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方程与方程组
3.2 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)由配方法可化为
①
因为 a≠0,所以 4a >0.式子b -4ac的值有以下三种情况:
(1) b -4ac>0
这时 由①式得 方程有两个不相等的实数根
(2) b -4ac=0
这时 由①式得 方程有两个相等的实数根
(3) b -4ac<0
这时 由①式得 而x取任何实数都不能使 因此方程无实数根.
这说明，根据b -4ac的值的符号，我们可以判定一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况. 一般地，式子b -4ac叫做方程ax +bx+c=0(a≠0) 的根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即 △=b -4ac.
归纳起来，有
(1) △>0 方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0 方程有两个相等的实数根；
(3)△<0 方程没有实数根.
【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) x +2x-1=0; (2) 5x =2(x-10); (3)8x +(m+1)x+m-7=0.
【解】(1) 因为 Δ=2 -4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.
(2) 将原方程整理，可得5x -2x+20=0.
因为 △=(-2) -4×5×20=-396<0,所以方程没有实数根.
(3)△=(m+1) -4×8×(m-7)=m -30m+225=(m-15) .
因为无论 m取何值，都有△=(m-15) ≥0，所以方程有两个实数根.
【例2】已知关于x的方程 (k-2)x +k=(2k-1)x 有两个不相等的实数根，求k的范围.
【解】 方程( (k-2)x +k=(2k-1)x
可化为( (k-2)x -(2k-1)x+k=0.
因为方程有两个不相等的实数根，所以
解得且k≠2.
所以k的取值范围是且k≠2.
【例3】证明：关于x的一元二次方程(m +1)x -2mx+(m +4)=0没有实数根.
【证明】二次项系数 m +1≠0.
△=(-2m) -4(m +1)(m +4)=-4(m +4m +4)=-4(m +2) .
因为无论 m取什么实数，都有m +2>0,所以--4(m +2) <0,
即Δ<0.
因此，一元二次方程(m +1)x -2mx+(m +4)=0没有实数根.
【例4】 当m为何值时，关于x的方程(m -4)x +2(m+1)x+1=0有实数根.
【解】 (1)当m -4=0,即m=±2时,2(m+1)≠0
方程为一元一次方程,总有实数根.
当 m -4≠0,即m≠±2时，
要使方程(m -4)x +2(m+1)x+1=0;有实数根，
则Δ=[2(m+1)] -4(m -4)=8m+20≥0,
解得
因此，当且 m≠±2时，方程有实数根.
综合(1)(2),当时，方程有实数根.
习题3.2
1. 方程 x +1=0, x +x=0,x +x-1=0, x -x=0中，无实根的方程有( ).
A.1个. B.2个. C.3个. D.4个.
2.关于x的方程ax -2x+1=0中, 若a<0,则根的情况是( ).
A.有两个相等的实数根. B. 有两个不相等的实数根.
C. 没有实数根. D. 无法确定.
3.关于x的方程ax +bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根. B.有两个相等的实数根.
C. 没有实数根. D. 无法确定.
4.若关于x的一元二次方程(m-2) x +2(m+1)x+1=0;有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
5. 若二次三项式 3x -4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是 .
6.不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 2x +3x-4=0; (2) 16y +9=24y; (3) 5(x +1)-7x=0.
7.证明：关于x的方程 mx -(m+2)x=-1必有实数根.
已知关于x的方程(k -1)x +2(k+1)x+1=0有实数根，求k的取值范围.
参考答案
第三章 方程与方程组
习题3.2
1. A. 2. B. 3. A.
且:m≠2.
6. (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根.
7.分两种情况讨论: (1) 当m=0时, (2) 当m≠0时,Δ=m +4>0. 综合 (1)(2), 方程必有实数根.
8.(1) 令k -1=0,得k=±1. 当k=1时,得 当k=-1时，方程没有实数根.
(2)当 k -1≠0, 即k≠±1时,方程是一元二次方程,要使它有实数根,则△≥0.由△=[2(k+1)] -4(k -1)≥0,得 k≥-1. 因此, 当k>-1且k≠1时,方程有实数根.
综合 (1) (2),当 k>-1时,方程有实数根.
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