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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
考点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
考点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
考点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
考点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
考点五 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
考点六 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
重难点突破(一)、 一元二次不等式的解法
例1、（1）、（2020·高一单元测试）不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
（2）、（2018秋·广西桂林·高二桂林十八中校考开学考试）已知集合A={x|x2<16}，B={x|x2﹣4x+3>0}，则A∩B=（ ）
A．(﹣4，1)∪(3，4) B．(3，4)
C．(﹣4，4) D．R
【变式训练1-1】、（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式的解集为
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
重难点突破(二) 、含有参数的一元二次不等式与根的判别式
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（1）、（2023·高一课时练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
（2）、（2022秋·福建福州·高一福建省福州高级中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个正实数根，则q的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【变式训练2-2】、（2021秋·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）（多选题）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
重难点突破(三) 、一次分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．（1）不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
(2)．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【变式训练3-1】．（2022秋·高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】．（2022秋·四川南充·高一校考期中）解下列不等式并写出解集.
(1)；
(2).
重难点突破(四)、二次不等式综合问题
例4．（1）、（河南省濮阳市2021-2022学年高一下学期期末数学（理科）试题）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
(2)．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】、（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【变式训练4-2】．（2022秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点突破(五)、不等式的恒成立问题
例5．（1）、（2020·浙江衢州·高一期中）已知函数对一切恒成立，则实数m的取值范围___________.
（2）、（2023·全国·高一假期作业）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【变式训练5-2】、（2021秋·广东河源·高一河源市河源中学校考阶段练习）若恒成立，则实数的取值范围为_______．
重难点突破(六)、挑战满分压轴题
例6．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）设命题：实数满足，命题：实数满足.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【变式训练6-1】．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集．
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
考点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
考点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
考点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
考点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
考点五 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
考点六 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
重难点突破(一)、 一元二次不等式的解法
例1、（1）、（2020·高一单元测试）不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】根据一元二次函数的图像即可得到答案.
【详解】与不等式对应的一元二次函数为：，
如图函数开口向上，与轴的交点为：，，
可得不等式的解集为：或.
故选：B
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解方法，意在考查对基础知识的掌握，属于基础题.
（2）、（2018秋·广西桂林·高二桂林十八中校考开学考试）已知集合A={x|x2<16}，B={x|x2﹣4x+3>0}，则A∩B=（ ）
A．(﹣4，1)∪(3，4) B．(3，4)
C．(﹣4，4) D．R
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法“大于取两边，小于取中间”，分别得到集合，然后根据交集的概念，可得结果.
【详解】由，所以
由
可得：或
所以
所以
故选：A
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和交集的概念，熟练掌握一元二次不等式的解法，口诀：“大于取两边，小于取中间”或者使用二次函数的图像，属基础题.
【变式训练1-1】、（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接根据一元二次不等式的解法求解．
【详解】解：∵，∴，无解
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，注意三个二次——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，属于基础题．
【变式训练1-2】、（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式化简为，即可求出其解集.
【详解】
由可得：，所以不等式的解集为：.
故选：C.
重难点突破(二) 、含有参数的一元二次不等式与根的判别式
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（1）、（2023·高一课时练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.
【详解】当方程没有根时，，即，
解得；
当方程有根，且根都不为负根时，，
解得，
综上，，
即关于x的方程没有一个负根时，，
所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，
故选:B.
（2）、（2022秋·福建福州·高一福建省福州高级中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个正实数根，则q的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出不等式组求解即可.
【详解】因为一元二次方程有两个正实数根，
所以，解得，
故选：D
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
【变式训练2-2】、（2021秋·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）（多选题）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一检验各个选项，从而得出结论．
【详解】解：设，则二次函数的图象的对称轴为．
当时，方程即，求得，满足方程有正根，
但由方程有正数根，可得，即，
故是方程有正数根的充分不必要条件，故A满足条件；
当时，方程即，求得，不满足方程有正实数根，
故不是方程有正数根的充分条件，故排除B．
当时，方程即，求得，满足方程有正根，
但由方程有正数根，可得，即，
故方程有正数根的充分不必要条件，故C满足条件；
当时，方程即，求得，或，满足方程有正根，
但由方程有正数根，可得，即，
故方程有正数根的充分不必要条件，故D满足条件，
故选：ACD．
重难点突破(三) 、一次分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．（1）不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D．
(2)．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】直接解分式不等式即可.
【详解】由或，
所以不等式的解集为：或，
故选：A.
【变式训练3-1】．（2022秋·高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.
【详解】不等式等价于，
利用数轴标根法可得或，所以不等式解集为.

故选：C
【变式训练3-2】．（2022秋·四川南充·高一校考期中）解下列不等式并写出解集.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原不等式等价于，由此可求得原不等式的解集；
（2）原不等式等价于，由此可求得不等式的解集.
【详解】（1）由得，即，解得，
故不等式的解集为；
（2）（2）由得，∴，解得，
故不等式的解集为.
重难点突破(四)、二次不等式综合问题
例4．（1）、（河南省濮阳市2021-2022学年高一下学期期末数学（理科）试题）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】
若“，”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，
则实数的取值范围为：.
故选：A.
(2)．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意问题等价于恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围．
【详解】关于x的不等式的解集为，
即恒成立．
当时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件．
当时，应满足且，解得．
综上知，实数a的取值范围是．
故选：C．
【变式训练4-1】、（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AC
【分析】根据不等式的解集以及韦达定理可知，可判断，进而解得不等式的解集以及不等式的解集，可得.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以，A正确;
方程的两根是，
由韦达定理：得：，
等价于，所以，B错误；
不等式等价于，
即，解得：或，C正确；
因为，所以，D错误.
故选：AC.
【变式训练4-2】．（2022秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
重难点突破(五)、不等式的恒成立问题
例5．（1）、（2020·浙江衢州·高一期中）已知函数对一切恒成立，则实数m的取值范围___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意转化为不等式对一切恒成立，结合函数在单调性和最小值，即可求解.
【详解】
由题意，函数对一切恒成立，
即不等式对一切恒成立，
因为函数在为单调递减函数，所以，
所以，即实数m的取值范围.
故答案为：.
（2）、（2023·全国·高一假期作业）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案.
【详解】原不等式可化为，
设，
则，
当且仅当，且，即时，函数有最小值为2.
因为恒成立，所以.
故选：C.
【变式训练5-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】
解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
【变式训练5-2】、（2021秋·广东河源·高一河源市河源中学校考阶段练习）若恒成立，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】若恒成立，则函数在区间上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.
【详解】若恒成立，
则函数在区间上的最小值大于等于0
对于，对称轴为
当时，在上单调递增，
，符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
所以，，
综上，的取值范围是
故答案为：
【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将恒成立向最值靠拢，涉及的思想是分类讨论，属于较难题目.
重难点突破(六)、挑战满分压轴题
例6．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）设命题：实数满足，命题：实数满足.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分别求出两个命题为真时的范围，再根据为真即可得解；
（2）由是的充分不必要条件，得对应的集合是对应集合的真子集，进而可得答案.
【详解】（1）当时，，即，，
若为真，即，
所以实数x的取值范围为；
（2）若，，即；或
q：，且q是 p的充分不必要条件，
则对应的集合是对应集合的真子集，则或，
即或，
故实数m的取值范围为.
【变式训练6-1】．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得原不等式即为，再写出其等价不等式（组），解得即可；
（2）依题意可得，分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）当时，，则不等式，即，
等价于，解得或，
所以不等式的解集为．
（2）不等式等价于，即，
若，原不等式可化为，解得，不等式的解集为；
若，原不等式可化为，方程的两根为，，
若，当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为
综上所述：当时，原不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
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