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第七章 基本轨迹问题
平面上的曲线可以看成是由满足一定条件的点所组成的，我们把满足某种条件的点组成的集合叫做具有这种性质的点的轨迹. 例如，圆可以看成是到某个定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们学面上的几何图形如三角形、平行四边形等，这些图形也都是点的集合.对于这些平面图形而言，我们是先了解其形状，再去探求其性质. 而基本轨迹问题则是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形. 这使得我们能更加理性地去研究平面图形，并且有助于我们进入高中以后更好地为学习解析几何.
【例1】 求过两定点 A，B的圆的圆心的轨迹.
由此我们就可以说过两定点A，B的圆的圆心的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
基本轨迹问题中，我们要寻求“满足某条件的点的轨迹是图形F”，必须做到以下两步：
(1)任取满足某条件的一点A，它一定落在图形 F上；
(2) 在图形F上任取一点A'，它一定满足某条件.
以上是求轨迹问题必不可少的两步，第一步是证明完备性，第二步是证明纯粹性.完备性和纯粹性是轨迹的两个基本属性，是判断轨迹是否为适合某条件图形的不可缺少的两个基本要素.
事实上，我们已经学习过 “线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等”； 并且“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”. 因此，我们可以总结为：
定理1 与两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点线段的垂直平分线.
利用有关轨迹的基本定理，我们可以求出满足一定条件的点的轨迹. 我们现在讨论的轨迹问题就是根据动点所满足的条件，判断点的轨迹的图形的形状、位置等. 在表达的过程中，为了突出主题，对于纯粹性的讨论往往省略.
根据初中阶段所学平面几何的内容，我们可以总结出以下关于轨迹的结论，称之为轨迹基本定理.
定理6 与已知线段两端点所连线段的交角等于定角α(0°<α<180°) 的点的轨迹，
【例2】 已知P为定直线 l外一点，Q是l上任意一点，求线段 PQ中点的轨迹.
【例3】 设有一动线段的长度为 a，它的两端点在一定直角的两边上移动，求这线段中点的轨迹.
定,不妨设 AB=a.在菱形 ABCD中,有AB=BC=a,且O为AB 中点,由△PBO∽
△PDC,有 又因为△OPQ∽△OCB,有 于是点 Q为
定点,分OB为1:2,且 因此，根据基本定理5，点 P的轨迹是以Q为圆心，
以 AB长为半径的圆.
【注】 求动点的轨迹就要“动中求静，静中察动”，从特殊到一般，在变化中求规律.
习题7.1
1. 与一定直线 l相切于一定点P 的圆，其圆心的轨迹是( ).
A.与l平行的直线 B. 以点 P为圆心的圆
C. 过点 P且垂直于l的直线 D. 过点 P且垂直于l的直线，P点除外
2.共底等高的三角形中，其重心的轨迹是( ).
A.平行于底边的一条直线 B. 垂直于底边的一条直线
C.平行于底边的两条直线 D. 垂直于底边的两条直线
3. 过定圆内一定点的弦，这条弦中点的轨迹是 ( ).
A.圆的一条弦 B.圆的两条相交弦 C.圆 D. 圆弧
4.已知直角三角形的斜边固定，那么这个直角三角形重心的轨迹是 .
5.若一点与相交两直线的距离之比为常数，则该点的轨迹是 .
6.以定线段 AB为腰作等腰三角形，求三角形的重心的轨迹.
设正三角形有一个顶点为定点A，另一顶点 B在定圆⊙O上，点A 与点O 不是同一点，求第三个顶点 C 的轨迹.
8.在△ABC中,∠A位置固定, AB+AC=l为定长,AP平行于 BC 且交△ABC的外接圆于点 P，求点 P 的轨迹.
参考答案
第七章 基本轨迹问题
习题
D. 2. C. 3. C.
4.以斜边中点为圆心，半径等于斜边长 的圆.
5. 过交点的两条直线.
同理，若∠B为等腰三角形的顶角时，重心P的轨迹是以AB的靠近B端的三分之一分点为圆心，AB长为半径的圆. 综上，所示的三角形重心的轨迹是以定线段AB的两个三分之一为圆心， AB为半径的两个圆.
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