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第三章
方程与方程组
3.3 韦达定理及其应用
方程ax +bx+c=0(a≠0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.
根据求根公式可知，当 b -4ac≥0 时，一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) 的两根为
由此可得
因此，方程的两个根x ，x 和系数a，b，c有如下关系：
这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.
反过来，如果x ，x 满足那么x ，x 一定是方程 ax +bx+c=0(a≠0) 的两个根，这就是韦达定理的逆定理.
特别地，
(1) 如果方程 x +px+q=0 的两个根是x ，x ，那么x +x =-p,x x =q;
(2)以两个数x ，x 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x -(x +x )x+x x =0.【例1】 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：
(1) x -5x-8=0; (2) 3x =1-6x;
【解】 (1) x +x =-(-5)=5, x x =-8.
(2) 方程化为 3x +6x-1=0,则
【例2】已知方程5x +2x-15=0,求：(1) 两根的倒数和；(2)两根的平方和.
【解】 设方程的两根为x ，x ，根据韦达定理，有
【例3】当 k取何值时，关于 x的方程. 3x -2(3k+1)x+3k -1=0,
(1) 有一根为零； (2)有两个互为相反数的实根；(3) 两根互为倒数.
【解】 要使方程有根，必须Δ=[-2(3k+1)] -4×3(3k -1)≥0,
解得
(1) 若方程有一根为零，则.x x =0.
解得
因为 所以当 时，方程有一个根为零.
(2)若方程有两个互为相反数的实根，则x +x =0.
解得
因为 所以当时，方程有两个互为相反数的实数根.
(3) 若方程两根互为倒数，则x x =1.
解得
因为 而 所以当 时，方程的两实根互为倒数.
【例4】写出一个一元二次方程，使它的两个根为-5和.
【解】 设所求的方程为 x +px+q=0,由根与系数的关系可知
得
因此，一元二次方程为即 3x +13x-10=0.
习题3.3
1. 设x ,x 是方程2x -6x+3=0的两根，则 的值是( ).
A.15. B.6. C.12. D.3.
2.以方程x +2x-3=0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ).
A. y +5y-6=0. B. y +5y+6=0.
C. y -5y+6=0. D. y -5y-6=0.
3.若m, n是方程 x +2x-2002=0的两实数根,代数式3m+mn+3n的值是 ( ).
A.-2008. B.-1996. C.2008. D.1996.
4. 若关于x的方程(m -2)x -(m-2)x+1=0 的两实根互为倒数，则m的值是 .
5. 以方程x -3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 .
6.设x ,x 是方程2x +4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1) (x +1)(x +1); (3) |x -x |.
7.已知关于x的一元二次方程ax +bx+c=0,两根之比为 3:5,求证:64ac=15b .
8.已知关于x的一元二次方程2x +ax-2a+1=0,两个实根的平方和为求a的值.
习题3.3
1. B. 2. B. 3. A.
(3) .
7. 设方程的两根分别为 3r和5r，由韦达定理得
匕简得 即
所以64ac=15b .
8.设方程的两根分别为x ，x ，由韦达定理得
方程的两个实数根的平方和 解得 a=-11或3.
因为 x ，x 是方程的两个实数根，所以Δ≥0.
当a=-11时, △=(-11) +4×2×(22+1)=-63<0;
当a=3时, Δ=3 -4×2×(-6+1)=49>0.
因此,a 的值为 3.
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