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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题06 导数及其应用
【考点考向】
1．导数的概念
平均变化率瞬时变化率某点的导数在一点可导在区间上可导导函数
2．导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于．
3．常见函数的导数公式：
（为常数）； ； ； ； ；
（，且）； ； （，且）．
4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：
法则1 ．
法则2 ．
法则3 ．
5．导数的应用
⑴利用导数判断单调性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．
【解题策略】
1.研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：
（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.
2.利用导数研究函数的极值点以及利用导数解决不等式恒成立时的参数的范围问题，有较强的综合性，要求明确导数与函数的单调性以及极值之间的关系并能灵活应用，解答的关键是构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，其中要注意分类讨论.
3.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
4.利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
【考点解析】
一．导数的运算
1．（2023春 上犹县校级期末）已知函数，则（2）　　．
二．利用导数研究曲线上某点切线方程
2．（2023 河南模拟）已知曲线在点处的切线方程为，则　　
A．， B．， C．， D．，
3．（2023春 重庆期末）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
4．（2023春 清远期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为　　
A． B． C． D．
5．（2023 忻州开学）函数的图象在点，（1）处的切线方程是　　
A． B． C． D．
6．（2023春 宜丰县校级月考）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是　　
A． B． C． D．
7．（2023春 平顶山期末）若曲线在处的切线垂直于直线，则　　
A． B． C．0 D．1
8．（2023春 达州期末）曲线在点处的切线方程是 　　．
9．（2022秋 白云区校级期末）已知函数，其中为自然对数的底数，则曲线在处的切线方程为 　　．
10．（2023春 南通期末）已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：　　，　　．
11．（2023 思明区校级三模）曲线在点处的切线斜率为，则　　．
12．（2023 叙州区校级模拟）已知是定义在，，上的偶函数，当时，，则曲线在点，处的切线方程为 　　．
13．（2023春 南开区期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
三．利用导数研究函数的单调性
14．（2023春 清远期末）已知函数在，上单调递增，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2023春 平顶山期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
16．（2023春 西安期末）已知函数在区间，上存在单调减区间，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
17．（2023春 武汉期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且（3），则关于的不等式的解集为　　
A． B．，，
C．，， D．，，
18．（2023春 新市区校级月考）已知函数在上不单调，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
19．（2023春 博湖县期末）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是　　
A．函数 在区间上是减函数
B．函数 在区间上是减函数
C．函数 在区间上是减函数
D．函数 在区间上是增函数
20．（2023春 江苏月考）设函数，对任意，，若，则下列式子成立的是　　
A． B． C． D．
21．（2023春 青铜峡市校级期中）函数的单调递增区间是　　
A． B．
C． D．和
22．（2023春 龙岗区校级期中）函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是　　
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）
23．（2023春 香坊区校级月考）已知在上单调递减，则实数的值为 　　．
24．（2023 海淀区校级三模）已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为 　　．
25．（2023春 松江区校级期末）函数的严格增区间为 　　．
26．（2023春 裕安区校级期中）若函数在，上是减函数，则的最大值是 　　．
27．（2023春 北京期中）若三次函数在区间内是增函数，则的取值范围是　 　．
28．（2023春 渝中区期末）已知函数的导函数为，．
（1）若函数是增函数，求实数的取值范围；
（2）设，当时，若，满足，证明：．
29．（2023春 姜堰区月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）已知，若时，恒成立，求的取值范围．
30．（2023春 盐城校级期中）已知函数．
（1）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围；
（2）讨论函数的单调性．
31．（2023 福建模拟）已知函数，．
（1）讨论在的单调性；
（2）是否存在，，，且，使得曲线在和处有相同的切线？证明你的结论．
32．（2023 铜川二模）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
四．利用导数研究函数的极值
33．（2023春 萍乡月考）函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是　　
A． B．
C．，， D．，，
34．（2023春 顺义区期中）已知函数，下列说法中正确的是　　
A．1既是的一个零点，又是的一个极小值点
B．1既是的一个零点，又是的一个极大值点
C．1是的一个零点，不是的极值点
D．1既不是的一个零点，也不是的极值点．
35．（2023春 江西月考）已知函数，，存在两个极值点，，且，则的取值范围为 　　，的取值范围为 　　．
36．（2023春 龙岩期中）若函数没有极值，则实数的取值范围是 　　．
37．（2023 河南模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
38．（2023春 重庆期末）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的零点个数．
五．利用导数研究函数的最值
39．（2023 泸县校级模拟）若函数在内有且只有一个零点，则的值为　　
A．2 B．1 C．3 D．5
40．（2023春 工业园区校级月考）已知函数恰有三个正整数，2，，使得，，2，3，则实数的取值范围为 　　．
41．（2023春 遂宁期末）函数图象在点处切线斜率为2，，若在上恒成立，则实数的最大值为 　　．
42．（2023春 霞山区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 　　．
43．（2023春 青铜峡市校级期中）已知函数在，上的最大值为2，则　　．
44．（2023 桃城区校级三模）已知函数在区间，上有两个零点，则实数的取值范围是 　　．
45．（2023春 郑州期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）设函数．证明：当时，，恒成立．
46．（2023春 重庆期末）已知函数．
（1）若为的导函数），求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
47．（2023春 宁都县校级期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数．
48．（2023春 楚雄市校级月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数．
49．（2023春 黎川县校级期末）已知函数，且，为自然对数的底数）．
（1）若曲线在点处的切线斜率为0，且有极小值，求实数的取值范围；
（2）当，时，若不等式在区间内恒成立，求实数的最大值．
50．（2023春 青铜峡市校级期中）已知函数在处取得极值2．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最值．
六．不等式恒成立的问题
51．（2023春 苏州期末）已知函数满足．当，时，．
（1）若（2）（3），求的值；
（2）当，时，都有，求的取值范围．
参考答案
一．导数的运算
1．【解析】因为，所以（2），
所以（2）（2），解得（2）．
故答案为：1．
二．利用导数研究曲线上某点切线方程
2．【解析】由，得，
由题意，，解得，．
故选：．
3．【解析】函数的导数为，
，即切点为，代入，得，
、为正实数，，
则，
令（a），则（a），
则函数（a）为增函数，
，
．
故选：．
4．【解析】设直线与函数的图象切于，，
由，得，
，，
则，
可得．
令，
则，
当时，，当时，，
在上的最小值为（1）．
故选：．
5．【解析】，则切线的斜率是（1），（1），
则切线方程是，即．
故选：．
6．【解析】由可得，
，，即，，，，
当，时，；
当，时，，．
故选：．
7．【解析】由，得，
则（1），
又曲线在处的切线垂直于直线，
则，可得．
故选：．
8．【解析】由，得，
，
则曲线在点处的切线方程是，
即．
故答案为：．
9．【解析】求导可得，则（1），又（1），
则曲线在处的切线方程为，
整理得．
故答案为：．
10．【解析】设曲线和的切点为，，则，
所以在处的切线方程为，
设的切点，，则，
所以在切点的切线方程为：，
由题意可得，可得代入可得，
所以或，
解得或，
当时，切点为，斜率，此时切线方程为，即；
当时，切点为，斜率，此时切线方程为：，即，
故答案为：，．
11．【解析】由题意知，
曲线在点处的切线斜率为，
可知，解得．
故答案为：．
12．【解析】由是定义在，，上的偶函数，
当时，，
可得时，，
所以当时，的导数为，
则曲线在点，处的切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，
故答案为：．
13．【解析】（1）由，得
，（2），
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，，
切线方程为，
切线经过原点，
，
，．
则，
所求的切线方程为；
切点为．
三．利用导数研究函数的单调性
14．【解析】由函数，
可得，
若在区间，内单调递增，
则在，恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
则，
令，解得，令，解得，
故在，递增，在，递减，
故，
故，
即实数的取值范围是，．
故选：．
15．【解析】在区间上单调递增，
在，上恒成立，
在，上恒成立，
．
故选：．
16．【解析】因为，所以，
因为在区间，上存在单调递减区间，所以存在，，使得，即，
令，，，则恒成立，所以在，上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为，．
故选：．
17．【解析】由题可知，在上单调递增，在上单调递减，
又是定义域为的奇函数，
，且在上单调递减，在上单调递增．
不等式等价于或，
（3），
，，．
故选：．
18．【解析】依题意，
因为函数在上不单调，
所以在上有零点，
令，令，得，
令，则，
当时，，单调递增，
又（1），所以，故，
所以的取值范围是．
故选：．
19．【解答】解；由题意得：
在区间，和上，，是减函数，
在区间上，，是增函数，
故选：．
20．【解析】，，
，故函数为偶函数，
当时，，
则
．
故在区间上单调递增，
据此可得：．
故选：．
21．【解析】由函数的解析式可得：，
求解不等式’ 可得：，
则函数的单调递增区间为．
故选：．
22．【解析】由函数的图象可知：
当时，单调递增，
（1），（2），（3），
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
（1）（2）（3）．
故选：．
23．【解析】已知，函数定义域为，
可得，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
因为在区间上恒成立，
所以，
解得，
因为，
解得，
故答案为：1．
24．【解析】由题意得，
的最大最小值必在，中取得，且在上不是单调函数，
必有，解得，
又图象完全位于直线与之间，
且，
即恒成立，则，
综上所述，．
故答案为：2（答案不唯一）
25．【解析】的定义域是，
则，
令，解得：，
故函数的递增区间是．
故答案为：．
26．【解析】由题意得，
函数在，上是减函数，
，，恒成立，
即，，恒有成立，
又当时，，即，
当时，，对，，
即函数在，上是减函数，
故的最大值是3．
故答案为：3．
27．【解析】，
，在恒成立
则有；
故答案为：．
28．【解析】（1）的定义域为，
，
因为是增函数，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
即任意，恒成立，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以（1），
所以，
所以的取值范围为，．
（2）证明：根据题意可得，，
若，满足，则有两个零点，
所以，
所以，
所以，
要证，
即证，
即证，
即证，
令，
因为，
所以，
所以只需证，
即证，
令，，
，
令，，
，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以（1），
所以，
所以在上单调递减，
所以（1），
所以，得证．
29．【解析】（1）当时，，则，
令，得，令，得或，
函数的增区间为，减区间为和；
（2）依题意，当时，恒成立，
即恒成立，
即时，恒成立，
取代入，则，此时，
取代入，则，此时，
．
下面证明，当时，恒成立，
构造函数，，
也即是证明在区间，上恒成立．
下面分两种情形进行讨论：
情形一：当时，有，
此时：，
由于，，，，，
，即．
情形二，当时，，
此时，
设，
则，
当时，，此时，
在，上递减，．
当时，，，递增，
，
此时，在上递增，
，当时，．
结合情形一和情形二得到：
当时，对任意，都有，
综上所述，的取值范围是，．
30．【解析】（1）在，上单调递增，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
当，时，，
，即，
即实数的取值范围为；
（2）由题意得，
则，
令，
①当时，，即在上单调递增；
②当时，△，
若△，即时，恒成立，
恒成立，在上单调递增；
若△，即且时，由得，，
若，则，则在上恒成立，
恒成立，
在上单调递增；
若，则，
当时，，当，时，；
当时，，当，时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
31．【解析】（1），
故时，；时，，
当，即时，在单调递减，在单调递增；
当，即时，在单调递增．
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增．
（2）解法一：不存在，，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
证明如下：假设存在满足条件的，，，
因为在，处的切线方程为，
即，
同理在，处的切线方程为，
且它们重合，所以，，
整理得，
即，，
所以，
由两边同乘以，
得，
令，，则，且，
由得，代入得，两边取对数得，
令，
当时，，，
所以在上单调递增，又（1），所以，从而，与矛盾；
当时，，，
所以在上单调递增，又，所以，从而，与矛盾；
综上，不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
解法二：不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
证明如下：假设存在满足条件的，，，
因为在，处的切线方程为，
即，
同理在，处的切线方程为，
且它们重合，所以，，
整理得，
令，，可得，
由两边同乘以，
得，则，且，
令，则，且．
由（1）知，当时，单调递增，当时，单调递减，
又当时，，当时，，
所以若，存在，不妨设，
设，，又，所以，则，
由，得，即，
则，所以，
所以，即，
令，，则，
所以在上单调递减，所以当时，（1），
即，取，即，
所以在时无解，
综上，不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
解法三：不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
证明如下：假设存在满足条件的，，，
因为在，处的切线方程为，
即，
同理在，处的切线方程为，
且它们重合，所以，，
整理得，
即，，
所以，
由两边同乘以，
得，
令，，则．，且，
令，则，且．
由（1）知，当时，单调递增，当时，单调递减，
又当时，，当时，，
所以若，存在，不妨设，
则，，
所以，
以下证明．
令，，则，
所以在上单调递减，所以当时，（1），
因为，所以，，
整理得．
因为，所以，与矛盾；
所以不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
32．【解析】（1）函数的定义域为，
，
在处取得极值，，
即．
，
是单调递增函数，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）仅有两个零点，
即有两个根，
整理得，
即，
设函数，则上式为：，
恒成立，单调递增，
，即，
令，，
则，
当时，；当时，．
在处取得极大值，也就是最大值，为，
要想有两个根，只需要，
即，
的取值范围为．
四．利用导数研究函数的极值
33．【解析】因为有3个不同的零点，
则 有2个不等于1，且不相等的零点，
因为，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以
当时，；当时，，
又（1），
所以实数的取值范围是，，，
故选：．
34．【解析】已知，函数定义域为，
可得，
易知函数和在上都是增函数，
所以在上是增函数，
又（1），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取到极小值（1），没有极大值，
因为（1），
所以为函数的零点，
综上，1既是的一个零点，又是的一个极小值点．
故选：．
35．【解析】，，，
，存在两个极值点，，且，
在，上有2个不相等的实根，
和在，上有2个不同的交点，
，即；
当时，函数的图像关于直线对称，
，即，
，
令，，
则，
在上单调递减，
所以，
的取值范围为．
故答案为：；．
36．【解析】，
因为没有极值，，
所以△，
解得．
故答案为：，．
37．【解析】（Ⅰ）当时，，
求导可得，，
令，解得或，
令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，；
（Ⅱ），
，即，
，
，
令，
，
令，
则，
令，
则，
当时，，
则在，上单调递增，，
故在，上单调递增，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，（1），
故实数的取值范围为，．
38．【解析】函数．
（1）当时，函数，
，，
令，则；令，则，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间为，
当时，函数取极小值（1），无极大值．
（2）令，
因为，所以，
记，，
令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
因此当时，直线与的图象没有交点；
当或时，直线与的图象有1个交点；
当时，直线与的图象有2个交点；
综上所述：当时，函数没有零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点．
五．利用导数研究函数的最值
39．【解析】因为函数在内有且只有一个零点，
所以，，
①当时，，
函数在上单调递增，，
所以没有零点，舍去，
②当时，的解为，
所以在上递减，在，上递增，
又只有一个零点，
所以，解得，
故选：．
40．【解析】的定义域为，
由可得
（1）显然时，不等式在上无解，不符合题意；
（2）当时，不等式为，
令，，则当时，，
故不等式没有正整数解，不符合题意；
（3）当时，不等式为为增函数，
，令，则，
当时，，故在上单调递减，
而，
存在使得，
当，时，，当时，，
即当，时，，当时，，
在，上单调递增，在，上单调递减，
又（1），且时，，
故不等式的三个正整数解为1，2，3，
，即，解得：．
故答案为：．
41．【解析】已知，函数定义域为，
可得，
因为函数图象在点处切线斜率为2，
所以，
解得，
所以函数，
若在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
又，（1），
所以存在点，使得，
即，
对等式两边同时取对数，
可得，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
则，
又，
则实数的最大值为0．
故答案为：0．
42．【解析】构造函数，，
，
当时，恒成立，
在上恒成立，
由，
在上恒成立，
化为的最小值，
，，当且仅当时取等号，
，
即实数的取值范围是，，
故答案为：，．
43．【解析】，当，时，，
在，上单调递增，且当取得最大值，
（e），可知，
（1）．
故答案为：1．
44．【解析】令，则，
令，则，
故当，时，，单调递减；
当，时，，单调递增，
而（1），（3），（2），
，，
函数在，上有两个零点，
方程在，上有两个实根，，
，即实数的取值范围为．
故答案为：．
45．【解析】（Ⅰ）的定义域为，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为（1）；
证明：（Ⅱ），
，，
，即在上单调递减，
，
由（1）知，的最小值为（1），
所以，即（当且仅当时，等号成立），
，故．
46．【解析】（1）函数的定义域为，
，
，
当时，在上恒成立，单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）当时，在，上是增函数，最大值为（e），
当，即时，在，是减函数，最大值为（1），
当，即时，在是增函数，在，是减函数，最大值为，
当，即时，在，是增函数，最大值为（e），
综上所述，当时，最大值为（e），
当时，最大值为，
当时，最大值为（1）．
（3）证明：，
因为函数有两个极值点，，
所以在上有两个不等的实数根，（假设，
则在上有两个不等的实数根，（假设，
所以与的图象有两个交点，
由函数的图象知，，，
要证：，
可得变形为，
因为，，
所以，
即证可以变形为，
进一步变形为，
令，
即证，
令，
，在上单调递增，
所以（1），即证．
47．【解析】（1）当时，，有．
又由，有．
曲线在点，处的切线方程为，整理为，
即曲线在点，处的切线方程为．
（2），
①当时，，此时函数只有零点，
②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为，
又由，
Ⅰ．令，
所以，
所以函数单调递减，有，
所以当且时，有，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
Ⅱ．令，
所以，
所以函数在单调递减，
所以，
当且时，有，
所以，
由上知函数有且仅有两个零点，
③当时，，
Ⅰ．当时，，此时函数单调递增，
又由，
所以函数只有一个零点，
Ⅱ．当时，令得或，
所以函数的增区间为，，减区间为，
又（1），
，
因为，
所以，
所以，
当时，，
所以函数有且仅有一个零点，
Ⅲ．当时，令得或，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
在，上，单调递增，
又，，
由，有，有，
又由，
所以函数有且仅有一个零点，
综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有且仅有两个零点．
48．【解析】（1）当时，，
，（1），
又（1），
曲线在处的切线方程为，
即；
（2）的定义域为，且．
当时，令，解得，令，解得．
则在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也是最大值（a），且当时，，当时，．
当，即时，函数有两个零点；
当，即时，函数有一个零点；
当，即时，函数无零点．
49．【解析】（1），
曲线在点处的切线斜率为0，即（e），
，
，
当时，，，单调递增，
，，单调递减，
函数有极大值而无极小值；
当时，，，单调递减，
，，单调递增，
所以函数有极小值而无极大值，
，即实数的取值范围为；
（2）当，时，，，
，
设，
则，
令，
，
，
在内单调递增，
当时，，
当时，即时，，
存在，使得，
在区间内单调递减，在，内单调递增，
由（1），
不恒成立．
当时，即时，，
在区间内单调递增，
当时，（1）恒成立；
综上所述，实数的取值范围为，．
实数的最大值为．
50．【解析】（1），，，
在处取得极值2，（1）且（1），
即，解得，
此时，
由，可得，在上单调递减，
由，可得，在上单调递增，
在处取得极值，符合题意，
的值为，的值为2；
（2）由（1）有，，，
由，可得，在上单调递减，
由，可得，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得极小值（1），即为最小值，
，，（e），，
在处取得最大值（e），
综上所述，在上的最小值为2，最大值为．
六．不等式恒成立的问题
51．【解析】（1）已知当，时，，
所以（1），（2），
又函数满足，
即（3）（1）（3），
易知，
所以，
若，
解得；
（2）由，
可得，
当，时，，，
此时，
因为当，时，都有，
所以当，时，，
解得，
因为，
所以在，上恒成立，
当时，为开口向上的二次函数，
对称轴，，
所以当时，取得最小值，最小值，
当时，取得最大值，最大值，
需满足，
解得，
又，
所以不存在满足条件的的值；
当时，函数为开口向上的二次函数，
对称轴，，
所以当时，取得最小值，最小值（2），
当时，取得最大值，最大值，
需满足，
解得，
又，
所以；
当时，函数为开口向上的二次函数，
对称轴，
所以当时，取得最小值，最小值，
当时，取得最大值，最大值，
需满足，
解得，
又，
所以不存在满足条件的的值，
综上，的取值范围为．
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