1】、（2022·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
【答案】(1){红色，黄色}；
(2).
【分析】利用集合的列举法的概念即得.
（1）
组成中国国旗的颜色名称的集合用列举法表示为{红色，黄色}；
（2）
由，解得，
故方程组的解集为.
例5．（2022秋·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)且
【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.
【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）解：集合，用描述法可表示为：且.
【变式训练5-1】、（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用集合的描述法即得.
（1）
奇数组成的集合为；
（2）
平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.
例6．（2016·高一课时练习）方程组的解集不可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可
【详解】由，得，方程组只有一组解，
对于AB，是用描述法表示方程组的解集，所以AB正确，
对于C，表示两个元素1，2，所以C错误，
对于D，是用列举法表示方程组的解集，所以D正确，
故选：C
【变式训练6-1】、（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）用列举法表示集合__________．
【答案】
【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合．
【详解】因为且
所以可以取，2，3，4.
所以
故答案为：
【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题.
（四）、集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例7．（1）、（2020·高一课时练习）设集合，且，则实数的值是________．
【答案】0
【分析】根据集合相等则元素完全相同，即可列式求得参数值.
【详解】由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，
得3m＝m，
则m＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查根据集合相等求参数值，属简单题.
（2）、（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数 _______
【答案】
【解析】
【分析】
由题知方程有且只有一个实数根，进而得，再解方程即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以方程有且只有一个实数根，
所以，解得.
所以
故答案为：
【变式训练7-1】、（2021·高一课前预习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，求实数的值．
【答案】
【分析】由集合相等可出关于实数满足的等式，进而可解得实数的值.
【详解】因为，分以下两种情况讨论：
①，解得，经检验，不满足集合元素的互异性，而适合；
②，无解.
综上所述，.
【变式训练7-2】、（2022·高一单元测试）集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
【分析】根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.
【详解】因为，且，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，
故选B.
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