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第四章函数的图象与性质
函数是反映现实世界中变量间数量关系和变化规律的一种数学模型. 在高中阶段，函数将是一个重点内容.函数在学习数学的其他知识、解决实际问题中有着广泛的应用.
4.4 函数性质的应用
函数是中学阶段重要的数学知识，在初中我们已经学习了一次函数、二次函数、反比
例函数等函数的图象及其性质，而运用函数的图象和性质去解决相关问题更是一种重要的思想方法.
1.求自变量在指定范围内时函数的最值
【例1】 将一根长为l的铁丝折成如图 4.4-1所示的形状(上部为半圆形，下部为长方形)，求此图形的面积的最大值.
【注】 本题将实际应用的最值问题转化为函数问题，实质就是在的条件
下，求函数 的最大值.
显然，当时(满足 y有最大值，最大值为
因此，当BC长为 时，折成的图形面积最大，其最大值为
从例1中我们可以得到利用函数知识解决实际应用问题的一般步骤：
(1)选取适当的变量作为自变量x，并确定 x的取值范围；
(2) 将目标值表示成自变量x的函数；
(3)在x的限定范围内，求此函数的最值.
【例2】 已知-1≤x≤a(a为大于-1的常数),求函数.y=x 的最大值M和最小值 m.
【解】 画出函数y=x 的图象，根据直线 x=a与抛物线的对称轴(y轴) 的相对位置，分类讨论.
(1) 当-1(2)当0(3) 当a>1时, 由图4.4-2(3)可知, 当x=a时, y有最大值a ; 当x=0时,y有最小值0.
综合(1) (2)(3)得
【注】 本题中虽然函数 y=x 是确定不变的，但由于限定范围随着a的变化而变化，导致函数 y=x 在-1≤x≤a范围内的图象也相应地变化，其最值需要结合函数图象，根据对称轴与取值范围内的图象的相对位置进行分类讨论. 解决函数在限定范围上的最值问题，要注意体会数形结合与分类讨论思想在解题中的应用.2
利用函数的图象解不等式
观察函数 y=x -5x+4 图象的特点，你能由下列函数值 y的范围确定自变量x的相应取值范围吗
(1) y=0; (2) y>0; (3) y<0.
函数 y=x -5x+4 的图象与x轴公共点的横坐标，就是使 y=0，即，x -5x+4=0成立的x的值，解方程x -5x+4=0,可得x=1或x=4.
函数y=x -5x+4的图象 (图 4.4-3)在x轴上方的点的横坐标，就是使 y>0，即x -5x+4>0成立的x的值，观察图象可知，此时x<1或x>4.
函数 y=x -5x+4的图象在 x轴下方的点的横坐标，就是使 y<0，即，x -5x+4<0
【解】 原不等式可化为
2x -5x+3>0.
【例4】 对于任意的实数x，二次函数y=x -2(a-1)x+2(a-1)的函数值恒大于0，求实数 a 的取值范围.
【解】由已知得，二次函数y=x -2(a-1)x+2(a-1)图象上的所有点都在x轴的
习题 4.4
1.在-1且y≠0
C. y<-1或 D. y>-1或
2.函数 y=-2x +x(0≤x≤2)的最小值为( ).
A.0 B.-1 C. D.-6
3.使函数 y=-2(x-1)(x+2)的函数值 y>0的自变量 x的取值范围是( ).
A.-2C. x<-1或x>2 D. x<-2或x>1
(1) -x +5x>6; (2)2x -x>0.
7. 在1≤x≤2的条件下,求函数 y=-x +2ax+1 (a是实常数) 的最大值 M 和最小值m.
8.某商店以每件20元的价格购进货物，然后以每件30元的价格售出，每月可售出400件. 试销中发现，若每件售价每提高 1元，则货物少售出 20件，每件售价应为多少元，才能使利润最大
习题4.4
1. C. 2. D. 3. A.
4. x<-1或x>2, -16. (1) 27. y=-x +2ax+1=-(x-a) +a +1, 抛物线的对称轴为直线 x=a，在抛物线上按自变量的范围1≤x≤2截取其中一段图象，按a 的大小分类讨论：
(1) 当a≥2时, M=4a-3, m=2a;
(2)当 时, M=a +1, m=2a;
(3) 当 时, M=a +1, m=4a-3;
(4) 当a≤1时, M=2a, m=4a-3.
综合以上，可得所求函数的最大值和最小值分别为
8.设售价为 (30+x)元,则每件的利润为(10+x)元,货物可售出的件数为 (400-20x),所以总的利润为
y=(10+x)(400-20x),0≤x<20,
则当x=5时,y有最大值4500,即当售价为 25元时,最大利润为 4500元.
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