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2.2 基本不等式
【基本不等式(或)均值不等式】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
重难点突破(一) 基本不等式的简单应用
例1.（1）、（2023·高一课时练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
（2）、（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练1-1】、（2022秋·高一课时练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2023·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
重难点突破(二) 利用基本不等式求最值
例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
（2）、（2020秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知，则的最小值为______.
【变式训练2-1】、（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
【变式训练2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为6 D．的最小值为4
重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.（1）、（2023·高一单元测试）设，且，则的最小值为__________．
、（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________.
【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【变式训练3-2】、（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例4、（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）若正实数， 满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
【变式训练4-1】、（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
例5、（2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
【变式训练5-1】、（2021秋·高一单元测试）（1）若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．
（2）已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：．
重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用
例6、（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．
【变式训练6-1】、（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
重难点突破(六) 挑战满分（压轴题）
例7．（1）、（2022·浙江·高一期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022秋·湖北武汉·高一期末）已知，，是正实数，且，则最小值为__________.
【变式训练7-1】、（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【变式训练7-2】、（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）实数满足，则的最小值是__________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.2 基本不等式
【基本不等式(或)均值不等式】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
重难点突破(一) 基本不等式的简单应用
例1.（1）、（2023·高一课时练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】直接根据基本不等式即可得结果.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为，
故选：B.
（2）、（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最大值为2.
故选：D.
【变式训练1-1】、（2022秋·高一课时练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最大值为.
故选：C.
【变式训练1-2】、（2023·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解.
【详解】由，可得，
则，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.
故选：B.
重难点突破(二) 利用基本不等式求最值
例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
（2）、（2020秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】求两个正数和的最小值，凑它们的积为定值即可用基本不等式求解.
【详解】因为，
则，
当且仅当即时取等号，
故答案为：5
【变式训练2-1】、（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若，则，
当且仅当即等号成立，
所以若时，有最小值为6，无最大值.
故选：B.
【变式训练2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为6 D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.（1）、（2023·高一单元测试）设，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据“1”的代换，结合已知可推得，然后根据基本不等式，即可得出答案.
【详解】因为，，
所以.
当且仅当，且，即时，等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
(2)、（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】/1.125
【分析】因为，再利用基本不等式即可得出结果.
【详解】因为，所以
，当且仅当，即最取到等号.
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】
正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，则，
.
当，即，时等号成立.
故选：C
重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例4、（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）若正实数， 满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由基本不等式推论可得答案；（2）注意到，后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）因，，则，当且仅当时取等号，则的最大值为；
（2），
当且仅当，即，时取等号，则的最小值为.
【变式训练4-1】、（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵，且，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为；
（2）∵，则，
∴，
当且仅当即时等号成立.
∴的最大值.
例5、（2022秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；
（2）根据，，，即可得证.
【详解】（1）由，得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立；
（2）因为，，均为正数，
则，，，当且仅当时，不等式等号均成立，
则，
即，当且仅当时等号成立.
所以.
【变式训练5-1】、（2021秋·高一单元测试）（1）若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．
（2）已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：．
【答案】（1）[16，＋∞)；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题得，再解一元二次不等式得解.
（2）根据化简，利用均值不等式即可证明.
【详解】（1），
即，即，解得，
所以，当且仅当取等号
所以的取值范围为
（2）都为正实数，且
，
当且仅当时，等号成立，
所以.
重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用
例6、（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．
【答案】，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．
【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为泳池的长为x米，则宽为米．
则总造价，
整理得到，
当且仅当时等号成立．
故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．
【变式训练6-1】、（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
【答案】千套时，取得最小值为180万元
【分析】根据总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用，再根据基本不等式求总费用的最值，并求等号成立的条件.
【详解】由题意得：建造成本费用为，
使用管理费：，所以，
，
当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元．
重难点突破(六) 挑战满分（压轴题）
例7．（1）、（2022·浙江·高一期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.
【详解】解：因为满足，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：．
【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
（2）、（2022秋·湖北武汉·高一期末）已知，，是正实数，且，则最小值为__________.
【答案】
【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.
【详解】由题，，
其中
，
当且仅当，即时取等，
故
，
当且仅当时，即时取等.
故答案为：
【变式训练7-1】、（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【答案】B
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：正实数满足，
则，
，
即：，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为11.
故选：B.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．
【变式训练7-2】、（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）实数满足，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】先由题设条件得到，再利用换元法求得关于的关系式，从而将转化为关于的关系式，由此利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，易知此时有解，
故，即的最小值为.
故答案为：
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