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第五章比与比例
5.2 比和比例的应用
在图5.2-1中,如果a,b, c, d,e, f 这组平行线在直线 AD上截得五条相等的线段，那么这组平行线在直线 A'D'上截得的五条线段也相等吗 请你给出证明.
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
【例1】 如图 5.2-2,在△ABC中, 已知DE∥BC, 分别交AB, AC于点D,E,求证:
由例1，得到
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得对应线段成比例.
【例2】 已知在△ABC中,AD是角平分线,求证:
【证明】 如图5.2-3,过点 C作CE//DA,交BA的延长线于点 E.
由例2，得到
三角形内角平分线性质定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.
我们已经学习了相似三角形的一些性质：相似三角形对应边成比例、对应角相等；相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 可以发现，相似三角形的这些性质都和比例有关.
【例3】如图 5.2-4, E, G, F, H分别是矩形ABCD 四条边上的点, EF⊥GH.若AB=2, BC=3, EF=3.3, 求 HG的长.
因为在矩形 ABCD中,∠ABC=∠C=90°,所以∠ABR+∠CBN=90°, ∠BAR=∠CBN. 于是△ABM∽△BCN,
因此 EF :HG=3.3:HG=3:2, 得 HG=2.2.
习题5.2
1.如图,在 Rt△ABC中, AB⊥AC, AB=3,AC=4,P是BC边上一点, PE⊥AB于点 E, PD⊥AC于点D. 设 BP=x, 则 PD+PE= ( ).
C.
2.如图,四边形 ABCD和四边形 ACED都是平行四边形,R为 DE的中点, BR分别交 AC,CD于点 P, Q, 则 BP:PQ:QR等于( ).
A.3:2:1 B.2:1:2 C.3:1:2 D.2:1:1
3.已知在△ABC中,AD是角平分线, AB=5cm , AC=4 cm, BC=7cm, 则BD= cm,DC= cm.
4.如图，斜拉桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩,其中 A B , A B ,A B , A B 是斜拉桥上互相平行的钢索,且A A =A A =A A .若最长的钢索 A B =80m,最短的钢索 A B =20m,那么钢索A B = m, A B = m.
如图, 已知在△ABC中,AB=6, BC=8, AC=7, MN∥AC,分别交 AB, BC于点M, N, 且AM=BN, 求MN的长.
如图,在等边△ABC中, P为BC上一点, D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1, 求△ABC的边长.
如图,在△ABC中,DE垂直平分BC, AB=AD,求证: F是AD的中点.
8.如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD是高,且∠BAE=∠C,求证: BD·EC=AE·AD.
习题5.2
1. A. 2. C.
4.60, 40.
5. 设 MN=x, BN=y, 则 解得x=3, 即 MN=3.
6.设△ABC的边长为x,证明△ABP∽△PCD,得到 边长为 3.
7.提示:证明△BDF∽△CBA.
8.∵∠BAE=∠C,∠E=∠E,∴△EAB∽△ECA,.
又∵∠BAC=90°,AD是高,
BD·EC=AE·AD.
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