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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题05 函数的应用
【考点考向】
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 2 1 0
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
4.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
【解题策略】
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
4.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
5.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
【考点解析】
一．函数的零点
1．（2023春 海淀区校级期中）设函数，给出下列结论：
①是奇函数；
②当时，；
③是周期函数；
④存在无数个零点；
⑤，，，使得且．
其中正确结论的序号是 　　（写出所有正确结论的序号）
2．（2023 洪山区校级模拟）在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则　　
A． B． C． D．
3．（2023 宝山区校级模拟）已知函数是定义域在上的奇函数，且当时，，则关于在上零点的说法正确的是　　
A．有4个零点，其中只有一个零点在内
B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内
C．有5个零点，都不在内
D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在
二．函数零点的判定定理
4．（2023 西固区校级模拟）函数的零点所在的一个区间是　　
A． B． C． D．
5．（2023春 如皋市月考）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1），（2）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　　．
6．（2023 射洪市校级模拟）已知定义在上的函数满足，当，时，，函数，若函数在区间，上恰有8个零点，则的取值范围为
　　
A． B． C． D．
7．（2023春 靖江市校级月考）方程的根所在的区间为　　
A． B． C． D．
8．（2023 宁夏三模）函数在区间上存在零点．则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．（2023春 西盟县校级期中）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是 　　
10．（2023春 焦作期末）已知函数存在零点，函数存在零点，且，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
11．（2023春 红塔区校级期中）若函数在区间，上存在零点，则实数的取值范围是 　　．
12．（2023春 湖北期中）设函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 　　．
三．函数的零点与方程根的关系
13．（2023 宝山区校级三模）若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是 　　．
14．（2023 湖北模拟）设，表示，中的较小数．若函数，至少有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C．， D．
15．（2023春 泸县校级期末）已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
16．（2023春 峨眉山市校级期中）若函数有两个实根，则的取值范围是 　　．
17．（2023 中卫二模）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有　　
（1）当，时，；
（2）；
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2023春 武侯区校级月考）函数零点个数为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（2023 甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2023 广陵区校级模拟）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
21．（2023春 浙江月考）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
22．（2023 安徽三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当，时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
23．（2023春 乐亭县校级期中）方程有3个解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．其他
24．（2023 商洛二模）已知函数，若函数有2个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
25．（2023春 香坊区校级月考）已知函数，则对于方程．下列说法错误的是　　
A．若，则该方程无解
B．若，则该方程有一个实数根
C．若，则该方程有两个实数根
D．若，则该方程有四个实数根
26．（2023 邯郸开学）函数在区间，上的零点个数为　　
A．10 B．8 C．6 D．4
27．（2023春 城中区校级月考）已知函数，关于的方程在区间，上有且仅有2个实根，对于下列4个结论：①在区间上存在、，满足；②在区间有且仅有1个最大值点；③在区间上单调递增；④的取值范围是，，其中所有正确结论的编号是　　
A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④
28．（2023春 南通期末）已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
29．（2023春 斗门区校级期中）已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．3
30．（2023 大武口区校级四模）已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
31．（2023 新吴区校级模拟）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，，，且（其中，，则的值为　　
A． B． C． D．
32．（2023 青羊区校级模拟）已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是 　　．
33．（2023春 镜湖区校级期中）设实数，若不等式恰好有四个整数解，则实数的取值范围为 　　．
34．（2023春 石家庄期中）已知定义域为的函数且满足，函数，若函数有7个零点，则的取值范围为 　　；若方程的解为、、、，则的取值范围为 　　．
35．（2023 盱眙县校级四模）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为 　　．
36．（2023 乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
37．（2023 邢台一模）已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
38．（2023 浦东新区校级三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 　　．
39．（2023 浙江模拟）设表示不超过的最大整数，如．已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是 　　．
40．（2023 武清区校级模拟）设，函数与函数在区间，内恰有3个零点，则的取值范围是 　　．
四．根据实际问题选择函数类型
41．（2023 安徽模拟）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“退步”的倍．如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过　　月后“进步”的是“退步”的一万倍．
A．20 B．21 C．22 D．23
42．（2023 青羊区校级模拟）2023年1月底，人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：　　
A．35 B．36 C．37 D．38
43．（2022秋 威海期末）经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）　　
A． B．
C． D．
44．（2023 长沙模拟）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：，则实数的值为　　
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
45．（2023 贾汪区校级模拟）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位： 满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　　
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
46．（2023 兴庆区校级四模）为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为　　
A． B． C． D．
47．（2023 雁塔区校级模拟）在如今这个时代，研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来速率有望达到，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计数据传输速率有望比快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的　　参考数据：，．
A．2.4倍 B．2.5倍 C．2.6倍 D．2.7倍
48．（2023春 向阳区校级月考）日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）约为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的　　
A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍
49．（2023 四川模拟）住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风，2，3，，周与室内甲醛浓度（单位：之间近似满足函数关系式，其中，，2，3，，，且（2），（8），则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风　　
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
50．（2023 琼山区校级三模）国内首个百万千瓦级海上风电场三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中为形状参数，为风速．已知风速为时，，则风速为时，（参考数据：，　　
A．0.920 B．0.964 C．0.975 D．0.982
51．（2023春 龙泉驿区月考）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为　　
A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时
52．（2023 海淀区校级三模）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示：
横轴为投资时间（单位：天），纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的所有序号是　　．
①．投资3天以内（含3天），采用方案一 ②．投资4天，不采用方案三
③．投资6天，采用方案二 ④．投资10天，采用方案二
53．（2023 三明三模）17世纪，法国数学家马林梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上，对为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数．除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实．人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为．几千年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：　　
A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6
54．（2023 东莞市模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（a）　　
A． B．7 C．13 D．26
55．（2023 天河区三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为　　
A． B．
C． D．
56．（2023 无锡三模）“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步，则一年后的水平是原来的倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的提高到，那么大约经过　　天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍．（参考数据：，，
A．82 B．84 C．86 D．88
57．（2023 全国模拟）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，以神经网络为出发点．在训练神经网络时，需要设置学习率来控制参数更新的速度，在模型训练初期，会使用较大的学习率进行模型优化，随着迭代次数增加，学习率会逐渐进行减小，保证模型在训练后期不会有太大的波动．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个知识衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.1以下（不含所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：　　
A．31 B．32 C．33 D．34
58．（2023 青羊区校级模拟）2023年1月底，人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含所需的训练迭代轮数至少为　　（参考数据：
A．36 B．37 C．38 D．39
59．（2023 琼海校级三模）将边长为1的正六边形进行如下操作：第一次操作，在每条边上，以边长的为长度作正六边形，保留新作的六个小正六边形，删除其余部分：第二次操作，将上一次操
作剩余的正六边形进行第一次操作以此方法继续下去，如图所示，若要使保留下来的所有小正六边形面积之和小于，则至少需要操作的次数为，
　　
A．17 B．18 C．19 D．
60．（2023 碑林区校级模拟）土壤中微量元素（如，，等）的含量直接影响植物的生长发育，进而影响植物群落内植物种类的分布．某次实验中，为研究某微量元素对植物生长发育的具体影响，实验人员配比了不同浓度的溶液若干，其浓度指标值可近似拟合为，，，，，，，，并记这个指标值为，则　　
A． B． C． D．
参考答案
一．函数的零点
1．【解析】函数，
对于①：函数，故函数是奇函数，故①正确；
对于②：令，而，在上恒正，则，
又，则，所以，故②正确；
对于③，假设函数的周期为，则对一切都成立，
取时，得到，再取时，故，
所以明显无解，故假设错误，故不是周期函数．故③错误；
对于④，令，解得，取时，，解得或，
故存在无数个零点．故④正确；
对于⑤，令，则，，
由为奇函数，不妨令，所以，
将其转化为函数的交点问题，如下图，
不妨假设，为图象靠近原点处的两交点，随的变化，可能无限趋近于0，但恒有，
所以，使不能总成立，故⑤错误．
故答案为：①②④．
2．【解析】因为有唯一的零点，为偶函数，
则，可得，，所以数列为等差数列．
则，所以数列是公差为2的等差数列．
又，
令，则为奇函数，
因为，所以在上单调递增，
由题意得，则
，
数列是公差为2的等差数列，其中，
则，假设
因为是奇函数且在上单调递增，则在上单调递增，
所以，
，
，与已知矛盾，故不成立
假设，同理可得，与已知
矛盾，故不成立，
综上，，则．
故选：．
3．【解析】根据对称性可以分三种情况研究：
（1）的情况，是把抛物线与轴交点为向上平移了0.02，
则与轴交点变至之间了．所以在之间有两个零点．
（2）当时，，根据对称性之间也有两个零点，
（3）是定义在上的奇函数，故（奇函数特性），
所以有五个零点．
故选：．
二．函数零点的判定定理
4．【解析】函数是连续增函数，
，；
．
所以函数的零点在．
故选：．
5．【解析】根据题意，，
则有（1），（2），有（1）（2），函数的零点在上，
第二次计算的值，必有，
又由，则函数的零点在区间，上，
第三次计算的值，则．
故答案为：．
6．【解析】函数在区间，上恰有8个零点即
函数与函数在区间，上有8个交点，
由知，
是上周期为2的函数，
作函数与函数在区间，上的图象如下，
由图象知，当，时，图象有5个交点，故在，上有3个交点即可；
故；
解得，；
故选：．
7．【解析】设函数，易知在上单调递增，
且（2），（3），
所以函数的零点所在的区间为，
即方程的根所在的区间为．
故选：．
8．【解析】函数在区间上是单调增函数，
函数在区间上存在零点．
可得，解得．
故选：．
9．【解析】分类讨论：
①当在内有一个零点时，
由△，得或，此时函数的零点为或1，不合题意，
由零点存在性定理可得（1），即，解得，
②当在内有两个零点时，则，解得，
综上，，即实数的取值范围为，
故答案为：．
10．【解析】易知函数在上单调递增，
又（1），
则，
于是，解得，
则函数在上存在零点，
令，可得，
则直线与函数在上的图象有交点，
在上恒成立，
则函数在上单调递增，
又时，，，
则．
故选：．
11．【解析】因为函数在区间，上存在零点，
即与在，上有交点，
又，在，上单调递增，
故，时，则，
设，则，
由，可得，
即与在，上有交点，
则．
故答案为：．
12．【解析】令，则，
函数在区间，上有零点等价于直线与曲线在上有交点，
则，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
则，，
显然，
，
即当时，函数在上有零点．
故答案为：．
三．函数的零点与方程根的关系
13．【解析】由题意知，，且，故，显然，即，
若，此时显然不满足题意，
故．
故答案为：．
14．【解析】由题意可得有解，
所以△，解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，不等式组无解，
综上所述，，
的取值范围为，．
故选：．
15．【解析】由题意可得函数的图象（蓝线）和函数的图象（红线）有两个交点，
如图所示：，
数形结合可得，
故答案实数的取值范围是，．
故选：．
16．【解析】若函数有两个实根，
则和的图像在有2个交点，
由，解得，
由，解得，
故在递减，在，递增，
时，，时，，
画出函数的图像，如图示：
，
结合图像：的取值范围是，，
故答案为：，．
17．【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，，
则，所以，
同理：当时，，
以此类推，我们可以得到如下的图象：
对于（1）：根据上述规律，当时，，故（1）错误；
对于（2）：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，
则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故（2）正确；
对于（3）：根据图象，当时，由图像可得（3）正确；
对于（4）：有三个零点，
等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象为恒过点的直线，如图所示．
当函数与，相切的时候，有三个交点，
相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，
故有三个零点，，故（4）错误．
说法正确的个数为2．
故选：．
18．【解析】因为，所以在单调递减，
令，得，
所以当时，，当时，令，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由此可得与的图象有3个交点，
即有3个零点．
故选：．
19．【解析】的图象向左平移个单位长度得到，
在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：
的图象与直线的交点个数为：3．
故选：．
20．【解析】作出与的图象，如图所示：
当时，设与相切于点，，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有一个交点，
即与有3个交点；
当时，设与相切于点，，
由可知，，
解得或（舍去），
此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点，
综上，或时图象有3个交点，
即方程恰有三个不相等的实数根．
故选：．
21．【解析】，则，
，，
若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，
则，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
22．【解析】方程的根，即为函数和直线的图象交点的横坐标，
由于函数与直线的图象均关于点对称，要使所有根的和为6，
则两个图象有且仅有3个公共点，
作出函数与直线的图象如下所示，
当时，只需直线与圆相切，则，解得，
当时，只需直线与圆相切，则，解得，
由图象可知，实数的取值范围为．
故选：．
23．【解析】由，可得，
设，，
由题意可得与有3个交点，
因为，
令，得，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，（1），
所以，即．
故选：．
24．【解析】定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；（1），
可得图象如下图所示，
有2个零点，，解得，
即实数的取值范围为．
故选：．
25．【解析】当时，，由得，即，此时函数为增函数，
由得且，得或，此时函数为减函数，
即当时，取得极小值（e），
当，，
当时，，为增函数，且，
作出函数的图象如图．
设，
则方程等价为，
当时，判别式△，此时方程无解，故正确．
若，则方程为，得，得，此时只有一个根，故正确，
．当时，方程为，得，得，此时与有2个交点，即方程有2个实根，
由得，即，
则函数为对勾函数，
当时，或，
当，时，方程，有两个实根，，设，
则，，
则，没有实根，，有2个或3个实根，故错误．
．当，，方程，有两个实根，，设，
则，，
则，有一个实根，，有3个实根，故正确．
故选：．
26．【解析】因为，
所以0不是的零点．
当时，方程的解的个数为函数与的图像在，上交点的个数，
注意到当时，单调递减，
，
在同一坐标系中作出与在，上的图像，如图所示，
由图可知在区间，上，两函数图像有4个交点．
而与均为奇函数，
故在，上两图像交点个数为8，
即在区间，上的零点个数为8．
故选：．
27．【解析】当，，则，，，，
在区间，上有且仅有2个实根，
设，，，
等价为在，上有两个实根，
则，
即，即的取值范围是，，故④正确．
当时，，，
若，则，，即可，
由图象知当，时，满足条件，故①正确，
时，取得最大值，当时，也有可能取得最大值，故②错误，
当，则，，，
，，则，即在区间上单调递增，故③正确．
故正确的是①③④．
故选：．
28．【解析】时，，则，，
此时，
则或；
当时，，
则，，
此时，
则，
故问题转化为，共有4个零点，
画出函数的图象如图所示：
则有，
解得．
故选：．
29．【解析】令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
30．【解析】设，该直线恒过点，如图，
结合函数图象，可知若方程有四个不同的实数根，则，
又直线与曲线在时有两个不同的公共点，
所以在时有两个不同的实数根，
令，则，
解得．
故选：．
31．【解析】因为，
所以关于对称，
所以的根应成对出现，
又因为的方程恰有三个不同的实数根，，，且，
所以该方程的一个根是，得，，，
所以，由（a），得，
当，即时，
（b），①则，②
由①②可求出，所以；
当，即时，（b），③
，
由③④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为，，
所以．
故选：．
32．【解析】当时，，，
所以当，时，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且（1），；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则（1），
又．
作出函数的函数图象如下：
若有且只有三个零点，即与只有三个交点，
由图可知需满足．
故答案为：．
33．【解析】由不等式，得，即，
设，则，
当时，，单调递增，
且当时，，当时，，
又，
若，则，，此时，不合题意；
当时，，，则，即，
则不等式在恰好有四个整数解，
设，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使不等式在恰好有四个整数解，
则（6）（5），即．
故答案为：．
34．【解析】，
是奇函数，
作出函数的图象如图：
若有7个零点，
则等价为，即有7个不同的根，
即与，两个图象有7个交点，
是方程的一个根，则根据对称性知，当时，两个图象只要有3个交点即可．
当时，（2），即，
当直线经过时，，得，
当直线在第一象限与在处相切时，，即，由判别式△，得，
得，得，得或（舍，
当时，要使与有3个不同的交点，则．
即实数的取值范围是，．
若方程的解为、、、，
设，
则由图象知，
且、、关于对称，即，
当时，，
则满足，，
得，，
得，，
则，，
则，
则在上为减函数，
则，，
则，
即的取值范围为．
故答案为：，．．
35．【解析】由得，
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，
作出函数的图象，如图，
再作出直线，它始终过原点，
设直线与相切，切点为，，
由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，，
所以切线斜率为，
设与相切，则，
所以，，△，解得舍去），
由图可得实数的取值范围是或．
故答案为：．
36．【解析】，
若函数存在3个零点，
则，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式△，得，
由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
则，，
即，且，
即，①，且，②，
则①恒成立，
由，，
平方得，即，
则，综上，
即实数的取值范围是．
故选：．
37．【解析】，且，
，两边取对数可得，
根据题意可得与在上有两个交点，
设，则，，
当时，，单调递增；当，时，，单调递减，
，且时，；时，，
要使与在上有两个交点，
则，，
故选：．
38．【解析】由题设，
若，则，
所以，值域为，函数图象如下：
当，时，只有一个，与之对应，
当，时，有两个对应自变量，
记为，，则，
当时，有三个对应自变量且，0，，
当，时，有两个对应自变量，
记为，，则，
当，时，有一个，与之对应，
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，0，，此时有7个解，不满足；
若有两个解，且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的；
若有一个解，则有两个解，此时，，，
所以对应的，，，
综上，，，．
故答案为：，，．
39．【解析】设，则有且只有4个根，当时，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，，
当时，，，
当，，时，，，
故函数的图象如图所示：
因为，由图可知，，．
故答案为：，，．
40．【解析】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，
设，
即函数在区间，内恰有3个零点，
当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
△，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且（a），
当△，即时，函数在区间，上无零点，
所以函数在，上有三个零点，不符合题意；
当△，即时，函数在区间，上只有一个零点，
则当，时，，
令，解得或，符合题意；
当，即时，函数在区间，上有1个零点，
则函数在，上有2个零点，
则，即，所以；
当，即时，函数在区间，上有2个零点，
则函数在，上只有1个零点，
则或或，即无解．
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
四．根据实际问题选择函数类型
41．【解析】设大约经过月后“进步”的是“退步”的一万倍，
则，即，
则．
故选：．
42．【解析】由已知，，
，，，，
因此至少为36．
故选：．
43．【解析】1轮影响后，国内消费总额为，
2轮影响后，国内消费总额为，
30轮影响后，国内消费总额为．
故选：．
44．【解析】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，
由半衰期，得．
所以，即．
由题意，知，即．
于是．
所以．
故选：．
45．【解析】函数 中，时，；时，；
所以，，即；
解得，
当时，．
该食品在的保鲜时间是24小时．
故选：．
46．【解析】设，则，
矩形的面积
．
当且仅当，即时上式取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为．
故选：．
47．【解析】设原来的最大信息传递率为，将信噪比从11提升至499后最大信息传递率为，
则，，
，
故选：．
48．【解析】因为，
所以，；
则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率为，
净化到纯净度为左右时净化费用变化率为，
所以．
故选：．
49．【解析】，
（2），（8），
，，
两式相减得，则，
，，
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，
则，即，解得，
故至少需要通风26周．
故选：．
50．【解析】，
又风速为时，，即时，（1），
，解得，
，
（4），
故选：．
51．【解析】检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，
则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以，
令，即，
解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为．
故选：．
52．【解析】由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，故①正确；
在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，故②正确；
在第五天到第八天，方案二最多，故③正确；
第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，故④不正确；
故答案为：①②③．
53．【解析】根据题意可知，，．
．
故选：．
54．【解析】这个人原来持金为斤，
第1关收税金为，第2关收税金为，
第3关收税金为，
以此类推可得，第4关收税金为，第5关收税金为，
所以，即，解得，
由，
则．
故选：．
55．【解析】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，2，3，4，5，6，
，，，，，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：．
56．【解析】设大约经过天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，
可得，
两边取对数得，
，
，
又因为，
，
所以．
故选：．
57．【解析】由题设，，则，
所以，即，
即，
故所需的训练迭代轮数至少为32次．
故选：．
58．【解析】已知，，当时，，
，，
得，
即，由，得，
不等式两边同时取对数得，
即，
因此至少为36．
故选．
59．【解析】由题可知，第次操作后共保留了个小正六边形，其边长为，
所以保留下来的所有小正六边形面积之和为，由，
得，
所以至少需要操作20次，才能使保留下来的所有小正六边形面积之和不超过．
故选：．
60．【解析】由数据可得，从第三项开始，第项是前两项之积，
即，，
取对数得，，
设，则，
，
，
累加得，
所以，
所以．
故选：．
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