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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题04 指对幂函数
【考点考向】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
4.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
5.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
6.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
7.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
【解题策略】
1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
【考点解析】
一．幂函数的图象和性质
1．（2023秋 永州期末）已知幂函数的图象经过点，则　　．
2．（2023春 雁塔区校级期末）已知函数为幂函数，则实数的值为　　
A．或2 B．或1 C． D．1
3．（2023 兴庆区校级二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数　　．
4．（2023秋 鄄城县期末）幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 　　．
5．（2023春 辽宁月考）幂函数在第一象限内是减函数，则　　
A．2 B． C． D．
6．（2023春 鼓楼区校级期中）已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为 　　．
二．有理数指数幂及根式
7．（2023 湖南模拟）阅读下列材料：有理数都能表示成，，且，与互质）的形式，从而有理数集，与互质，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为　　
A． B． C． D．
8．（2022秋 金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为 　　．
三．指数函数的定义
9．（2023春 库尔勒市校级期末）指数函数图像经过点，则（2）　　
A．3 B．6 C．9 D．12
四．指数函数的图象与性质
10．（2023春 韩城市期末）设，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
11．（2023 阜新模拟）在，，，这4个数中，最小的是 　　，最大的是 　　．
12．（2023 宁波二模）若函数在区间，上的最大值与最小值的差为2，则　　．
13．（2023春 龙岩期中）若指数函数且与函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
五．对数的运算性质
14．（2022秋 天津期末）若，则的值为　　
A． B．2 C． D．3
15．（2022秋 西湖区校级期末）已知，，则　　．
16．（2023 镇安县校级模拟）若且，，，且，则　　
A．2 B． C．3 D．
17．（2023 天津一模）已知，，则　　
A． B． C．1 D．2
18．（2023春 沙依巴克区校级月考）设，，则　　
A． B． C． D．
19．（2023 湖南模拟）设，为正实数，，，则　　
A． B． C．1 D．
20．（2023春 洛阳期末）已知实数，满足，则的最小值是 　　．
21．（2023春 南开区期末）计算：　　．
22．（2023春 宝山区期末）若，则　　（用含的式子表示）．
23．（2023春 宁波期末）已知实数，满足且，则　　．
24．（2022秋 九龙坡区期末）　　．
25．（2023 福鼎市校级一模）已知一种放射性元素最初的质量是，按每年衰减．（已知，，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为　　（结果精确到
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
六．对数函数的定义域
26．（2023 南昌县校级三模）已知，函数的定义域为集合，则　　
A．，2， B．， C．， D．，
七．对数值大小的比较
27．（2022秋 九龙坡区期末）已知，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
28．（2023 佛山模拟）设，，，则　　
A． B． C． D．
29．（2023 通州区模拟）已知，，，则　　
A． B． C． D．
30．（2023春 达州期末）设，，，则　　
A． B． C． D．
31．（2023 包头二模）设，，，则　　
A． B． C． D．
32．（2023 西城区一模）设，，，则　　
A． B． C． D．
33．（2023春 金华期末）设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
34．（2023 赣州一模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
35．（2023 达州模拟）已知，，，则　　
A． B． C． D．
36．（2023春 河北区期末）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
37．（2023 定远县校级一模）已知，设，则　　
A． B． C． D．
38．（2022秋 雅安期末）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
39．（2023 聊城三模）设，，，则　　
A． B． C． D．
40．（2023春 鼓楼区校级期末）设，则　　
A． B． C． D．
41．（2023 雁塔区校级模拟）已知，，，则　　
A． B． C． D．
42．（2023春 玉州区期中）已知，，，则　　
A． B． C． D．
43．（2023 湖南模拟）已知，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
44．（2023 鼓楼区校级模拟），则　　
A． B． C． D．
45．（2023春 郑州期末）若，则下列式子可能成立的是　　
A． B． C． D．
46．（2023春 鼓楼区期末）若，则　　
A． B． C． D．
47．（2023 天津模拟）若，，，则　　
A． B． C． D．
48．（2023 锦州一模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
49．（2023 广东模拟）若，则　　
A． B． C． D．
50．（2023春 福州期中）设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
51．（2023春 苏州期末）已知实数，，满足，，，则　　
A． B． C． D．
52．（2023 鼓楼区校级模拟）设，则　　
A． B． C． D．
53．（2023 鼓楼区校级模拟）在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
所写为真命题的是　　
A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．甲和丁
八．对数函数的图象与性质
54．（2023 黄浦区校级三模）已知，，若，则满足条件的的取值范围是 　　．
55．（2023春 向阳区校级期中）直线分别与直线，曲线交于，两点，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．4
56．（2023春 赣州期中）函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是　　
A． B．
C． D．
57．（2023春 长沙期中）如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为　　
A． B． C． D．
九．对数函数的单调性与特殊点
58．（2023 浦东新区校级三模）函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 　　．
59．（2022秋 金山区期末）已知常数且，无论取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为 　　．
60．（2023春 西安期末）若且，则实数的取值范围是　　．
参考答案
一．幂函数的图象和性质
1．【解析】设幂函数，把点代入函数的解析式可得，
解得，故函数的解析式为，
故答案为．
2．【解析】因为为幂函数，
所以，解得，
故选：．
3．【解析】因为函数是幂函数，
所以，所以或，
时，，是偶函数，
时，，是奇函数，不符合题意，
所以．
故答案为：2．
4．【解析】因为幂函数在区间上单调递增，
则，解得．
故答案为：3．
5．【解析】由幂函数的定义可知，解得．
再根据幂函数在第一象限内是减函数，
可知，所以．
故选：．
6．【解析】因为为幂函数，所以，解得，
所以，又在上，代入解得，
所以为奇函数，
因为，
所以，
因为在上为单调增函数，
所以，解得，
故答案为：．
二．有理数指数幂及根式
7．【解析】由题意，．
故选：．
8．【解析】，
故答案为：．
三．指数函数的定义
9．【解析】由题意，函数，且图像经过点，
则有，解得，故，
所以（2）．
故选：．
四．指数函数的图象与性质
10．【解析】因为函数在上单调递增，
所以，即，
因为函数为减函数，
所以，即，
综上，．
故选：．
11．【解析】由于，
故，，
故．
故最小的是，最大的是．
故答案为：；．
12．【解析】函数在区间，上单调递增，
所以，
解得或2，
又，
．
故答案为：2．
13．【解析】函数在上单调递增，且在上，，在上，．
当时，在上单调递减，且，
所以两个函数的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，在上单调递增，且，
所以只能是在上，函数与的图象有两个交点，
所以在上，方程有两个不等实数根，
即在上，方程有两个不等实数根．
令，则，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
所以（e），所以，所以．
故选：．
五．对数的运算性质
14．【解析】因为，所以，
所以．
故选：．
15．【解析】由可得，
所以．
故答案为：．
16．【解析】，，
所以．
故选：．
17．【解析】因为，，
所以，
所以．
故选：．
18．【解析】由得，
所以，，选项正确，其它选项不正确．
故选：．
19．【解析】由于，为正实数，，整理得：，故，
由于，整理得，
故，即，
故，
所以．
故选：．
20．【解析】，则，
，，，
，，，
当且仅当时取等号，
则的最小值是4．
故答案为：4．
21．【解析】
．
故答案为：．
22．【解析】由，则．
故答案为：．
23．【解析】由可得，
又，即，
所以，即
故答案为：100．
24．【解析】．
故答案为：30．
25．【解析】设这种元素的半衰期为年，则，
两边同时取常用对数得，
，
故选：．
六．对数函数的定义域
26．【解析】由集合中的不等式，，
解得：，即，2，3，
，2，；
由，得到，即，
，
则，．
故选：．
七．对数值大小的比较
27．【解析】，，，，，，即，．
故选：．
28．【解析】，，，
．
故选：．
29．【解析】，；
又，，
，
故选：．
30．【解析】，，，
．
故选：．
31．【解析】，
．
故选：．
32．【解析】，，，
．
故选：．
33．【解析】，，
，且，
．
故选：．
34．【解析】因为，
所以．
故选：．
35．【解析】由于指数函数在单调递增，
所以，即，
又对数函数在单调递减，
所以，即，
，
所以，
综上．
故选：．
36．【解析】因为，
，
，
所以．
故选：．
37．【解析】，令，则，
时，，则在上单调递增，
又，（3），即，
因为，，
则．
故选：．
38．【解析】根据幂函数在上为增函数，可得，即，
又，所以．
故选：．
39．【解析】由单调递减可知：，
由单调递增可知：，所以，即，且，
由单调递减可知：，
所以．
故选：．
40．【解析】，，
．
故选：．
41．【解析】，，
，，
．
故选：．
42．【解析】，
，
，
．
故选：．
43．【解析】因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以．
故选：．
44．【解析】令，，则，
所以当时，，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
令，则，
在 时，，则为减函数，
，即，
令，，则，
故在为减函数，，即，
令，则，
即，，．
故选：．
45．【解析】由，得，
令，则（b）（a），
由，得，则单调递增，且（1）．
若，则（a）（b），而，可得（b）（a）不成立；
若，则（a）（b），而，可得（b）（a）不成立；
若，则（b）（a），而，可得（b）（a）不成立；
若，则（b）（a），而，若（b），可得（b）（a）可能成立．
故选：．
46．【解析】因为，
所以构建函数，则在上单调递增，所以（a），
所以．
故选：．
47．【解析】因为，所以为减函数，
所以，即．
因为，所以为增函数，
所以，即．
因为，所以为增函数，
所以，即，
所以．
故选：．
48．【解析】，
，
又，最大，
，，
，，
，
故选：．
49．【解析】，
，
，
，
令在上单调递减，
，即，
又，
，
．
故选：．
50．【解析】，，
，，即，
，
．
故选：．
51．【解析】设，，当时，，此时单调递增，
当时，，此时，单调递减，（1），
则，即，
因为，所以，
由，
因为在上递减，
而，
所以（a）（2），
即，，，
综上可得：．
故选：．
52．【解析】令，则，
当，，所以单调递增，
所以，所以，即，
同理，当，，又可得，所以，
而，
所以．
故选：．
53．【解析】设函数，，则，
则时，，时，，
即函数的增区间为，减区间为，
因为，所以（2），所以，，即，故甲正确；
因为，所以，即，即，即，故乙错误；
因为，所以（4），即，所以，所以，故丙正确；
因为，所以（e），即，即，，即，即丁错误．
故选：．
八．对数函数的图象与性质
54．【解析】，，，
，即，
即，
①，或②，或③；或④．
由①可得；由②可得；由③可得无解；由④可得．
综上，可得或，求得或，
故满足条件的的取值范围是，，．
故答案为：，，．
55．【解析】设，，，，则，
，
，
令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数的最小值为，
故选：．
56．【解析】函数，
由函数与函数复合而成，
，故在其定义域上单调递减，
而由复合函数单调性的同增异减原则，
函数递增时，原函数递减，
所以，即，
解得：，所求单调区间为，．
故选：．
57．【解析】由题意，，，
设，因为是等边三角形，
所以点到直线的距离为，所以，，
根据中点坐标公式可得，
所以，解得，
故选：．
九．对数函数的单调性与特殊点
58．【解析】已知函数且，
令，
即，
则（1），
即函数且的图象恒过定点，
故答案为：．
59．【解析】令，解得，
当时，函数，
即函数图象恒过一个定点．
故答案为：．
60．【解析】，
当时，函数是一个增函数，不等式成立，
当时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有，
综上可知的取值是，，，
故答案为：，，
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