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第五章比与比例
5.1 比和比例的性质
我们知道, 4个非零数a,b, c, d成比例, 即a:b=c:d,也可以写成 其中a，d 叫做比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，b，c的第四比例项.如果比例中两个比例内项相等, 即a:b=b:c(或写成 时，我们把b叫做a和c的比例中项.
在 的两边同乘以bd，得到ad=bc.这个推理步骤就是：因为 所以ad=bc.为了简明，可以把这个推理步骤写成：
①
符号“ ”读作“推出”.
反过来，在等式ad=bc的两边同除以bd，又得到 即
②
①②式合起来表明，与ad=bc可以互相推出，它是比例的基本性质.
比例的基本性质 即比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积.
符号“ ”读作“等价于”，表示从左端可以推出右端，并且从右端也可以推出左端.
推论
根据比例的性质定理，一个比例可以得出多种不同的比例变形.例如，
由于 ad=bc可以写成bc=ad, ad=cb, cb=da等多种形式,所以由又可以得出 等多种不同的形式. 也就是说，比例的两个内项可以交换位置，两个外项也可以交换位置，比例的这个性质叫做更比定理.
下面，我们再学习比例的两个重要性质：
合比定理
【证明】
等比定理
【证明】 设 那么a=bk, c=dk, …, m=nk.
【注】 像这样设k 的方法是解决比例问题的一种常用方法.
【例1】 (1) 已知 求证：
(2) 已知 求证：
【证明】(1) 因为 则 所以
(2) 因为 则 所以 即
【例2】 已知 求a+c+e的值.
【解】 因为 则 所以
a+c+e=3(b+d+f)=3×4=12.
习题 5.1
1.已知 则
A.1 B.2
2.已知 则
A.1 B.8 C.-1 D.-1或8
3. 已知 a:b:c=2:3:4, 且2a+b-c=6, 则a-b+2c= .
4.已知 则 2a :3b:4c= .
5. 已知(x+y):4=y:3,求(x -2xy+3y ):(x +y )的值.
6. 根据下列各式，求a：b的值：
已知 ad=bc(a≠2b, c≠2d),求证:
已知线段 求证：线段 b是a和c的比例中项.
习题5.1
1. B. 2. D.
3.14. 4.5: 9: 14.
5.由已知可得 y=3x，代入所求式，原式
7. 提示：运用等比和更比定理即可证明.
8. 提示: 只要证明b =ac.
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