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第四章函数的图象与性质
函数是反映现实世界中变量间数量关系和变化规律的一种数学模型. 在高中阶段，函数将是一个重点内容.函数在学习数学的其他知识、解决实际问题中有着广泛的应用.
4.3 函数图象的变换
我们已经学会了用描点法画正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象，现在我们进一步探讨用平移和对称两种图形变换的方法来画函数的图象.
1.平移变换
所谓平移变换，就是将一个图形上的所有点，沿同一方向移动相同的距离得到一个新的图形.
在坐标平面内，可以从函数图象中点的坐标变化来考察函数图象的整体变化.
【例1】 考察函数y=(x+1) , y=(x-1) 与 y=x | 的图象变换关系.
【解】 列出各个函数的自变量与函数值之间的部分对应值表：
表 4-2
x -2 -1 0 1 2 …
y=x 4 1 0 1 4 …
表 4-3
x -3 -2 -1 0 1 …
y=(x+1) .... 4 1 0 1 4
表4-4
x -1 0 1 2 3 …
y=(x-1) 4 1 0 1 4 …
利用描点法画出三个函数的图象 (图4.3-1).
则有b=[(a-1)+1] , b=[(a+1)-1] ,
即点 (a-1,b)是函数y=(x+1) 图象上的点,点(a+1,b)是函数 y=(x-1) 图象上的点.
由此, 函数 y=(x+1) 的图象可以看作是将函数 y=x |图象上的所有点，沿 x轴向负方向(左)平移1个单位后得到的图形；函数 y=(x-1) 的图象可以看作是将函数y=x 图象上的所有点，沿 x轴向正方向(右)平移1个单位后得到的图形.
一般地，函数y=a(x+h) (h>0)的图象可以看作是将函数y=ax 图象上的所有点，沿x轴向负方向(左)平移h个单位后得到的图形； 函数y=a(x-h) (h>0)的图象可以看作是将函数 y=ax 图象上的所有点，沿 x轴向正方向(右)平移h个单位后得到的图形.
类似地，还可以得到如下结论：
函数 y=ax +k(k>0) 的图象可以看作是将函数 y=ax 图象上的所有点，沿 y轴向正方向(上)平移k个单位后得到的图形；函数y=ax -k(k>0)的图象可以看作是将函数 y=ax 图象上的所有点，沿 y轴向负方向(下)平移k个单位后得到的图形.
【例2】(1) 函数 的图象可以由函数 的图象如何变换得到
(2) 函数 的图象可以由函数 的图象如何变换得到
【解】 (1) 通过列表描点画出两个函数的图象(图4.3-2).
设点(a, b) 是函数 图象上的任意一点，则
由此可得b-3=-3
因此，将函数 图象上的所有点，沿 y轴向负方向(下)平移3个单位，得到的函数 的图象.
2 .对称变换
所谓对称变换，就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的图形(即两个图形关于此直线对称).
【例3】 函数 y=x -2x 的图象是抛物线，下列的两个函数的图象与它有什么关系
(1) y=x +2x; (2) y=-(x -2x).
【解】 通过描点法画出上述函数的图象 (图 4.3-4).
观察函数图象可以发现，若点 (a，b) 是函数y=x -2x 图象上的任意一点，则点(-a, b)就在函数y=x +2x的图象上，点(a， -b) 就在函数y=-(x -2x)的图象上.
由此可知，作函数y=x -2x图象上的所有点关于y轴的对称点后，得到函数
换成一y而自变量x保持不变，得到一个新的函数，其图象可看作是原函数的图象通过关
于x轴的对称变换得到.
【例4】 画出 y=|x -1| 的图象.
【解】 二次函数 y=x -1 的图象是一条抛物线 (图4.3-5).
由解析式的特点可知， 当x≥1或x≤-1时，函数y=|x -1|的图象与函数y=x -1 重合，即抛物线在 x轴上方部分保持不变；当-1习题4.3
1.函数 y=-2x 的图象经过下列某个平移变换得到函数y=-2(x-1) +3的图象，则此平移变换是( ).
A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C.向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位
2. 如果点(a, b)是函数 图象上的一点，那么下列点一定在函数 图象上是( ).
A. (a, b) B. (-a, b) C. (a, -b) D. (-a, -b)
3.将函数 y=2x+1图象上的所有点向左平移1个单位得到一个图象，其所对应的函数解析式是( ).
A. y=2x-2 B. y=2x-1 C. y=2x+2 D. y=2x+3
4. 将函数 y=-x 的图象向 (左或右)平移 单位，就可得到函数y=-(x+2) 的图象，再将此函数的图象向 (上或下)平移 单位，就可得到函y=-(x+2) +3的图象.
5. 将函数y=x+1图象上的所有点通过 变换得到函数y=-x+1的图象.(只要写出一种你认为合适的图象变换即可.)
6. 试分析函数的图象与函数的图象的关系，并画出此函数图象.
7. 画出函数 y=x -2x-3的图象，并通过图象的变换画出下列函数的图象：
(1) y=-(x -2x-3); (2) y=x +2x-3;
(3) y=|x -2x-3|.
习题4.3
1. B. 2. B. 3. D.
4.左, 2, 上, 3. 5.关于y轴的对称.
6.函数 的图象是将反比例函数 的图象上的所有点向左平移3个单位得到. 图略.
7. 各图象如下：
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