资源简介

绝密★启用前
张家口市2022～2023学年第二学期高一期末
数学试题
班级__________ 姓名__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数据68，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位数为（ ）．
A．70 B．75 C．80 D．88
2．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知圆锥的体积为，底面面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划．已知该校高一年级有400人，占全校人数的，高三年级占，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取10％作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中高三年级完成计划的人数为（ ）．
A．80 B．90 C．9 D．8
5．在中，G为的重心，M为上一点，且满足，则（ ）．
A． B．
C． D．
6．在三棱锥中，，，一只蜗牛从B点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点E，则蜗牛爬行的最短距离是（ ）．
A． B． C． D．
7．在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
8．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．实数x，y满足，设，则（ ）．
A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．
C．z的虛部是 D．
10．已知函数，则（ ）．
A．图象的对称中心为，
B．的单调递减区间为，
C．为了得到函数的图象，可将的图象上所有的点向左平移个单位长度
D．为了得到函数的图象，可将的图象上所有的点向右平移个单位长度
11．一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立
C．事件B与事件C相互独立 D．事件B与事件D互斥
12．如图，已知正方体的棱长为1，M是中点，E是线段（包含端点）上任意一点，则（ ）．
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点E，使得直线与平面所成角为
C．在平面内一定存在直线l，使得平面
D．存在点E，使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则__________．
14．已知，则的取值范围是__________．
15．已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________．
16．已知正四面体，O是底面的中心，以为旋转轴，将正四面体旋转后，与原四面体的公共部分的体积为，则正四面体外接球的体积为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为了了解全校学生计算能力的情况，某校组织了一次数学计算能力测验．现对全校学生的测验成绩做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）求此次测验成绩的平均数；
（2）为了更加深入了解学生数学计算能力的情况，从成绩在之间的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样方法，选取7名学生进行访谈，再从这7名学生中任选2名学生在总结大会上发言，求抽到的两人中至少一人的成绩在的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，D，M，N，P分别是，，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设，，求异面直线与所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
如图，在中，为钝角，D在上，且满足，，．
（1）若，求；
（2）若M是的中点，，求的长度．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求；
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
如图，在平行四边形中，，，，将沿折起到，满足．
（1）求证：平面平面；
（2）若在线段上存在点M，使得二面角的大小为，求此时的长度．张家口市2022—2023学年第二学期高一期末
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D B D C A BCD AC ABD AC
1.C 解析:根据百分位数的概念,8×30%=2.4,故第30百分位数为80,故选C.
[命题意图]本题考查百分位数的概念,考查学生对基础知识的掌握.
· ·
2.A 解析:b在a上的投影向量为b a·a b a· 1|a| |a|=|a|2 a=4a
,故选A.
[命题意图]本题考查投影向量的概念,考查学生对基础知识的掌握.
3.B 解析:由圆锥的体积公式V=1Sh,可得23 1 ,解得 ,由圆锥的底面积公式3 3π=3×2π×h h= 3 S=
πr2,可得πr2=2π,解得r=2,所以圆锥的母线长为5,所以S侧=πrl=π×2×5= 10π,故选B.
[命题意图]本题考查了圆锥的体积和底面积、侧面积公式,从数学素养上体现对学生数学抽象和数学运
算素养的考查,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
400 4.D 解析: =1200,1 1200×10%=120
,故样本容量为120,其中高三年级有120×1=20人,由图可知,6
3
样本中高三年级假期学习计划的完成率为40%,故样本中高三年级完成计划的人数为20×40%=8,故
选D.
[命题意图]本题考查了分层随机抽样,从数学素养上体现对学生逻辑推理和数据分析素养的考查,考查
学生的运算求解能力.
5.B 解析:由题意,画出几何图形如图所示,则GM→=G→A+AM→,∵G 为△ABC 的重心,M 满足M→C=
3AM→,∴A→G=2 1(→3×2 AB+A
→C)=1(→ →), → 1 →, → 1(→ →3 AB+AC AM=4AC ∴GM=-3 AB+AC
)+14A
→C=
-1A→B-1A→C,故选3 12 B.
[命题意图]本题考查了平面向量的线性运算,从数学素养上体现对学生逻辑推理和数学运算素养的考
查,考查学生的运算求解能力.
6.D 解析:如图所示,将三棱锥的侧面展开,则∠EAB=120°,AB=2,AE=1,由余弦定理可得BE2=AB2+
AE2-2AB·AE·cos∠BAE=4+1-2×2×1× -12 =7,则BE=7,故选D.
[命题意图]本题考查了三棱锥侧面展开图和余弦定理,从数学素养上体现对学生直观想象和数学运算素
养的考查,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
高一数学答案 第 1页(共6页)
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7.C 解析:取A1B1的中点N,A1D1 的中点M,连接AM,AN,MN,由正方体的性质可得AN∥DP,AN
平面BDPQ,DP 平面BDPQ,∴AN∥平面BDPQ,同理可得AM∥平面BDPQ,又AN∩AM=A,∴平面
AMN∥平面BDPQ,即平面AMN 为平面α.在△AMN 中,AM=AN= 5,MN= 2,则MN 上的高为
5-1=32,∴S 1 32 32 2 △AMN= × ×2=
,故选
2 2 2 C.
[命题意图]本题考查了正方体中的面面平行及截面面积,从数学素养上体现对学生直观想象和数学运算
素养的考查,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
2 2
( )
8.A 解析:∵sinB-3cosC= 3c-a ,∴2absinB-23abcosC=3c2-3a2,∴2absinB=3c22ab -
3a2+23abcosC=3(c2-a2+2abcosC)=3(c2-a2+a2+b2-c2),即2absinB=3b2,∴2sinAsin2B=
( )
3sin2B,∴sinA= 3.∵A∈ ,π , π, 1, b sinB sinA+C0 2 2 ∴A=3 ∴cosA=2 ∴c =sinC= sinC =
sinAcosC+cosAsinC 3 1 π
,
sinC =2tanC+2.∵A=3 B∈ 0,π , 2π2 ∴3-C∈ 0,π ,2 ∴C∈ π,π ,6 2
∴tanC∈ 3, 1 b 13 +∞ ,∴ tanC∈ 0,3 ,∴ , ,故选c∈ 22 A.
[命题意图]本题考查了正余弦定理及三角函数的取值范围,从数学素养上体现对学生数学运算素养的考
查,考查学生的综合分析和运算求解能力.
:( ) ( x-y=2
, x=1,
9.BCD 解析 1+ix+i-1)y=(x-y)+(x+y)i=2,则 解得 即z=1-i.z在复x+y=0, y=-1,
平面内对应的点的坐标为(1,-1),在第四象限,故A错误;|z|= 12+(-1)2=2,故B正确;z的虚部
为-1,故C正确;z
(
=1+i,z 1-i 1-i
)(1-i) -2i ,
=1+i=(1+i)(1-i)= 2 =-i
故D正确,故选BCD.
z
[命题意图]本题考查了复数的运算及共轭复数,从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学
生的运算求解能力.
10.AC 解析:令2x-π=π+kπ,k∈Z,解得x=5π+kπ,k∈Z,故f(x)图象的对称中心为 5π+kπ,3 2 12 2 12 2 0 ,
k∈Z,故A正确;令2kπ<2x-π , ,解得π 2π , ,故3<π+2kπk∈Z 6+kπ(x)的单调递
减区间为 π π6+kπ,2π3+kπ ,k∈Z,故B错误;将f(x)的图象上所有的点向左平移 个单位长度可得6
y=4cos 2 x+π -π =4cos2x,故C正确;将f(x)的图象上所有的点向右平移π个单位长度可得 6 3 6
y=4cos 2 x π-π - =4cos 2x-2π ≠4sin2x,故D错误,故选 6 3 3 AC.
[命题意图]本题考查了三角函数的图象变换、对称中心和单调区间,从数学素养上体现对学生的逻辑推
理和数学运算素养的考查,考查学生整体思想和运算能力.
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11.ABD 解析:根据题意可知,6个小球任意取出两个球,共有15种可能,分别为(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).事件A 包含3种可
能,即(1,3),(2,4),(5,6),∴P(A)=3=1;事件B 包含5种可能,即(1,15 5 2
),(2,3),(3,4),(4,5),
(5,6),∴P(B)=515=
1;事件C 包含5种可能,即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3 3
,4),∴P(C)=515=
1;事件D 包含1种可能,即(1,5),∴P(D)=1.事件AB,AC,BC 分别为(5,6),(2,4),(3,4)各3 15 1
种
可能,P(AB)=1=P(A)P(B),P(AC)=1=P(A)P(C),P(BC)=1≠P(B)P(C),故A, 正确,15 15 15 B
C错误,事件B 与事件D 不能同时发生,故事件B 与事件D 互斥,D正确,故选ABD.
[命题意图]本题考查了独立事件与互斥事件的判断,从数学素养上体现对学生的逻辑推理素养的考查,
考查学生理解概念的能力.
12.AC 解析:VB-AME=V
1 1 1
E-ABM= × ×1= ,故A正确;过3 2 6 E
作EF⊥AC,垂足为F,连接BF,则
∠EBF 为直线BE 与平面ABCD 所成角,tan∠EBF=EF,又BF EF CC1
,∴EF=1,BF∈ 2,1 ,故 2
tan∠EBF∈[1,2],tan30°= 33
[1,2],故B错误;平面AEM 与平面BCC1B1 相交,在平面
BCC1B1内一定存在直线l与交线平行,则l∥平面AEM,故C正确;BD1⊥平面ACB1,假设BD1⊥平
面AME,则平面AME 与平面ACB1重合,假设不成立,故D错误,故选AC.
[命题意图]本题考查了线面平行、线面垂直、线面角、棱锥的体积,从数学素养上体现对学生的直观想象
和逻辑推理素养的考查,考查学生的数形结合能力.
13.1 解析:事件A,B,C之间是互斥的,且是一枚骰子抛掷三次的所有结果,所以P(A)+P(B)+P(C)=1.
[命题意图]本题考查了互斥事件的概率和,从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查.
14.[5-2,5+2] 解析:|z-2+i|表示复平面内,复数z所对应的点与点(2,-1)的距离,故z所对应的
点在以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆上,则 z 的最小值为5-2,最大值为5+2,故 z 的取值范围
是[5-2,5+2].
[命题意图]本题考查了复数的运算及几何意义,从数学素养上体现对学生的直观想象和数学运算素养
的考查,考查学生数形结合与数学运算的能力.
15. 11,15 解析:x∈[0,π],则 4 4 ωx+π∈ π,4 4ωπ+π ,函数f(x)在区间[4 0,π]上恰有三个零点,则
3π≤ωπ+π<4π,即11≤ω<15,所以ω的取值范围为 11,154 4 4 4 4 .
[命题意图]本题考查了三角函数的零点问题,从数学素养上体现对学生的直观想象和数学运算素养的
考查,考查学生整体思想的运用与数学运算能力.
高一数学答案 第 3页(共6页)
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16.276π 解析:以OA 为旋转轴,将正四面体旋转180°后,公共部分为六棱锥,设正四面体的棱长为a,则8
高h为6a,公共部分六棱锥的底面正六边形的边长为a,∴S =6×1×a a 3 33 3 正六边形 2 3×3×2=6a
2,
∴V =1× 3a2× 6a= 2a3=32公共部分 ,3 6 3 18 2 ∴a=3
,正四面体外接球半径为3 3 6 36,
4h=4×3×3= 4
∴V =4
3
π· 36 =276球 3 8 π.4
[命题意图]本题考查了空间几何体的旋转、棱锥的体积和正四面体的外接球,从数学素养上体现对学生
的直观想象和数学运算素养的考查,考查学生空间想象与数学运算的能力.
17.解:(1)∵a∥b,a=(-1,2),b=(2,λ),∴(-1)×λ-4=0,∴λ=-4,…………………………… (2分)
∴b=(2,-4),∴|b|= 22+(-4)2=25.………………………………………………………… (4分)
(2)∵|a-b|=|a+b|,∴a⊥b,∴a·b=-2+2λ=0,∴λ=1. ………………………………… (6分)
(3)∵a与b的夹角是钝角,∴a·b<0,且a与b不反向共线.…………………………………… (8分)
即a·b=-2+2λ<0,由(1)可知λ≠-4,
则λ<1,且λ≠-4,故实数λ的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,1). …………………………… (10分)
[命题意图]本题考查了向量平行、垂直的坐标运算及夹角问题,从数学素养上体现对学生数学运算素养
的考查,考查学生的运算求解能力.
18.解:(1)由题意得(0.005+2a+0.035+0.01)×10=1,可得a=0.025,…………………………… (2分)
[0.005×55+0.025×(65+85)+0.035×75+0.01×95]×10=76.
所以,此次测验成绩的平均数为76分. ……………………………………………………………… (5分)
(2)由(1)知,成绩在 80,90 与 90,100 的样本比例为5∶2,……………………………………… (6分)
所以7名学生中有5名成绩在 80,90 ,2名成绩在 90,100 ,
若 80,90 中5人分别为a,b,c,d,e, 90,100 中2人分别为x,y,
则从中抽取2人的所有组合为
{ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,ex,ey,xy},有21种情况,………
……………………………………………………………………………………………………… (8分)
两人中至少一人的成绩在 90,100 的有{xy,ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,ex,ey},11种情况, ……
……………………………………………………………………………………………………… (10分)
所以抽到的两人中至少一人的成绩在 90,100 的概率为
11. …………………………………… (21 12
分)
[命题意图]本题考查了平均数、古典概型的求法,考查频率分布直方图的性质,从数学素养上体现对学
生数据分析和数学运算素养的考查,考查学生的运算求解能力.
19.解:(1)证明:连接AP,设AP∩MC=O,连接DO,
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,M,P 分别是AA1,CC1 的中点,
所以四边形MACP 是矩形,所以O 是AP 的中点,
因为D 是AB 的中点,所以OD∥BP, ……………………………………………………………… (3分)
又因为BP 平面MDC,OD 平面MDC,所以BP∥平面MDC.………………………………… (5分)
(2)因为N,P 分别是BB1,CC1 的中点,所以C1P NB,所以四边形BPC1N 是平行四边形,
所以NC1∥BP,所以NC1∥OD,所以∠MOD 或其补角是异面直线C1N 与CM 所成角,……… (7分)
因为AB=AC=CB=2,BB1=4,所以BP=CM=22,DM=5,
高一数学答案 第 4页(共6页)
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所以,在△OMD 中,OD=OM=2,DM=5,所以cos∠MOD= 2+2-5 =-1,………… (10分)
2×2×2 4
所以异面直线C1N 与CM 所成角的余弦值为
1.………………………………………………… (12分)4
[命题意图]本题考查了直线与平面平行的证明和异面直线所成角的求解,从数学素养上体现对学生直
观想象、逻辑推理和数学运算素养的考查,考查学生的数形结合、推理论证和运算求解能力.
20.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理可得 AB BC ,sinC=sin∠BAC
1
∴sin∠BAC=BCsinC
33×
= 2= 3,…………………………………………………………… (AB 3 2 3
分)
∵∠BAC 为钝角,∴∠BAC=2π,∴∠BAD=π. ………………………………………………… (3 2 5
分)
(2)在△ABC 中,由余弦定理可得27=9+AC2-2×3×AC× -1 ,解得AC=4,…………… ( 分)12 8
∵M 为BC 中点,则AM→=1(→ →),2 AB+AC
∴AM→2=1(A→B2+A→24 C +2|A
→B|·|A→C|cos∠BAC)=23,……………………………………… (4 11
分)
∴|AM→|= 23,即2 AM
的长度为 23. …………………………………………………………… (2 12
分)
[命题意图]本题考查了正弦定理和余弦定理及向量的计算,从数学素养上体现对学生数学运算素养的
考查,考查学生的运算求解能力.
21.解:(1)f(x)=4sin
x
2cos x+π2 3 +3=2sinx x 2x2cos2-23sin 2+3
=sinx-3 1-cosx +3=sinx+3cosx
=2sin x+π ,………………………………………………………………………………………… (3分)3
若f(α)=2sin α+π3 =1,则sin α π =1+ ,…………………………………………………… (4分)3 3 6
所以cos α+5π =cos α+π +π =-sin α+π =-1.…………………………………… (6 3 2 3 6 5分)
(2)令t=f(x),x∈ -π,π ,因为x∈ -π,π ,所以x+
π∈ π,2π ,所以 6 3 6 3 3 6 3 sin x+π3 ∈
1,1 ,所以t∈[1,2], ……………………………………………………………………………… (7分) 2
所以|f2(x)-λ|≤f(x)+2 |t2-λ|≤t+2 -t-2≤t2-λ≤t+2对任意的t∈[1,2]恒成立,……
……………………………………………………………………………………………………… (8分)
λ≤t2+t+2, λ≤(t2+t+2)min,
即 对任意的t∈[1,2]恒成立, t∈[1,2], …………………… (10分)λ≥t2-t-2, λ≥(t2-t-2)max,
因此 λ≤4,λ≥0,
所以λ的取值范围为[0,4].………………………………………………………………………… (12分)
高一数学答案 第 5页(共6页)
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[命题意图]本题考查了三角函数恒等变换及恒成立问题,从数学素养上体现对学生的逻辑推理和数学
运算素养的考查,考查学生的转化化归和运算求解能力.
22.解:(1)证明:∵∠A=60°,AD=2,AB=4,由余弦定理得BD=23,
∴AD2+BD2=AB2,∴BD⊥AD,即BD⊥A'D, ………………………………………………… (1分)
∵A'D=2,CD=4,A'C=25,∴A'D2+CD2=A'C2,∴CD⊥A'D, …………………………… (2分)
∵BD,CD 平面BCD,BD∩CD=D,∴A'D⊥平面BCD,……………………………………… (4分)
∵A'D 平面A'BD,∴平面A'BD⊥平面BCD.…………………………………………………… (5分)
(2)过M 作ME∥A'D 交DC 于E,过E 作EO∥BC 交DB 于O,连接MO, …………………… (7分)
由(1)可知ME⊥平面BCD,OE⊥BD,
∵BD 平面BCD,∴ME⊥BD,
∵ME 平面MOE,OE 平面MOE,OE∩ME=E,∴BD⊥平面MOE.
∵OM 平面MOE,∴OM⊥BD,∴∠EOM 为二面角M-BD-C 的平面角,……………………… (9分)
∴∠EOM=60°,∴MEOE=3
,∴ME=3OE.
由题知CE=ME=CM, ,DE OE, ,CD A'D A'C ∴CE=2ME DC=BC ∴DE=2OE
由于CE+DE=2(ME+OE)=4,∴ME+OE=2,∴(3+1)OE=2,
∴OE=3-1,∴ME=3-3,……………………………………………………………………… (11分)
∴3-32 =
CM,∴CM=35- 15,
25
∴此时CM 的长度为35- 15.…………………………………………………………………… (12分)
[命题意图]本题考查了面面垂直的证明和二面角的应用,从数学素养上体现对学生的逻辑推理、直观想
象和数学运算素养的考查,考查学生的推理论证、数形结合和运算求解能力.
高一数学答案 第 6页(共6页)
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