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第四章函数的图象与性质
函数是反映现实世界中变量间数量关系和变化规律的一种数学模型. 在高中阶段，函数将是一个重点内容.函数在学习数学的其他知识、解决实际问题中有着广泛的应用.
4.1 二次函数的图象和性质
我们知道，二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的图象是一条抛物线，其图象、性质如表 4-1所示.
表 4-1
现在我们进一步从函数图象及其变化的角度探讨二次函数的一些问题.
1.二次函数的图象和性质的应用
【例1】 已知二次函数 y=ax +bx+10,当x=3时的函数值与当x=2006时的函数值相等，求当x=2009时的函数值.
【解】 因为当x=3时的函数值与当x=2006时的函数值相等，所以二次函数y=ax +bx+10的图象的对称轴为
因为对称轴为 所以当x=2009时的函数值与当x=0时的函数值相等. 又因为当x=0时, y=10, 所以当x=2009时, y=10.
【例2】 已知二次函数 y=2x +bx, 当x>1时，y随着x的增大而增大，求b的取值范围.
【解】 因为二次函数y=2x +bx的抛物线开口向上，所以只要对称轴在 x>1的左边， 即 就有y随着x的增大而增大，得b≥-4.
因此,b的取值范围为 b≥-4.
2. 求二次函数的解析式
我们知道，二次函数的解析式有两种形式：
(1) 一般式: y=ax +bx+c (a≠0);
(2) 顶点式: y=a(x-h) +k (a≠0),其中顶点坐标是 (h, k).
求二次函数的解析式，就是求a，b，c或a，h，k的值. 通常需要通过分析二次函数的图象和性质，并运用待定系数法等才能解得.
【例3】已知二次函数的图象过点 (1,0), (0, -1), (2, 5),求此二次函数的解析式.
【解】 设二次函数的解析式为 y=ax +bx+c,则
解得
因此，二次函数的解析式为 y=2x -x-1.
【例4】 已知二次函数的图象过点(-2，1)， (0，1)，且顶点到x轴的距离等于 2，求此二次函数的解析式.
【解】 因为二次函数的图象过点 (-2, 1), (0, 1),且顶点到 x轴的距离为2,所以其对称轴为 顶点的坐标为 (-1, 2) 或(-1, -2).
当顶点的坐标为 (-1，2)时，设二次函数为 y=a(x+1) +2.因为函数图象过点(-2, 1), 所以a+2=1, 即a=-1.可得二次函数的解析式为 y=-x -2x+1.
同理，当顶点的坐标为(-1，-2)时，可得二次函数的解析式为 y=3x +6x+1.
因此，二次函数的解析式为 y=-x -2x+1 或 y=3x +6x+1.
习题 4.1
1. 若A(-4, y ), B(-1, y ), C(1, y )为二次函数y=-x +4x+5的图象上的三点, 则 y ,y ,y 的大小关系是( ).
A. y 2.已知二次函数 y=-x +2x, 当-1A. a>1 B.-13.已知二次函数 y=ax +bx+c,当x=m+1时的函数值与当x=1-m时的函数值相等，则二次函数的图象( ).
A.关于 y轴对称 B.关于 y=1轴对称
C.关于x=1轴对称 D. 关于 x=2轴对称
4.开口向下的抛物线y=(m -2)x +2mx+1的对称轴经过点 (-1, 3),则m= .
5.已知某二次函数的图象过点为 (-1,1), (1, 1), (0,2),求此二次函数的解析式.
已知某二次函数的图象的顶点为 A(2，-18)，它与x轴两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式.
习题4.1
1. A. 2. B. 3. C.
4. m=-1.
5. 设二次函数解析式为 y=ax +bx+c, 则
解得
二次函数的解析式为 y=-x +2.
6.由已知得二次函数图象与x轴的交点为(-1，0) 和(5，0).
设二次函数的解析式为 y=a(x-2) -18, 把(-1, 0) 代入得9a=18, 即a=2,所以二次函数的解析式为 y=2(x-2) -18=2x -8x-10.
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