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1.4充分条件与必要条件(导学案)
【学习目标】
1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)
2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)
【自主学习】
知识点一　命题
命题：用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句.
命题的真假：判断为真的语句是 ；判断为假的语句是 .
注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题.
命题的形式：可写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.
其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.
问题1：下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）3≥3．
（2）3能被2整除吗？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（4）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.
（5）若，则x=1.
知识点二　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
知识点三　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
注意：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．
若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”．
(3)对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．
①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．
知识点四　充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A B p是q的充分条件；q是p的必要条件
B A q是p的充分条件；p是q的必要条件
知识点五　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件．
【经典例题】
考点一 充分条件、必要条件的判断
角度1 定义法
例1“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练】
1、“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2、 俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．无法判断
角度2 集合法
例2 “ 0< x <2”成立是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【跟踪训练】设集合，集合，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
角度3 递推法
例3 已知是的必要不充分条件，s是的充分且必要条件，那么s是成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练】
设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法总结】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法：
定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p ”的真假．
集合法：利用集合的包含关系判断．
等价法：利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
考点二 充分、必要条件的选择
例4（多选）（2023高一限时训练）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1、使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2、（2023黑龙江大庆外国语学校高一考试）“”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
考点三 根据充分条件求参数取值范围
例5 （2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【跟踪训练】已知集合，或．
当时，求；
若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【方法总结】 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：
根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
考点四 充要条件的证明
例6求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是
【方法总结】
1．根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．
一般地，证明“p成立的充要条件为q ”；
充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
2．在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性( )，也可以直接证明充要性．

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