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2.1 等式的性质与不等式的性质
考点1 不等式的基本性质
考点2 常用的结论
1.a>b，ab>0 <；
2.b<0；
3.a>b>0，c>d>0 >；
4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．
考点3 作差比较法的四个步骤
重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假
例1．（1）、（2023春·湖南·高二统考学业考试）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；
对于B，由，若，则，故B错误；
对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；
对于D，取，满足条件，但，故D错误.
故选：C.
（2）、（2022秋·高一课时练习）已知均为实数，有下列说法:
①若，则;
②若，则;
③若，则;
④若，则.
其中，正确的结论是________.(填序号)
【答案】③
【分析】用特殊值结合不等式的性质即可判断.
【详解】①用特殊值法检验．令，有，故①错误；
②当时，有，故②错误；
③当时，有，从而，故③正确；
④当时，显然有，故④错误．综上，只有③正确.
故答案为：③
【变式训练1-1】、（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的性质可判断A；由特值法可判断BCD.
【详解】对于A，，由不等式的性质可得，故A正确；
对于B，，取，所以，故B不正确；
对于C，，若，则，故C不正确；
对于D，，取，故D不正确.
故选：A.
【变式训练1-2】、（2023秋·云南红河·高一统考期末）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.
【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；
对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；
对于C选项，当时，，所以C错误；
对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.
故选：AD．
重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小
例2．（1）、（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）比较大小：__________.
【答案】
【分析】利用作差法比较即可
【详解】因为，
所以
故答案为：.
（2）、（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）设，，则有_______.（请填“<”、“=”、“>”）
【答案】<
【分析】利用作差法与配方法即可得解.
【详解】因为，，
所以，
故.
故答案为：<.
【变式训练1-1】、（2023·高一课时练习）比大小：_____．
【答案】>
【分析】对，两边平方，再做差比较大小可得答案.
【详解】因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【变式训练1-2】、（2022秋·高一单元测试）设， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据作差法判断两式大小.
【详解】，∴.
故选：A.
重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围
例3．(1)、（2023·高一课时练习）已知，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质即可求出的取值范围.
【详解】由题意，
在中，
∵，
∴，解得：，
故答案为：.
(2)、（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】因为，
由，所以，
由，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
【变式训练3-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式
例4、（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知，比较与的大小；
（2）已知，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）（2）利用作差法判断即可.
【详解】（1）
，
∵，∴，又，∴，
所以.
（2）∵，
又∵，，
∴当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
综上，当时，；当时，；当时，.
【变式训练4-1】、（2023·高一单元测试）（1）已知，比较与的大小．
（2）已知，比较与的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】由作差法及因式分解比较大小即可
【详解】（1）．
∵，∴，即，当且仅当时取等号．
（2）．
因为，所以；又，所以，
所以．
例5．（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【详解】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；
.
【变式训练5-1】、（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设，比较与的大小；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.
【详解】（1），，
，.
（2），，又，
又，
，
.
重难点题型突破5 挑战满分压轴题
例6．（2022·高一课时练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果.
【详解】因为，所以，
当时，则，即，
可得可取；
当时，则，
可得可取；
当时，则，解得，或，
进而解得为；
当时，则，可得为；
所以方程的解的个数为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.
【变式训练6-1】、（2021春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解.
【详解】由，可得，即；
当时，即时，（舍去）；
当时，即时，，满足题意；
当时，即时，（舍去）；
同理可知，当或时不合题意，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
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2.1 等式的性质与不等式的性质
考点1 不等式的基本性质
考点2 常用的结论
1.a>b，ab>0 <；
2.b<0；
3.a>b>0，c>d>0 >；
4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．
考点3 作差比较法的四个步骤
重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假
例1．（1）、（2023春·湖南·高二统考学业考试）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
（2）、（2022秋·高一课时练习）已知均为实数，有下列说法:
①若，则;
②若，则;
③若，则;
④若，则.
其中，正确的结论是________.(填序号)
【变式训练1-1】、（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2023秋·云南红河·高一统考期末）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小
例2．（1）、（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）比较大小：__________.
（2）、（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）设，，则有_______.（请填“<”、“=”、“>”）
【变式训练1-1】、（2023·高一课时练习）比大小：_____．
【变式训练1-2】、（2022秋·高一单元测试）设， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围
例3．(1)、（2023·高一课时练习）已知，则的取值范围是__________．
(2)、（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【变式训练3-2】、（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式
例4、（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知，比较与的大小；
（2）已知，试比较与的大小.
【变式训练4-1】、（2023·高一单元测试）（1）已知，比较与的大小．
（2）已知，比较与的大小．
例5．（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【变式训练5-1】、（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设，比较与的大小；
（2）已知，，，求证：．
重难点题型突破5 挑战满分压轴题
例6．（2022·高一课时练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【变式训练6-1】、（2021春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______.
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