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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题07 三角函数的图像与性质
【考点考向】
一、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4．三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
【解题策略】
1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.　
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
3．识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移 (ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.　
【考点解析】
一．同角三角函数间的基本关系
1．（2023春 江汉区校级期末）若，则的值为　　
A． B． C． D．
2．（2022秋 东安区校级期末）已知，，则　　
A．0和 B． C． D．或0
3．（2023 碑林区校级模拟）已知，则的值是 　　．
4．（2022秋 武汉期末）已知，则　　．
5．（2023春 南阳月考）已知，则　　．
6．（2023春 连云港期末）若，则　　
A． B． C． D．
7．（2023春 怀柔区校级期中）已知，，则的值为　　
A． B． C． D．
8．（2023春 沙河口区校级月考）已知是第三象限角，且，则的值为　　
A． B． C． D．
9．（2016秋 四平月考），且，，则　　（用，表示）
二．运用诱导公式化简求值
10．（2023春 南通月考）已知角终边上有一点，则　　．
11．（2023春 西夏区校级月考）若，则　　．
12．（2023春 凌河区校级期中）已知，则等于　　
A． B． C． D．
三．三角函数的最值
13．（2023春 雷州市校级月考）函数的最大值是 　　．
14．（2023 江西模拟）若函数在，内的最小值小于0，且最小值点（即取得最小值时所对应的自变量）唯一，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
15．（2023春 嘉兴期末）若，，，则的取值范围为 　　．
16．（2023春 重庆期末）锐角的内角所对边分别是，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围 　　．
四．三角函数的周期性
17．（2023春 嘉定区校级期末）已知函数的最小正周期为，则　　．
18．（2023 广东学业考试）函数的最小正周期为　　．
19．（2023 江西模拟）已知函数，则　　
A．的最小正周期是
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．在上的值域是
20．（2023春 蒲城县校级期中）下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是　　
A． B． C． D．
21．（2023春 松山区校级月考）四张卡片的正面分别写上，，，，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为　　
A． B． C． D．
五．三角函数的单调性
22．（2023春 大渡口区校级月考）已知，则的单调递增区间为　　
A． B． C． D．
23．（2023春 凌源市月考）下列区间中，函数单调递增的是　　
A． B． C． D．
24．（2023春 丰城市校级期末）函数y＝sinωx在x∈（﹣）单调递减，求ω∈　 　．
25．（2023春 武汉期末）已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围是 　　．
六．三角函数的奇偶性和对称性
26．（2023春 合江县校级期中）下列直线中，是函数图象的对称轴的是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
27．（2022秋 江西月考）已知函数的两个相邻的零点为，则的一条对称轴是　　
A． B． C． D．
28．（2021秋 东莞市期末）已知函数，，则下列结论正确的是　　
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
29．（2023 天心区校级学业考试）函数是　　
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
30．（2022春 鼓楼区校级期末）已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值可能是　　
A． B． C．1 D．
31．（2022春 海淀区校级期中）若点是函数图象的一个对称中心，则的值可以是　　
A． B． C． D．
32．（2023 延庆区一模）将的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则　　
A． B． C． D．
33．（2023 安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有　　
A．的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增
D．若在区间上的最大值为1，则
34．（2021秋 六安月考）已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
35．（2023春 武汉期末）为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点　　
A．向左平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向右平移
36．（2023春 德安县校级期中）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为　　
A． B．
C． D．
37．（2023春 马鞍山期末）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则　　
A． B．
C． D．
38．（2023春 海东市月考）把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则　　
A． B． C． D．
39．（2023春 樟树市校级期中）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．，
40．（2023春 城区校级期中）已知曲线，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
41．（2023春 焦作期末）已知函数，有下述三个结论：
①的最小正周期是；
②在区间上不单调；
③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象．
其中所有正确结论的编号是　　
A．① B．② C．①② D．①②③
42．（2023春 宝鸡期中）已知，以下说法中正确的是　　
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
43．（2023春 十堰期末）将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则　　
A． B．
C． D．
44．（2023 广东学业考试）要获得，只需要将正弦图像　　
A．向左移动个单位 B．向右移动个单位
C．向左移动个单位 D．向右移动个单位
45．（2023 海淀区校级三模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是　　
A． B． C． D．
46．（2023春 重庆期末）将函数图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于函数的说法中错误的是　　
A．最小正周期为
B．对称中心为
C．一条对称轴为
D．在上单调递增
47．（2023春 天河区期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则　　．
48．（2023 沈河区校级模拟）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，是关于的方程在内的两根，则　　
A． B． C． D．
49．（2023春 鞍山期中）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是　　
A． B．
C． D．
50．（2023春 霞山区校级月考）已知函数，则下列正确的是　　
A．最大值为2
B．函数图像的所有对称中心为，其中
C．存在时，使得
D．将的图像向右平移个单位可得到一个偶函数
51．（2023春 河北区期末）将函数，的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是　　
A．是最小正周期为的奇函数
B．是最小正周期为的偶函数
C．在上单调递减
D．在上的最小值为
52．（2023 河南三模）将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为　　
A． B． C． D．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
53．（2023春 宝山区期末）函数，的部分图像如图所示，则　　．
54．（2023春 焦作期末）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
55．（2023 桃城区校级三模）函数的部分图象如图所示，则　　
A． B． C．0 D．
56．（2023春 青羊区校级期中）已知函数的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）中的函数图象所对应的函数解析式是　　
A． B． C． D．
57．（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
58．（2023春 裕安区校级期中）函数，且在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是　　
A．
B．在上单调递减
C．
D．把的图象向左平移个单位可以得到的图象
59．（2023春 吴江区校级月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数，某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足，其中．则　　．（参考数据：
60．（2023春 周至县校级期末）函数且，的部分图象如图所示，函数解析式为 　　．
参考答案
一．同角三角函数间的基本关系
1．【解析】因为，
所以．
故选：．
2．【解析】因为，
所以，整理可得，解得，或，
又，，
所以，，
所以．
故选：．
3．【解析】，
则．
故答案为：5．
4．【解析】分子分母同除得，，
解得：，
所以．
故答案为：．
5．【解析】
．
故答案为：．
6．【解析】由，可得，
整理可得，，
所以有，所以，
所以．
故选：．
7．【解析】，，
，
．
故选：．
8．【解析】由，
可得，
所以，
所以，
因为是第三象限角，
所以，，
所以，
所以．
故选：．
9．【解析】由
，，即
故答案为：．
二．运用诱导公式化简求值
10．【解析】是角终边上的一点，，
则，
．
故答案为：．
11．【解析】．
故答案为：．
12．【解析】已知，，即，
故为第二或第四象限角，再由，
可得，，或，，
，
故选：．
三．三角函数的最值
13．【解析】，
当时，取得最大值．
故答案为：．
14．【解析】因为，所以当，时，．
依题意，可得，解得．
故选：．
15．【解析】原不等式等价于，
令，则不等式等价于，
因为，所以当时，，
所以在，上单调递减，
又因为，，，
所以，即，
即，解得或，
又因为，，所以．
故答案为：．
16．【解析】，，
，
即，
即，
即或，
得或（舍，
，
是锐角三角形，
，即，即，
，
设，，
则，
其中，
，
，，
要使存在最大值，即，则，
则，即，
得．
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．三角函数的周期性
17．【解析】的最小正周期为，
，即，
故答案为：2
18．【解析】，
，．
故答案为：
19．【解析】
，
对于，的最小正周期，错误；
对于，当时，，此时单调递减，
在上单调递增，正确；
对于，令，解得，此时，
的图象关于点对称，错误；
对于，当时，，则，
在上的值域为，错误．
故选：．
20．【解析】对于，为奇函数，不符合题意；
对于，为偶函数，周期，但在，上递减，不符合题意；
对于，为奇函数，不符合题意；
对于，为偶函数，周期，当，时，为增函数，符合题意．
故选：．
21．【解析】的图像是由的图像轴下方的部分向上翻折形成，故周期为；
的周期为，的周期为，故的周期为；
不是周期函数，故不是周期函数，
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知函数周期为．
设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有，，，，，种选择，
满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为．
故选：．
五．三角函数的单调性
22．【解析】令，
解得，
则当，时，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，的单调递增区间为．
故选：．
23．【解析】由，
得．
所以在上不单调递增，
在上单调递增．
故选：．
24．【解析】y＝sinωx在x∈（﹣）单调递减，
则ω＜0，∵x∈（﹣），∴ωx∈（），
则有，又ω＞0，则﹣≤ω＜0，
则ω的取值范围为：[﹣，0）．
25．【解析】，
令，，
则问题即转化为函数在，上单调递减，
因为，，要满足题意，只需，，
即，结合得，时，即为所求，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
六．三角函数的奇偶性和对称性
26．【解析】，
由，，得，．
取，可得．
函数图象的一条对称轴为直线．
故选：．
27．【解析】设的最小正周期为，则，得，所以，
又因为，且，所以，则，
所以的对称轴为，解得，
取，得一条对称轴为直线．
故选：．
28．【解析】函数为奇函数，
，，则为偶函数，
所以为奇函数，故错误；
为偶函数，则是偶函数，故错误；
是奇函数，故正确；
是偶函数，故错误．
故选：．
29．【解析】函数，
故函数是最小正周期为的奇函数．
故选：．
30．【解析】在上是单调函数，
，，，则，，
又图象的一条对称轴方程为，，，，
故选：．
31．【解析】由正弦函数的对称性可知，
故，，
故，
当时，符合条件的一个．
故选：．
32．【解析】将的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，
可知与的图象关于轴对称的函数的解析式为：，
函数，向右平移个单位，可得．
故选：．
33．【解析】函数，
的最小正周期为，故错误；
令，求得，可得直线不是图象的一条对称轴，故错误；
当时，，，函数不单调，故错误；
若在区间，上的最大值为1，，，
可得，求得，故正确．
故选：．
34．【解析】函数的最小正周期为，故，
由于，
所以，
整理得：．
故，
当时，．
故选：．
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
35．【解析】设函数平移个单位得到，
可得，即，解得，
根据平移规律只要把函数上所有的点向左平移，
即．
故选：．
36．【解析】将函数的图象向右平移个单位后，
则所得图象对应的函数为，即．
故选：．
37．【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，即．
故选：．
38．【解析】因为，
所以．
故选：．
39．【解析】将的图象向右平移个单位长度后，
得到，即的图象，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，．
故选：．
40．【解析】把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．的图象，
故选：．
41．【解析】因为函数
，
所以函数的最小正周期，故①正确；
当时，，由正弦函数的图像可知，
函数在上先增后减，故②正确；
将图象上的所有点向右平移个单位长度后，
可得，故③错误，
所以结论正确的为①②．
故选：．
42．【解析】因为，
所以的最小正周期为，不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，正确；
因为，，所以，不正确；
由于，将其向左平移个单位长度得到的图象，
即函数的图象，不正确．
故选：．
43．【解析】将函数的图象上所有的点都向左平移个单位长度，
得到曲线，
再把得到的曲线上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，
得到的图象．
故选：．
44．【解析】把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为．
故选：．
45．【解析】把函数的图象向右平移个单位，
平移后函数的解析式是，
所得图象关于直线对称，
由正弦函数的图象和性质可得：，解得：，
当时，的最小值是．
故选：．
46．【解析】将函数图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，
得到的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，所以函数的最小正周期为，正确；
，则正确；
又，函数取得最小值，正确；
项，，，，
由于在，上单调递增，在，上单调递减，则错误．
故选：．
47．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数的解析式为，
又所得图象关于轴对称，
则，
解得，
又，
则当时，．
故答案为：．
48．【解析】函数，
其中，，，为锐角．
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
，是关于的方程在内的两根，，，
，故，
故．
故选：．
49．【解析】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得函数，
再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
得．
故选：．
50．【解析】对于函数，根据正弦函数的值域可得它的最大值为，故错误．
令，，可得，，故它的图像的所有对称中心为，，，故错误．
当，，，，，，，故错误．
将的图像向右平移个单位可得到的图象，
而为偶函数，故正确．
故选：．
51．【解析】，
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
对于，，所以是偶函数，故错误；
对于，的最小正周期为，故错误；
对于，当，，
所以在上不单调，故错误；
对于，时，，，所以，，所以，
所以在上的最小值为，故正确．
故选：．
52．【解析】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，
再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．
当时，，．
故选：．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
53．【解析】由已知，
又，，则，
图象过点，，对应五点法中的第二点，
则有，，
则，．
故答案为：．
54．【解析】函数，，
令，；
，；
图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
所以，
又因为，所以，；
时，，
又因为图象两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，由，所以，
所以的取值范围是，．
故选：．
55．【解析】由图可知，且过点，代入解析式可知，，
即．
因为，所以，
所以，
所以．
故选：．
56．【解析】图1的横坐标先缩短为原来的，再向右平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，
所以图2对应的函数解析式为．
故选：．
57．【解析】由五点对应法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4个，
由得，1，2共3个，合计个．
故选：．
58．【解析】由题知，
所以，解得，
所以，
再将点代入得，即，
所以，
因为，所以，
所以，故错误；
当时，，
由于正弦函数在区间上不单调，故在上不单调，错误；
，选项正确；
把的图象向左平移个单位可以得到的图象，故错误．
故选：．
59．【解析】，
．
，即．
再由，可得或6．
根据图像可得得最小正周期为．
当时，，
满足（1）（3）（5），最小正周期为．
当时，，
故此时1是的一个周期，不符合图像．
综上可得．
故答案为：3．
60．【解析】由图象可知，，，得，
所以，当时，，
得，所以，
因为，所以，
所以函数解析式为．
故答案为：．
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