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12.3第1课时 角的平分线的性质
学习目标
1.通过探究理解角平分线的性质并会运用.
2.掌握尺规作图作角的平分线.
学习策略
1.结合实验探究，掌握角平分线的性质；
2.运用角平分线的性质解决问题.
学习过程
一.复习回顾：
1．什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？
2. 右图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
二.新课学习：
阅读课本本节课的内容，回答下列问题.
知识点一：角平分线的画法
1.由作一个已知角的平分线的作法可知OM　　ON，MC　　NC.(填“>”“<”或“=”)
【答案】=；=
(2)证明过程如下：
【答案】在△ACD和△ACB中，
所以 △ACD≌ △ACB（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）.
所以AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
知识点二：角的平分线的性质
2. 在角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于M、N, PM、PN的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离.
(1) 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
PM PN
第一次
第二次
第三次
你通过测量比较发现了什么 请加以证明.
【答案】PD=PE；证明：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠POD=∠POE，又因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO=90°，又因为OP=OP，所以△PDO≌△PEO(AAS)，所以PD=PE
综之：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离　 　.
【答案】相等
符号语言：因为点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，所以　 　.
【答案】PD=PE
三.尝试应用：
例1如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E, F.
求证：EB=FC.
证明：因为AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF.
因为在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
所以EB=FC.
例2如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，
D、E、F为垂足，
因为BM为△ABC的角平分线，
OD⊥AB，OE⊥BC，
所以OD＝OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
同理可证：OF＝OE．
所以OD＝OE＝OF．
即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．
四.自主总结：
1.熟记角平分线的画法
2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离　 　.
相等
五.达标测试
一、选择题
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等
2. 如果要作已知角AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　)
①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①
3. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D．
则∠ADC的度数为（　　）
A．40° B．55° C．65° D．75°
5.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
二、填空题
6.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠BCA的平分线，DE⊥AC于E，AC=10，BC=6，则AE=__________．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 .
8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为_______．
三、解答题
9.如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．
10.已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．
（1）PC和PD有怎样的数量关系是________．
（2）请你证明（1）得出的结论．
参考答案
1. A 2.C 3.A
4.C 解析：连接EF．因为点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，所以AF=AE；所以△AEF是等腰三角形；又因为分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；所以AG是线段EF的垂直平分线，所以AG平分∠CAB，因为∠CAB=50°，所以∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，所以∠ADC=65°.
5.B 解析：因为OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，所以PC=PD，故A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，OP＝OP，PC＝PD，所以△OCP≌△ODP，所以∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
6.4 解析：因为CD是∠BCA的平分线，∠B=90°，DE⊥AC，所以BD=DE，在Rt△BCD和Rt△ECD中，CD＝CD,BD＝DE，所以Rt△BCD≌Rt△ECD（HL），所以EC=BC=6，所以AE=AC-EC=10-6=4．
7..30 解析：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又因为∠C=90°，所以DE=CD，所以△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．
8. 解析：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，因为BD⊥CD，即∠BDC=90°，又因为∠A=90°，所以∠A=∠BDC，又因为∠ADB=∠C，所以∠ABD=∠CBD，又因为DA⊥BA，BD⊥DC，所以AD=DP，又AD=5，所以DP=5．
9.证明：在△ABD和△CBD中，，所以△ABD≌△CBD（SAS），所以∠ADB=∠CDB．又PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM=PN．
10.解：（1）PC=PD．（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，所以∠CFP=∠DEP=90°，因为OM是∠AOB的平分线，所以PE=PF，因为∠1+∠FPD=90°，又因为∠AOB=90°，所以∠FPE=90°，所以∠2+∠FPD=90°，所以∠1=∠2，在△CFP和△DEP中,，所以△CFP≌△DEP（ASA），所以PC=PD．

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