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2022-2023学年北京市朝阳区七年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 如图，过点作线段 的垂线，垂足在( )
A. 线段上 B. 线段的延长线上
C. 线段的反向延长线上 D. 直线外
2. 在平面直角坐标系中，点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列说法正确的是( )
A. 无限小数都是无理数
B. 无理数都是无限小数
C. 带根号的数都是无理数
D. 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数
4. 把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，直线相交于点， 平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 某个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，下列判断正确的是( )
A. 这个不等式有最大整数解，是 B. 这个不等式有最大整数解，是
C. 这个不等式有最小整数解，是 D. 这个不等式有最小整数解，是
7. 国家节水行动方案由国家发改委、水利部于年月日印发并实施，方案中提出，到年，全国用水总量控制在亿立方米以内．小明根据国家就计局公布的年全国用水总量单位：亿立方米的有关数据给制了如下统计图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势．

根据统计图信息，下列推断不合理的是( )
A. 国家节水行动方案确定的年节点目标已完成
B. 年全国用水总量呈下降趋势
C. 根据年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米
D. 根据年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米
8. 如图，把一个周长为定值的长方形长小于宽的倍分割为五个四边形，其中是正方形，周长记为，和是完全一样的长方形，周长记为，和是完全一样的正方形，周长记为，下列为定值的是( )
A. B. C. D. ，，
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 我国于年开展了第七次全国人口普查，这是一次 调查填“全面”或“抽样”．
10. 的平方根是 ．
11. 写出二元一次方程的一个解： ．
12. 与的和不小于，用不等式表示为： ．
13. 比较两数的大小：
14. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标如图所示，三角形的面积为 ．
15. 可以用一个的值说明命题“正数一定大于它的算术平方根”是假命题，这个值可以是 ．
16. 在平面直角坐标系中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行或垂直于坐标轴的直线平移个单位长度，称为该点走了步．点，，各走了若干步后到达同一点，当点的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共52分）
17. 计算：．
18. 解方程组：
19. 解不等式，并在数轴上表示解集．
20. 解不等式组
21. 完成下面的证明．
已知：如图，直线，，被直线所截，，求证：．

证明：，
____________．
，
____________．
______．
22. 列方程组解应用题：
活动课上小明想用天平称量甲、乙两类型小球的质量，但只有一个克的砝码，反复试验后，他发现以下两种情况，天平左右平衡．
天平左边 天平右边 天平状态
记录一 个甲类型小球，个克砝码 个乙类型小球 平衡
记录二 个甲类型小球 个乙类型小球，个克砝码 平衡
已知每个同类型小球的质量都相同，请求出个甲类型小球和个乙类型小球的质量分别是多少克．
23. 在同一平面内有条互不重合的直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系．画出三种不同的示意图，并指出其中互相平行的直线
24. 为了参加全校各年级之间的广播操比赛，七年级准备从名同学中挑选身高差不多的名同学参加比赛．为此收集到这名同学的身高单位：，并绘制了频数分布表和频数分布直方图．
身高分组 频数
根据以上信息，解答下列问题：
请根据题中已有信息写出的值，并补全频数分布直方图；
此绘制选择的组距为______；
体育委员认为依据此频数分布直方图不能很好地解决这个问题，请你分析他的理由，并写出如何调整可能会更好．
25. 在三角形中，，将线段 沿直线 平移得到线段 点与点对应，且不与点，重合，连接 ，和的平分线所在直线相交于点点不与点，重合．

如图，，
依题意补全图；
求的度数；
若，直接写出的度数．用含的式子表示
26. 在平面直角坐标系中，对于不共线的三个点给出如下定义：若这三个点都落在同一个正方形的边上，且这个正方形的边分别与两条坐标轴平行或垂直，则这个正方形边长的最小值称为这三个点的外方距．已知点．
点，，的外方距为______；
以下三个点中存在外方距的是______；只填序号
，， ，， ，，
，若点，，的外方距为，直接写出，需要满足的条件．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】根据作垂线后垂足的位置直接判断即可．
【详解】解：如图所示，垂足在线段的延长线上；
故选：．

【点睛】本题考查了对线段的延长线和反向延长线等概念的认识，涉及到了作垂线，解题关键是掌握相关概念．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：因为点的横坐标为正，纵坐标为负，
所以点在第四象限，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】利用实数的性质及相关定义判断即可．
【详解】无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，此项错误；
B.无理数是无限不循环小数，故此项说法正确；
C.带根号的最简根式是无理数，故此项说法错误；
D.数轴上的点既可表示有理数也可以表示无理数，此项说法错误；
故选：．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解答的关键是了解实数的有关性质与定义．

4.【答案】
【解析】
【分析】利用等式的性质即可求解．
【详解】解：，
，故 A选项正确；
故选：．
【点睛】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，解题关键是掌握等式的性质．

5.【答案】
【解析】
【分析】首先根据角平分线的定义可知，然后由对顶角的性质可知．
【详解】解：平分，
由对顶角相等可知：
．
故选：．
【点睛】本题主要考查的是对顶角的性质和角平分线的定义，掌握对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键．

6.【答案】
【解析】
【分析】根据数轴表示的解集依次判断即可．
【详解】解：由数轴知，
这个不等式有最小整数解为 ，
故选：．
【点睛】本题考查了用数轴表示不等式的解集，以及通过不等式的解集获取信息，解题关键是掌握解集的表示．

7.【答案】
【解析】
【分析】先根据统计图依次判断各选项，再选出推断不合理的即可．
【详解】解：根据统计图可以推断、、选项的判断都是正确的；
如图，由变化趋势可知，年全国用水总量的发展趋势，估计年全国用水总量约为亿立方米，
故C选项推断不合理，
故选：．

【点睛】本题考查了根据统计图得出结论或推断发展趋势，解题关键是正确理解与分析统计图，得出正确的信息．

8.【答案】
【解析】
【分析】设和的宽为，长为，和的边长为，然后根据大长方形的周长为定值，列式得到是定值，然后根据是正方形，得到，解得，进而求解即可．
【详解】如图所示，设和的宽为，长为，和的边长为，
大长方形的周长为定值，
是定值，
是定值，
是正方形，
，解得，
是定值，
和的周长是定值；
是定值，
和的周长是定值．
根据题意无法判断的值，
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形和长方形的周长、线段的相关运算等知识，整式的加减运算，理解题意，结合图形分析是解题关键．

9.【答案】全面
【解析】
【分析】根据抽样调查和全面调查的概念求解即可．
【详解】我国于年开展了第七次全国人口普查，这是一次全面调查．
故答案为：全面．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，解题的关键是熟练掌握抽样调查和全面调查的概念．选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

10.【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：，
的平方根是．
故答案为．
【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．

11.【答案】 答案不唯一
【解析】
【分析】设等于某个已知数求出，即可确定出解．
【详解】解
当时，，
则方程的解为
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是设等于某个已知数求出．

12.【答案】
【解析】
【分析】直接根据不等关系列出不等式即可．
【详解】解：由题意，可知该不等关系为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了列不等式，解题关键是掌握不小于即为“”

13.【答案】
【解析】
【分析】先将两数都写成算术平方根的形式，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的大小比较．

14.【答案】
【解析】
【分析】根据点和点的坐标，求出 的长度和 边上的高，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】，
，中 边上的高为，
三角形 的面积．
故答案为：．
【点睛】此题考查了坐标与图形，求三角形面积公式，解题的关键是根据题意求出 的长度和 边上的高．

15.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】由算术平方根的性质得出是假命题，即可得出结论．
【详解】解：可以用一个的值说明命题“正数一定大于它的算术平方根”是假命题，
这个值可以是，的算术平方根是，和它本身相等，
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查了命题与定理、真命题与假命题，算术平方根的性质，正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．

16.【答案】

【解析】
【分析】根据网格的特点求解即可．
【详解】如图所示，

当点的坐标为时，
点先向上走步，再向右走，
点向下走步，点向左走步，
此时三个点的步数和最小，为步．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了坐标与图形，点的平移，解题的关键是熟练掌握网格的特点．

17.【答案】解：原式

【解析】
【分析】原式利用立方根的定义，以及绝对值性质化简即可得到结果；
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】解：
整理得，
得，
解得，
将代入得：
解得：
方程组的解为：．

【解析】
【分析】方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．

19.【答案】解：，
，
，
．
解集在数轴上表示如图所示：


【解析】
【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题关键是牢记不等式的性质，并会在数轴上表示解集．

20.【答案】解：
解不等式得，；
解不等式得，；
所以，原不等式组无解．

【解析】
【分析】分别解两个不等式后，利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组一般步骤及方法是关键．

21.【答案】证明：，
同旁内角互补，两直线平行．
，
同位角相等，两直线平行．
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

【解析】
【分析】根据平行线的判定即可正确求解．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．

22.【答案】解：设个甲类型小球的质量是克，个乙类型小球的质量是克，
根据题意可得，
，解得
个甲类型小球的质量是克，个乙类型小球的质量是克．

【解析】
【分析】设个甲类型小球的质量是克，个乙类型小球的质量是克，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．

23.【答案】解：如图所示，

，；
如图所示，

，；
如图所示，

，．

【解析】
【分析】根据平行线的概念和直线的交点画出图形即可．
【点睛】此题考查了平行线的概念和直线的交点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

24.【答案】解：人，作图如下；
；
身高为的人数最多，为人，
而身高为 和 的人数一样多，都为人，
该图不能清晰的得出身高差不多的名同学的身高分布，
此频数分布直方图不能很好地解决这个问题，
调整方案：应重新分组，组距为或，这样可以保证中间数据尽可能的集中，更容易确定身高差不多的名同学的身高分布．

【解析】
【分析】直接把总人数减去其余身高段的人数即可求出，根据该身高段的人数即可补全图形；
根据组距的定义，将最大值减去最小值的整数部分加即可求解；
根据频数分布直方图的信息进行判断和按照画图要求重新设计即可．
【详解】见答案
；
故答案为．
见答案．
【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，解题关键是掌握这两种统计方式，从中获取关键信息，并能对一组数据进行设计，用不同的组距和组数得出不同的图表，获取所需要的信息．

25.【答案】如图所示，

如图所示，过点作

将线段 沿直线 平移得到线段
和的平分线所在直线相交于点
，
，
；

【解析】
【分析】根据题意补全图形即可；
过点作，根据平行线的性质得到，，然后利用角平分线的性质得到，，最后利用平行线的性质求解即可；
同的方法求解即可．
【详解】见答案；
如图所示，过点作

将线段 沿直线 平移得到线段
和的平分线所在直线相交于点
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

26.【答案】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．

【解析】
【分析】根据题意和三个点的坐标可直接得到答案；
根据题意和三个点的坐标可选出答案；
根据点，，的外方距为，点、两点的坐标已知，可以画出满足题意的正方形，即可得到，需要满足的条件．
【详解】解：如图所示，边长为的正方形符合题意，故点，，的外方距为，
故答案为：
如图所示，只有，，存在外方距，外方距为，
故选：
点，，的外方距为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可知，需要满足的条件是当时，；
当时，；当时，；当时，．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中新定义问题，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标规律和数形结合是解题的关键．

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