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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题03 函数及其性质
【考点考向】
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【解题策略】
1.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
2.基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
3.分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
4.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
5.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
6.周期性技巧
7.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
8.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【考点解析】
一．函数的值
1．（2023春 辽宁月考）已知函数若（a），则　　
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023春 成都期末）已知函数则　　
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（2023 安徽模拟）定义在上的函数满足，当，时，，则　　．
4．（2023春 沙坪坝区校级期末）已知函数满足对任意恒成立，且时，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
二．函数的定义域及其求法
5．（2023 桃城区校级模拟）已知函数的定义域为，，则函数的定义域是　　
A．， B．，， C．，， D．，，
6．（2023 松江区校级模拟）函数的定义域是　　．
7．（2023 温州学业考试）函数的定义域为　　
A． B． C． D．，，
8．（2023 东莞市模拟）函数的定义域为 　　．
9．（2021秋 会宁县校级期末）已知函数的定义域是，，则函数的定义域为　　．
10．（2023春 滨城区校级期中）已知函数的定义域为，，则的定义域为 　　．
三．函数的值域
11．（2013 枣庄一模）函数的值域为　　
A． B．
C．，， D．，，
12．（2023 安徽三模）函数的值域是 　　．
13．（2023春 重庆期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
14．（2023春 荆州月考）已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则　　
A．2 B．1 C． D．
四．函数解析式的求解及常用方法
15．（2023春 建平县校级月考）已知函数，则　　．
16．（2023春 科左中旗校级期末）已知二次函数满足（2），，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为 　　．
17．（2023 赤峰模拟）已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能为　　
A． B．
C． D．
18．（2023春 黄浦区期末）已知，若存在实数，使得方程有无穷多个非负实数解，则的表达式可以为　　
A． B． C． D．
五．函数的图象与图象的变换
19．（2023春 泸县校级期末）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
20．（2022秋 昆明期末）函数的图像可能是　　
A． B．
C． D．
21．（2023春 杭州期末）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是　　
A． B．
C． D．
22．（2022秋 佛山期末）函数的大致图象是　　
A．
B．
C．
D．
23．（2023春 浦东新区校级期末）函数的大致图像为　　
A． B．
C． D．
24．（2022秋 临渭区期末）函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
六．函数单调性的性质与判断
25．（2023春 青铜峡市校级期末）下列关于函数的单调性的描述中，正确的是　　
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．在，上是增函数 D．在，上是减函数
七．复合函数的单调性
26．（2023春 青秀区校级期末）函数的单调递增区间是　　
A．， B．， C． D．，
27．（2023春 五华区校级期中）已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是 　　．
28．（2023春 皇姑区校级期末）若在区间，上是减函数，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
八．函数的最值及其几何意义
29．（2023春 皇姑区校级期末）的最大值是　　
A． B．2 C． D．4
九．函数奇偶性的性质与判断
30．（2023春 达州期末）是定义域为的奇函数，，（1），则　　
A．3 B． C．6 D．0
31．（2023春 奉贤区校级期中）若是以为周期的奇函数，且，则的值 　　．
32．（2023 广东学业考试）函数是偶函数，当时，，则　　．
33．（2023春 湖北月考）已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为 　　（写出一个即可）．
34．（2023 定西模拟）已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则　　
A．8 B． C．0 D．
35．（2023 叶城县校级模拟）已知，则以下说法正确的是　　
A．为奇函数 B．为周期函数
C．有无数零点 D．
36．（2023春 龙凤区校级月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，，若（3），则　　
A．5 B．4 C． D．2
37．（2023 宝山区校级模拟）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　．
38．（2023 江西模拟）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为　　
A．或 B．或 C． D．
一十．奇偶性与单调性的综合
39．（2023 惠州模拟）设函数为奇函数且在上为减函数，则关于、的值表述正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
40．（2023春 仙游县校级期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是　　
A． B． C． D．
41．（2023 文安县校级开学）是定义在上的偶函数，在上是增函数，且（3），则使的的范围是　　
A． B．，，
C． D．
42．（2023 西安模拟）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，（1），则不等式的解集为　　
A．， B．
C．，， D．
43．（2023 浦东新区校级三模）下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是　　
A． B．
C． D．
44．（2023 红河州一模）已知函数，则不等式的解集为 　　．
45．（2023春 金华期末）已知定义在上的三个函数，，，其中为偶函数，，是奇函数，且在，上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则　　
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是偶函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递增
46．（2023 蓬莱区三模）已知函数，，，，若（a）（b），，则　　
A． B．
C． D．
47．（2023 锦江区校级模拟）定义在上的奇函数满足，且在，上单调递减，若方程在，上有实数根，则方程在区间，上所有实根之和是　　
A．30 B．14 C．12 D．6
一十一．抽象函数及其应用
48．（2023春 河池月考）设是定义域为的奇函数，且，若，则　　
A． B． C． D．
49．（2023春 温州期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的对称中心为，则 （3）　　
A．8088 B．4044 C． D．
50．（2023春 如皋市月考）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则　　．
51．（2023 石家庄模拟）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是　　
A．
B．为奇函数
C．在上是减函数
D．方程仅有6个实数解
52．（2023春 九龙坡区校级期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，（1），则关于的不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
一十二．函数恒成立问题
53．（2023春 达州期末）设表示集合，2，3，，的子集个数，，，其中．给出下列命题：
①当时，是函数的一个对称中心；
②时，函数在上单调递增；
③函数的值域是；
④对任意的实数，任意的正整数，恒成立．
其中是真命题的为　　
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
54．（2023春 大祥区校级期末）设函数满足，当，，时都有，且对任意的，
不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
55．（2023春 江油市校级期末）已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
56．（2023春 金华期末）已知函数若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 　　．
57．（2023春 重庆期末）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 　　．
58．（2023春 宝山区校级期中）已知函数的表达式是，若，且成立，则的取值范围是 　　．
59．（2022秋 松江区校级期末）已知函数，对于任意的，，都存在，，使得成立，则实数的取值范围为 　　．
60．（2023春 扬中市校级期末）若对于恒成立．当时，的最小值为 　　；当时，的最小值是 　　．
参考答案
一．函数的值
1．【解析】由于函数
当时，的值域为；
当时，的值域为，；
当时，的值域为，．
要使（a），则（a），所以，解得．
故选：．
2．【解析】由题意得（2），（4），
故选：．
3．【解析】因为，
所以，
又当，时，，
所以．
故答案为：．
4．【解析】根据题意，函数满足对任意恒成立，
，
用替换，则，，
函数是以2为周期的周期函数，
，，
，
，
则．
故选：．
二．函数的定义域及其求法
5．【解析】由题意，函数的定义域为，，即，，
则函数满足，
解得且，
所以函数的定义域是，，．
故选：．
6．【解析】函数中，
由，
整理得，
解得；
所以函数的定义域是．
故答案为：．
7．【解析】因为，
所以，解得且，
所以的定义域为，，．
故选：．
8．【解析】函数的意义，有，
解得，
即函数定义域为，．
故答案为：，．
9．【解析】由题意可得，，
解不等式可得，，
函数的定义域为．
故答案为：
10．【解析】函数的定义域为，，即，
，即的定义域为，，
，解得，
函数的定义域为．
故答案为：．
三．函数的值域
11．【解析】由题意可得，且，
，故函数，
故函数的值域为，，，
故选：．
12．【解析】函数，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
13．【解析】因为函数的值域为，
所以函数在上是增函数，
可得，
解得，
故实数的取值范围是，．
故选：．
14．【解析】①，
②，
由①②得，
，
，，，
故函数的值域为，
函数的值域也是，
，（b），即．
故选：．
四．函数解析式的求解及常用方法
15．【解析】因为，
则．
故答案为：．
16．【解析】二次函数满足（2），，即（2），
则可得的对称轴方程为，
又的最大值是8，
可设二次函数，
又函数过点，则有，得，
则．
故答案为：．
17．【解析】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，
对于：由得：，为偶函数，故可排除；
对于：由得：，为偶函数，故可排除；
由图知图象不经过点，
而对于，故可排除；
故选：．
18．【解析】当，
当时，的解集为，，如图：
故选项满足题意．
．若，如下图①：不符合题意．
．若，如下图②：不符合题意．
．若，如下图③：
时，的解为负实数解，不符合题意．
①
②
③
故选：．
五．函数的图象与图象的变换
19．【解析】（1），排除，，
由，则方程无解，即函数没有零点，排除，
故选：．
20．【解析】根据题意，函数，
，函数为奇函数，函数图象不可能为和；
当时，函数，其定义域为，当时，，函数的图象可能为，
当时，时，函数的定义域为，在区间上的符号与，上符号相反，函数图象不可能为；
故选：．
21．【解析】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，选项较为合适．
故选：．
22．【解析】函数的定义域为，，，，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项；
当时，远远小于，则，排除选项．
故选：．
23．【解析】函数中，，当时，，看图像知选项错误；
函数中，，当时，，看图像知选项错误；
令，
解得，，
故，为函数的极值点，故选项不符合，选项正确．
故选：．
24．【解析】，
函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除，；
当时，，故排除．
故选：．
六．函数单调性的性质与判断
25．【解析】函数的定义域为，，，在，上单调递增．
故选：．
七．复合函数的单调性
26．【解析】根据题意，对于，
设，则，
必有，解可得或，即函数的定义域为，，，
在区间上，为减函数，为增函数，则在上为减函数，
在区间上，为增函数，为增函数，则在上为增函数，
则函数的单调递增区间是．
故选：．
27．【解析】由不等式可知，在上单调递增，
又因为在上单调递减，
则在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得．
故答案为：，．
28．【解析】设，
因为在定义域上为增函数，
又因为在区间，上是减函数，
所以在区间，上是减函数，
所以，解得．
故选：．
八．函数的最值及其几何意义
29．【解析】由已知可得，解得，故函数的定义域为，，
令，则，且，
则，
当且仅当，即时取等号，
故函数的最大值为．
故选：．
九．函数奇偶性的性质与判断
30．【解析】由知，函数是以4 为周期的周期函数，
又是奇函数，（1），
所以（1）．
故选：．
31．【解析】因为是以为周期的奇函数，且，
所以．
故答案为：．
32．【解析】因为当时，，
所以当时，，
所以，
函数是偶函数，
所以，
所以．
故答案为：2．
33．【解析】取，则符合题意．
故答案为： （答案不唯一）．
34．【解析】因为函数满足，可得，
又因为函数为奇函数，所以，
所以，即，
所以函数是周期为6的周期函数，
因为当时，，且函数为奇函数，
可得（1）．
故选：．
35．【解析】易知的定义域为，因为，
所以为偶函数，故选项错误；
因为不是周期函数，所以不是周期函数，故选项错误；
令，即，解得，故选项正确；
因为，所以，故选项错误．
故选：．
36．【解析】因为为奇函数，所以有，
因为为偶函数，
所以有，
，
所以函数的周期为4，
由（2），
由（3）（1），
由（3）（2）（1），
（1）（1）（1），
．
故选：．
37．【解析】由为奇函数，
则，①
由为偶函数，
则，②
由①可得：（2），
由②可得：（3）（1），
又（3），
则，
即，
由①，令，则（1），
即，
即，
又由①②可得：，
即函数为周期为4的周期函数，
即，
故答案为：．
38．【解析】因为①，
又函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
则即②，
①②可得，，
由于关于直线对称，
则关于直线对称，
因为为偶函数，则关于轴对称，
所以关于对称，
关于对称，
由于函数有唯一零点，
则必有，且，
即，
解得或．
故选：．
一十．奇偶性与单调性的综合
39．【解析】为奇函数，，
又在上为减函数，．
故选：．
40．【解析】为非奇非偶函数，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合题意；
在上单调递增，不符合题意；
为偶函数且在上单调递减，符合题意．
故选：．
41．【解析】①当时，因为偶函数满足（3），
得即
结合在上函数是增函数，可得，解得；
②当时，即，
结合在上是增函数可得，
综上所述，可得使的范围为或．
故选：．
42．【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，（1），
则不等式可转化为或，
即．
故选：．
43．【解析】对于，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；
对于，，定义域为，，，，所以为奇函数，
在和上分别单调递增，不符合题意；
对于，，，故函数不是奇函数，不符合题意；
由排除法可知选项符合题意．
故选：．
44．【解析】，
所以，即为奇函数，
恒成立，
所以在上单调递增，
由可得，
所以，
解得或．
故答案为：或．
45．【解析】为偶函数，在，上单调递增，在，上单调递减，
，是奇函数，在上单调递增，在上单调递减，
是奇函数，则不正确，
是偶函数，则不正确，
设，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
即，
则，
即，则在上为增函数，故正确．
在，上单调递减，
，
若，则，即，则在上为增函数，
若，则无法判断在上的单调性，故错误．
故选：．
46．【解析】设，则在，上单调递减，
因为，故（a）（b），即（a）（b），
（a）（b），
设，，则，
故在上单调递增，
因为，故（c）（d），
即（c）（d），
，
由于，，故，
则，即，所以错误，正确；
由，，无法确定还是，，错误，
故选：．
47．【解析】由知函数的图象关于直线对称，
，是上的奇函数，
，
，
的周期为4，
考虑的一个周期，例如，，
由在，上是减函数知在，上是增函数，
在，上是减函数，在，上是增函数，
对于奇函数有，（2），
故当时，，当时，（2），
当时，，当时，（2），
方程在，上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数，
在和上，
则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，，方程的两实数根之和为，
当，，方程的所有6个实数根之和为．
故选：．
一十一．抽象函数及其应用
48．【解析】根据题意，因为是定义域为的奇函数，且，
则，
故是周期为2的周期函数，
故．
故选：．
49．【解析】根据题意，令，则，
所以，则为奇函数，
所以的图象关于对称，即，
（3）（3）．
故选：．
50．【解析】因为，令，得（3）（3），解得（3）；
又因为为偶函数，所以，即，
所以，令，得（3）；
由，得，所以，所以，
所以，所以函数的一个周期为8，
所以．
故答案为：0．
51．【解析】根据题意，因为为奇函数，所以，即，
所以关于点对称；
因为为偶函数，所以，即，
所以关于对称，
由，得，
所以，即是周期为8的周期函数，
结合函数的对称性，可得图象如图所示：
由此分析选项：
对于，，正确；
对于，关于点对称，且是周期为8的周期函数，则的图象关于点对称，
则有，即为奇函数，正确；
对于，由图象可知：在上单调递增，错误；
对于，方程的解的个数等价于与的交点个数，
因为（4），，
所以结合图象可知：与共有6个交点，即有6个实数解，正确．
故选：．
52．【解析】由题知，定义在上的函数满足，，
且当时，，（1），
所以，即，
又，
所以为上的奇函数，
设，则，
所以为上的增函数，
因为，
令，
因为为上的偶函数，且在，上单调递增，，
所以（1），
所以．
故选：．
一十二．函数恒成立问题
53．【解析】因为集合，2，3，，的子集个数为，
所以，，，
所以，
所以，
当时，，
所以是函数的一个对称中心，故①正确；
当时，，，
由余弦函数的性质，在在，上不单调，
所以函数在上不是单调函数，故②错误；
，
所以当时，取最大值，所以当时，取最小值，
即函数的值域是，，故③正确；
因为，故④正确；
综上，真命题为①③④．故选：．
54．【解析】由题意得：是偶函数且在递增，
故在递减，
时，，，
故（1），
若任意的，不等式恒成立，
则时，恒成立，
故，，，
故，，，
故，，，
而，
故，
故选：．
55．【解析】因为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，
令，
则，
当时，，在上单调递增，
当趋于时，趋于，不满足在上恒成立；
当时，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
又因为在上恒成立，
所以，
所以，
所以，
令（a），，
则（a），
所以（a）在上单调递增，在上单调递减，
所以（a）（2），
所以．
故选：．
56．【解析】当时，，，故在上单调递增，
当，时，，在，上单调递减，
令，则当，时，，；当时，，，
则题意转化为，时，恒成立．
令，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故（1），则．
当时，，恒成立．
当时，，恒成立．
当且时，恒成立．
只需考虑且，，时，，即恒成立，
当时，，，单调递增，
则由恒成立，得，解得，
当时，，，单调递增，
则由恒成立，得，矛盾，
综上，实数的取值范围是或．
57．【解析】已知对任意的，不等式恒成立，
所以在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以（e），
要使在上恒成立，
此时，
则实数的取值范围为，．
故答案为：，．
58．【解析】因为，，
所以为上的偶函数，
当时，，易知在，上单调递增，
又因为，所以，即有，
所以，，又，
当时，；当时，，，
综上所述，，．
故答案为：，，．
59．【解析】因为，，
故，，，
故，解得：，
即，
因为，，所以，
要想保证对于任意的，，都存在，，使得成立，
需要满足，，，
所以，解得：，
故．
故答案为：．
60．【解析】对于恒成立，
等价于对于恒成立，
令，则，
令，解得，
令，解得，
故在递增，在递减，
故（1），
因为对于恒成立，
只需在恒成立即可，
①时，，故的最小值是1，
②时，令，解得，
取最小值时，直线在轴的截距最大，
令，解得：，故，
即的最小值是．
故答案为：1；．
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