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2022-2023学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，则( )
A. B. C. D.
2. 下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是( )
A. B.
C. D.
3. 若样本数据，，，的方差为，平均数为，则下列说法正确的个数为( )
数据，，，的平均数为；
数据，，，的方差为；
数据，，，的平均数为；
数据，，，的方差为．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 已知，是实数，若点，，在同一直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占，一、二等麦种种植后所结的麦穗含粒以上麦粒的概率分别为，，则用这批种子种植后所结的麦穗含有粒以上麦粒的概率是( )
A. B. C. D.
6. 已知平面，，，直线，，，，，，下列命题不正确的是( )
A. 若，则， B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7. 如图所示，正方体的棱长为，点，分别是，中点，则二面角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 为了合理配置教育资源、优化教师队伍结构、促进城乡教育优质均衡发展，科学编制校长教师交流轮岗到年规划和学年度交流计划，努力办好人民群众“家门口”的好学校省委、省政府高度重视此项工作，省教育厅出台关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的意见，将义务教育教师交流轮岗工作纳入了省委年度重点工作任务某市教育局为切实落实此项政策，安排名校长和名教师到甲、乙、丙三所义务教育学校进行轮岗交流，每所学校安排一名校长，则不同的安排方案种数是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B. 随机变量服从两点分布，则的最大值为
C. 数据，，，，，，，，，的百分位数为
D. 样本相关系数越接近，样本数据的线性相关程度也越强
10. 下列各式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 以“迁马，跑在水美酒乡”为主题的宿迁马拉松，于月日开跑，共有名跑者在
“中国酒都”纵情奔跑，感受宿迁的水韵柔情本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑公里三个项目，每个项目均设置个参赛名额在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑公里三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是( )
A. 若全程马拉松项目必须安排人，其余两项各安排人，则有种不同的分配方案
B. 若每个比赛项目至少安排人，则有种不同的分配方案
C. 安排这人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有种不同的站法
D. 已知这人的身高各不相同，若安排人拍照，前排人，后排人，且后排人中身高最高的站中间，则有种不同的站法
12. 如图，在长方体中，点是底面内的动点，，，，分别为，，，中点，若，，则下列说法正确的是( )
A. 最大值为
B. 四棱锥的体积和表面积均不变
C. 若面，则点轨迹的长为
D. 在棱上存在一点，使得面面
三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）
13. 若某种元件经受住打击测试的概率为，则个此种元件中恰有个经受住打击的概率为______ ．
14. 已知，则的值为______ ．
15. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为若平面的方程为，则平面的一个法向量为______ ．
16. 现有编号为，，，，的个相同的袋子，每个袋中均装有个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有个红球，个白球当时，从编号为的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为______ ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则的值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在展开式中，前项的系数成等差数列．
求：的值；
二项展开式中的有理项．
18. 本小题分
甲、乙进行轮流掷骰子游戏，若出现点数大于得分，出现点数小于或等于得分，两人得分之和大于或等于分时游戏结束，且规定最后掷骰子的人获胜，经过抽签，甲先掷骰子．
求乙掷一次就获胜的概率；
求甲获胜的概率．
19. 本小题分
在四棱柱中，，，，．
当时，试用表示；
证明：，，，四点共面；
判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由．
20. 本小题分
据文化和旅游部数据中心测算，年“五一”假期，全国国内旅游出游合计亿人次，同比增长为迎接暑期旅游高峰的到来，某旅游公司对今年年初推出一项新的旅游产品月份的营业收入万元进行统计，统计数据如表所示：
月份
月收入万元
依据表中给出的数据，建立该项旅游产品月收入万元关于月份的线性回归方程，并预测该项旅游产品今年月份的营业收入是多少万元？
观察表中数据可以看出该产品很受游客欢迎，为了进一步了解喜爱该旅游产品是否与性别有关，工作人员随机调查了名游客，被调查的女性游客人数占，其中喜爱的人数为人，调查到的男性游客中喜爱的人数占．
根据调查情况填写列联表；
根据列联表中数据能否有的把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”？
喜爱 不喜爱 总计
女性人数
男性人数
总计
参考公式及数据：．，其中．
21. 本小题分
近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅年月印发城市燃气管道等老化更新改造实施方案年，为了更具有针对性，某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计这个家庭燃气使用量单位：，得到如下频数分布表第一行是燃气使用量，第二行是频数，并将这一个月燃气使用量超过的家庭定为“超标”家庭．
估计该社区这一个月燃气使用量的平均值；
若该社区这一个月燃气使用量大致服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值精确到，估计该社区中“超标”家庭的户数；
根据原始样本数据，在抽取的个家庭中，这一个月共有个“超标”家庭，市政府决定从这个“超标”家庭中任选个跟踪调查其使用情况设这一个月燃气使用量不小于的家庭个数为，求的分布列和数学期望．
附：若服从正态分布，则，，．
22. 本小题分
如图所示，在中，，，，垂直平分现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图所示的空间几何体折叠后点记作点
求点到面的距离；
求四棱锥外接球的体积；
点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据条件概率公式，即可求得答案．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，是确定性的函数关系，不符合题意；
对于，图中的散点分布在某条直线的附近，两个变量之间具有线性相关关系，符合题意；
对于，图中的散点没有向某条直线的附近集中，两个变量不具有线性相关关系，不符合题意；
对于，图中的散点分布在一条曲线附近，两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中的变量关系，综合可得答案．
本题考查变量间的相关关系，涉及散点图的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，平均数为
，正确；
对于，方差为
，错误；
对于，平均数为
，错误；
对于，方差为
，错误．
故选：．
结合题目进行计算即可．
本题主要考查平均数和方差的计算，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：，是实数，若点，，在同一直线上，
则向量与 共线．
，，
，，，
．
故选：．
三点在同一条直线上，即向量与 共线，利用向量共线定理即可得出．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由一等麦种占，二等麦种占，
用一、二等种子长出的穗含颗以上麦粒的概率分别为，，
则这批种子所结的穗含颗以上麦粒的概率为：
．
故选：．
由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案．
本题考查互斥事件和相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：已知，，，
则、、的关系有两种，要么相互平行，要么相交于一点．
若，则，，故A正确；
若，则与无交点，则与，与无交点，可知，故B正确；
在如图所示的正方体中，
平面为平面，平面为平面，平面为平面，
，与不垂直，故C错误；
若，则，，可得，，又，则，故D正确．
故选：．
由空间中三个平面两两相交，交线要么互相平行，要么相交于一点，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：建立如图的空间坐标系，
正方体的棱长为，点，分别是，中点，
，，，，
则是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，，
，，
令，则，，即，
设二面角的平面角为，则，
则，
则．
故选：．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查二面角的计算，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：安排名校长和名教师到甲、乙、丙三所义务教育学校进行轮岗交流，
每所学校安排一名校长，共中选择，
名教师可以去甲、乙、丙三所义务教育学校中的任意一所，故有种选择，
故共有种选择．
故选：．
每所学校安排一名校长，共种选择，名教师可以去甲、乙、丙三所义务教育学校中的任意一所，故有种选择，再结合分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确；
对于，随机变量服从两点分布，则，当且仅当时等号成立，故D的最大值为，故B正确；
对于，数据，，，，，，，，，，从小到大排列为：，，，，，，，，，，
，故数据，，，，，，，，，的百分位数为，故C错误；
对于，样本相关系数越接近，样本数据的线性相关程度也越强，故D正确．
故选：．
根据残差平方和，即可判断；根据两大分布，即可判断；根据百分位数，即可判断；根据相关系数，即可判断．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当，时，，，故A错误；
对于，，，B正确；
对于，左式，右式，则有左式右式，C正确；
对于，当时，左式，右式，左式右式，D错误．
故选：．
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合数公式，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若全程马拉松项目必须安排人，其余两项各安排人，
则先从人中任选人安排在全程马拉松项目，剩余人在其余两个项目，全排即可，
故不同的方案有种，A正确；
若每个比赛项目至少安排人，
则先将人按”，，”或“，，”形式分成三组，再分配到三个项目上，
故不同的方案有，故B正确；
若甲，乙相邻，可把人看成一个整体，与下的人全排列，有排法，甲、乙两人相邻有排法，
所以共有不同的站法，故C错误；
前排有种站法，后排人中最高的站中间有种站法，
所以共有种不同的站法，D正确．
故选：．
对于，首先对人分组：，，，然后对除全程马拉松项目外的其他项目排列即可；
对于，首先对人分组，然后对个项目进行全排列即可；
对于，运用“捆绑法”将甲、乙看成一个整体，再做全排列即可；
对于，第一步选个人排前排，第二步剩下的个人排后排，其中最高的在中间，只需对另外，进行排列即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，当点与点重合时，，即，所以，
所以，
所以最大值为，故A正确；
对于，因为点到底面的距离为，底面面积为，
所以四棱锥的体积为，是定值；
当点与点重合时，四个侧面都为直角三角形，
所以表面积为，
当点为上底面的中心时，连接，，，，，，，则，，且，，
，
此时表面积为，
所以，故B错误；
对于，取，的中点，，，的中点，，
分别连接，，，，，，，，可得，，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以平面，且，
、平面，所以平面平面，
当时，平面，可得面，则点轨迹为线段，此时，故C正确；
对于，以为原点，，，所在的直线为，，轴建立平面直角坐标系，
所以，，，设，则，
，
设平面的一个法向量为，
所以，令可得，
设平面的一个法向量为，
所以，令可得，
由，解得，满足题意，故D正确．
故选：．
，当点与点重合时，，可得最大值为可判断；利用棱锥的体积公式计算可得四棱锥的体积；当点与点重合、为上底面的中心时，计算出表面积可判断；取，的中点，，，的中点，，利用面面平行的判定定理可得平面平面，可得点轨迹为线段，求出可判断；以为原点，，，所在的直线为，，轴建立平面直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，利用面面垂直的向量求法求出可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，个元件中有个经受住打击的概率为．
故答案为：．
根据次独立重复实验恰好发生次的概率计算公式即可求解．
本题考查概率的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
令，可得．
则的值，即的展开式的各项系数和．
令，可得，
故．
故答案为：．
由题意，令，可得而的值，即的展开式的各项系数和，再令即可．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，平面的方程为，即，
则平面的一个法向量为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，将平面方程变形为，由此分析可得答案．
本题考查平面的法向量，涉及平面的方程，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当，时，袋中有个红球，个白球，
共有个基本事件，
摸到的两个球都是红球有个基本事件，
故摸到的两个球都是红球的概率；
设选出的是第个球，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情况：
白白白，取法数为：，
红白白，取法数为：，
白红白，取法数为：，
红红白，取法数为：，
第三次取出的是白球的总情况数为：
，
则在第个袋子中取出的是白球的概率为：
，
选取第个袋的概率为，
任选袋子取第三个球是白球的概率为：
，
当时，．
故答案为：，．
代入，的值，求出满足条件的概率即可，利用古典概率型，先求出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法法，根据古典概型计算概率，逐一把所有情况累加，能求出总的概率，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由于在展开式中，前项的系数、、成等差数列，
，求得舍去或．
综上可得，．
由于展开式的铜项公式为，
令为整数，可得，，，
故二项展开式中的有理项为，，．
【解析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，等差数列的定义和性质，求得值．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出二项展开式中的有理项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，等差数列的定义和性质，属于基础题．
18.【答案】解：乙要想一次就获胜，则甲得分，乙得分，即甲的点数大于，乙的点数大于，
概率都为，
所以乙掷一次就获胜的概率为；
分两种掷骰子的情况，一种甲、乙、甲，一种甲、乙、甲、乙、甲，
得分为，，或，，或，，，，，
所以甲获胜的概率为．
【解析】乙要想一次就获胜，则甲的点数大于，乙的点数大于；分两种掷骰子的情况，一种甲、乙、甲，一种甲、乙、甲、乙、甲．
本题主要考查古典概率相关性质，属中档题．
19.【答案】解：由三角形相似及几何关系，得；
证明：由三角形相似原理可得，，，，所以，四边形与四边形相似，所以，，，四点共面；
可以，
理由如下：若四棱柱为正四棱柱，则与平行且相等，
所以四边形是平行四边形，平面与平面重合，
又与平行且相等，所以四边形是平行四边形，平面与平面重合，
此时即为平面和平面的交线．
【解析】根据三角形相似原理和向量运算法则进行计算即可；
四边形与地面相似，从而四点共面；
若四棱柱为正四棱柱，则直线为平面和平面的交线．
本题主要考查空间向量和空间几何，相似三角形原理是解决本题的关键点，属中档题．
20.【答案】解：设关于的线性回归方程，
已知，，
，，
所以，
则，
所以，
当时，，
所以关于的线性回归方程为，
预测该项旅游产品今年月份的营业收入是万元；
调查情况列联表为：
喜爱 不喜爱 总计
女性人数
男性人数
总计
提出假设：喜爱该旅游产品与性别没有关系，
根据表中数据可得，
因为，
所以没有把握认为“游客喜爱该旅游产品与性别有关”．
【解析】由题意，设出关于的线性回归方程为，根据统计数据列出等式求出和的值，进而可得，将代入即可求出今年月份的营业收入；
结合信息即可得到列联表；
根据列联表，计算出的值，对照题目中的表格，即可得出结论．
本题考查线性回归方程以及独立性检验，考查了数据分析和运算能力．
21.【答案】解：样本数据各组的中点值分别为，，，，，，，
则，
估计该社区这一个月燃气使用量的平均值．
据题意，，，，则，
估计该社区个家庭中“超标家庭”有个．
由频数分布表知个“超标家庭”有个不小于，有个在内，
则的可能取值有，，，，
，，，，
则的分布列为：
．
【解析】利用组中值可求燃气使用量的平均值；
利用正态分布的对称性结合题设中给出的数据可求该社区中“超标”家庭的户数；
利用超几何分布可求的分布列和数学期望．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
22.【答案】解：：由，，，得，，，
因为垂直平分，所以，，
所以为平面与平面的二面角的平面角，
所以，，所以为等边三角形，
取中点，连接，，所以，，因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
因为，，所以为二面角的平面角，
所以，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
又，
所以点到面的距离；
连接，由，，则四边形的外接圆圆心在的中点，
为正三角形，则外接圆的圆心为的三等分点，
过点圆心，分别作两面垂线，则垂线交点即为球心，
如图所示，连接，则即球的半径．
在中，，，，
则，
中，，
，
所以由勾股定理得，
则球的体积；
，，得，
所以，得，
所以，
设直线与平面所成角为，，
则，
所以当时，取得最大值，
此时直线与平面所成角最大，
即当时，直线与平面所成角最大．
【解析】由已知可证得平面平面，取中点，连接，，则有，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解．
连接，则四边形的外接圆圆心在的中点，外接圆的圆心为的三等分点过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心，连接，求出其长度可得外接球的半径，从而可求出外接球的体积．
由，表示出点的坐标，然后利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案．
本题考查点到面的距离的求法，考查空间几何体外接球的体积的求法，考查线面角的求法，属中档题．
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