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第四章函数的图象与性质
函数是反映现实世界中变量间数量关系和变化规律的一种数学模型. 在高中阶段，函数将是一个重点内容.函数在学习数学的其他知识、解决实际问题中有着广泛的应用.
4.2 二次函数与二次方程
我们知道，二次方程 ax +bx+c=0的根就是二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴公共点的横坐标.
设△=b -4ac,则
当△>0时,二次方程 ax +bx+c=0有两个不等的实数根x 和x ，二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴有两个不同的交点 (x ,0)和(x ,0);
当△=0时，二次方程 ax +bx+c=0有两个相等的实数根 二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴相切于点
当△<0时，二次方程ax +bx+c=0没有实数根，二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴没有公共点.
假设二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x轴有两个交点A(x ,0), B(x ,0),即x ,x 是方程ax +bx+c=0的两根，那么二次函数的解析式与x ，x 有什么关系呢
由韦达定理有
因此，
y=a(x-x )(x-x )是表示二次函数的一种解析式(两根式)，其中x ，x 是二次方程 ax +bx+c=0的根.
【例1】 求 a的取值范围，使得二次函数 y=x -x+a 的图象与x轴分别有
(1) 两个公共点; (2)一个公共点; (3) 没有公共点.
【解】 相应的一元二次方程为 x -x+a=0, Δ=1-4a.
(1) 当△=1-4a>0, 即 时，二次函数y=x -x+a的图象与x轴有两个公共点；
(2) 当△=1-4a=0, 即时，二次函数y=x -x+a的图象与x轴有一个公共点；
(3) 当△=1-4a<0, 即时，二次函数y=x -x+a的图象与x轴没有公共点.
【例2】 已知二次函数的图象过点(-3,0), (1,0),且顶点到 x轴的距离等于 2,求此二次函数的解析式.
解:因为二次函数的图象过点(-3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y=a(x+3) (x-1).
又因为顶点到x轴的距离等于2,所以顶点为(-1,2) 或(-1, -2).
当顶点为(-1,2) 时,二次函数的图象过点(-1,2),有-4a=2,得
同理, 当顶点为 (-1, -2) 时,有-4a=-2,得:
因此，二次函数的解析式为 或
【例3】 已知二次函数 y=ax +bx+c 同时满足下列条件：(1) 对称轴为 x=1；(2) 最大值为 15； (3)二次函数的图象与 x轴有两个交点，其横坐标的立方和为 17.求此二次函数的解析式.
【解】由条件得二次函数的顶点的坐标为(1，15)，设二次函数的解析式为y=a(x-1) +15.
二次函数的图象与x轴交点的横坐标是方程ax -2ax+a+15=0的两根 x 和x .
由韦达定理得
由 得a=-6.
二次函数的解析式为 y=-6(x-1) +15=-6x +12x+9.
习题4.2
1.函数y=-x +x-1的图象与x轴的公共点个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D. 无法确定
4.二次函数 y=-x +4x+12的图象与 x轴交于A，B两点，则A，B之间的距离为 .
5. 求a的取值范围，使得二次函数 y=x -ax+a-1的图象与x轴分别有
(1) 两个交点; (2)一个公共点.
已知某二次函数的图象与 x轴交于A(-2,0), B(1,0),且过点 C(2,4),求此二次函数的解析式.
习题4.2
1. A. 2. C.
3.2, 5. 4.8. 5. (1) a≠2; (2) a=2.
6.设二次函数为y=a(x+2)(x-1),又因为过点C(2,4), 所以4a=4,得a=1. 二次函数的解析式为y=(x+2)(x-1)=x +x-2.
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