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2023年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
2. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图所示的几何体的俯视图可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，可列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点处测得灯塔最高点的仰角，再沿方向前进至处测得最高点的仰角，，则灯塔的高度大约是结果精确到，参考数据：，( )
A. B. C. D.
9. 已知直角三角形的三边，，满足，分别以，，为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则( )
A.
B.
C.
D. ，大小无法确定
10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. B.
C. 且 D. 且
11. 在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
12. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到人们借助于这样的方法，得到是正整数有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，，，，，，且，是整数记，如，即，，即，，即，，以此类推则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：______．
14. 若点在第四象限，则的取值范围是______ ．
15. 已知反比例函数且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的值______ ．
16. 如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，交边，于点，，过点作交于点，连接，，下列结论：
；
四边形的面积不变；
当：：时，；
的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
化简：；
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
年月日至日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动小组在甲，乙两个小区各随机抽取户居民，统计其月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区月份用水量频数分布表
用水量 频数户
信息二：甲、乙两小区月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数
中位数
信息三：乙小区月份用水量在第三组的数据为：
，，，，，，，，，
根据以上信息，回答下列问题：
______ ；
在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，估计两个小区月份用水量不低于的总户数；
因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取名同学加入小组，已知小组有名男生和名女生，小组有名男生和名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
19. 本小题分
如图，平行四边形中，点是对角线上一点，连接，，且．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
20. 本小题分
要制作个，两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图现有张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图切割、拼接等板材损耗忽略不计．
设制作种木盒个，则制作种木盒______ 个；
若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材______ 张；
该张木板材恰好能做成个和两种规格的无盖木盒，请分别求出，木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本元，用乙种切割方式的木板材每张成本元根据市场调研，种木盒的销售单价定为元，种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于元，不超过元在的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
21. 本小题分
在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆请应用此结论，解决以下问题：
如图，中，，点是边上的一动点点不与，重合，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接．
求证：，，，四点共圆；
如图，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心与点距离的最小值．
22. 本小题分
在平面直角坐标系内，抛物线交轴于点，过点作轴的平行线交该抛物线于点．
求点，的坐标；
当时，如图，该抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，点为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交轴于点，求点的坐标；
坐标平面内有两点，，以线段为边向上作正方形．
若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
根据有理数的减法法则进行计算可得结果．
此题主要是考查了有理数的减法法则，能够熟练运用减去一个数等于加上这个数的相反数是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意原；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
又，
．
故选：．
利用平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，比较简单．
6.【答案】
【解析】解：，所以运算错误；
B.，所以运算正确；
C.，所以运算错误；
D.与不是同类项，所以不能合并计算，所以运算错误．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果．
此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据鸡的价钱不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
灯塔的高度大约是，
故选：．
根据题意可得：，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：直角三角形的三边，，满足，
该直角三角形的斜边为，
，
，
，
，
，
故选：．
由直角三角形的三边，，满足，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为，则，所以，则，而，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为，，的直角三角形的斜边为是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
去分母得，，
整理得，，
解得，，
分式方程的解为正数，
且，
且．
故选：．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
抛物线开口向上，
，
，
点，，在该抛物线上，
，，的大小关系为：．
故选：．
根据已知可得，所以抛物线开口向上，再根据，得，再由点，，在该抛物线上，即可得，，的大小关系．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：第圈有个点，即，这时；
第圈有个点，即到，这时；
第圈有个点，即到，这时；
，
依次类推，第圈，（2n-1）；
由规律可知：是在第圈上，且，则，即，故A选项不正确；
是在第圈上，且，即，故选项B正确；
第圈，（2n-1），所以（2n-1），故C，选项不正确；
故选：．
利用图形寻找规律（2n-1），再利用规律解题即可．
本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
根据第四象限点的坐标特征可得，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：令，
整理得，
反比例函数且的图象与一次函数的图象两个交点横坐标为、，
，
，
，
，
满足条件的值为答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
令，根据函数与方程的关系、由根与系数的关系得到，由，得到，即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，根与系数的关系，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，要使，需要，而不一定是的中点，
故是错误的；
如图：延长交于，
在矩形中，，
，，
，
，
，
∽，
，即：，
解得：，，
四边形的面积为：，
故是正确的；
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故是正确的；
，
当最小时，的值最小，
作、关于、的对称点，，如图：
把图的移到图的，使得，连接，
则就是的最小值，
，
即的最小值是，
故是正确的，
故答案为：．

根据等腰三角形的性质判定；
先根据三角形相似的性质求出对角线的长，再根据面积等于对角线乘积的一半求出面积；
根据相似三角形的的面积比等于相似比的平方求解；
先根据轴对称确定最小值，再根据勾股定理求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质、最短路径及矩形的性质，添加辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：
；
，
当时，原式
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由统计图知，乙小区月份用水量小于的户，
乙小区月份用水量在第三组的数据为：，，，，，，，，，，
第个数据为，第个数据为，
，
故答案为：；
甲小区平均用水量为，低于平均用水量的户数为户，
，
乙小区平均用水量为，低于平均用水量的户数为户，
，
；
户，
两个小区月份用水量不低于的总户数为；
根据题意列表得：
男 男 男 女
男 男，男 男，男 男，男 女，男
男 男，男 男，男 男，男 女，男
女 男，女 男，女 男，女 女，女
女 男，女 男，女 男，女 女，女
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生有种，
所抽取的两名同学都是男生的概率是．
根据中位数概念可求得的值；
求出，的值，比较可得答案；
用样本估计总体的方法，列式计算即可；
列表求出所有等可能的情况，再由概率公式计算．
本题考查统计图，统计表的应用，解题的关键是掌握用列表法求出所有的结果数．
19.【答案】证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是菱形；
解：在中，，
设，，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
四边形的面积．
【解析】连接交于，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论；
解直角三角形得到，，根据菱形的性质得到，，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：要制作个，两种规格的顶部无盖木盒，制作种木盒个，
故制作种木盒个；
有张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材张，
故使用乙种方式切割的木板材张；
故答案为：，；
使用甲种方式切割的木板材张，则可切割出个长、宽均为的木板，
使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；
设制作种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，
制作种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；
故，
解得：，
故制作种木盒个，制作种木盒个，
使用甲种方式切割的木板张，使用乙种方式切割的木板材张，
用甲种切割方式的木板材每张成本元，用乙种切割方式的木板材每张成本元，且使用甲种方式切割的木板张，使用乙种方式切割的木板材张，
故总成本为元；
两种木盒的销售单价均不能低于元，不超过元，
，
解得：，
设利润为元，则，
整理得：，
，
随的增大而增大，
故当时，有最大值，最大值为元，
则此时种木盒的销售单价定为元，
即种木盒的销售单价定为元，种木盒的销售单价定为元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为元．
根据题意即可求解；
根据题意可得，制作一个种木盒需要长、宽均为的木板个，制作一个种木盒需要长、宽均为的木板个，长为、宽为的木板个；甲种方式可切割长、宽均为的木板个，乙种方式可切割长为、宽为的木板个；列关系式求解即可；
先根据中数据求得总成本金额，根据利润售价成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．
21.【答案】证明：由旋转的性质可得，，
，
，即，
又，
≌，
，
，
，
、、、四点共圆；
证明：如图所示，连接，，
，，
，
是四边形的外接圆，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线；
解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交、于、，连接，，如图：
，，
，
点是边的中点，
，，
，，
在中，，
，
是四边形的外接圆，
点一定在的垂直平分线上，
点在直线上，
当时，有最小值，
，
在中，，
圆心与点距离的最小值为．
【解析】根据旋转的性质得到，，证明，进而证明≌，可以得到，由，可得，即可证明、、、四点共圆；
连接，，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，可证明是的切线；
作线段的垂直平分线，分别交、于、，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：在中，当时，，
，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
过点作轴的平行线交该抛物线于点，
、关于抛物线对称轴对称，
；
当时，抛物线解析式为，
当时，，
解得或，
，
如图，设上与点关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得：，，
，
，
，
，
解得或舍去，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
；
当时，抛物线解析式为，，，
，
，，
当时，，
抛物线恰好经过；
抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过，
点为抛物线与正方形的一个交点，
又点与点重合，
抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；
如图，当抛物线与、分别交于、时，
当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为，
点的纵坐标为，
，
，
解得舍去或；
如图，当抛物线与、分别交于、，
当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为，
，
解得舍去，因为此时点在点下方
如图，当抛物线与、分别交于、，
当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为，
，
解得或舍去；
当时，，
当时，，
不符合题意；
综上所述，．
【解析】求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知、关于抛物线对称轴对称，即可求出点的坐标；
先求出，设上与点关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，，利用勾股定理建立方程组可解得或舍去，则，求出直线的解析式为，然后联立解析式可求得的坐标；
分三种情况，利用到轴的距离之差即为纵坐标之差，结合正方形的性质列出方程，即可求解．
本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．
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