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第六章 三角形的几个性质
6.1 射影定理
从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影. 在图6.1-1中, AA'⊥MN,垂足A'是点A 在直线 MN上的正射影. 如果点A 是 MN上的点,那么A在MN上的正射影就是它本身.
一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图 6.1-2中，线段 AB的两个端点A和B在直线 MN上的正射影分别是A′和B′，线段A'B'是线段 AB 在直线 MN上的正射影.
点和线段的正射影简称为射影.
考察 Rt△ACD和 Rt△CBD:
因为∠ACD=90°-∠BCD, ∠B=90°-∠BCD,所以∠B=∠ACD.
于是△ACD∽△CBD.
因此 即
CD =AD·BD. ①
考察 Rt△BDC 和 Rt△BCA:
因为∠B是公共角,所以△BDC∽△BCA.
因此 即
BC =BD·AB. ②
同理, 由△CDA∽△BCA,有
AC =AD·AB. ③
①②③式反映了直角三角形的两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系，因而把这三个等式统称为直角三角形的射影定理.
射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.
CD =AD·DB=2×8=16, CD=4;
AC =AD·AB=2×10=20, AC=;
【分析】 图形折叠后，前后图形必全等，由此要善于找出相等的角与线段.可利用直角三角形射影定理计算AM 的长.
【解】 分别过点 D, E作AC 的垂线 DM, EN, 垂足为 M, N.
因为△ADC≌△CEA,所以DM=EN, AM=CN.
而 DM∥EN,得四边形 DMNE 为矩形, DE=MN.
在 Rt△ADC中, AC=13, AD =AM·AC, 得从而
【分析】要证明∠CAB=∠CFE,只需证明△CEF∽△CBA.
【证明】 在 Rt△ADC中,CD =CE·CA.
在 Rt△BDC中, CD =CF·CB.
故CE·CA=CF·CB,即
又因为∠ACB为公共角,所以△CEF∽△CBA.
于是∠CAB=∠CFE.
习题6.1
1.在直角三角形中，两直角边在斜边上的射影分别是 2 和6，则两条直角边分别为 和 ，斜边上的高为 .
2.一个直角三角形的两条直角边的比是 1：2，则它们在斜边上的射影之比是 .
3. CD是 Rt△ABC 斜边上的高, S△ABC =20, AB=10, 则 AD= , BC= .
分别为 D，E，F，则下列结论中，哪些是成立的 哪些是不成立的 为什么
①DE =AE·BE; ②AD =AF·AC;③AD =AE·AB;④AD =BD·CD;⑤BD +CD =BE·AB+CF·AC; ⑦若AB>AC, 则 AB -AC =(BD-CD)·BC; ⑧AD·BC=DE·AB+DF·AC.
如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,M是AB的中点,点 E在CD 上,且 ME⊥BE于点E, 求证:
参考答案
第六章 三角形的几个性质
习题6.1
1.4, 4 , 2 . 2.1: 4.
3. AD=2, BC=4 或AD=8, BC=2 .
4. 略.
5. 提示: 证明△CAD∽△BCD.
6.①②③⑤⑥⑧成立，根据为射影定理；④⑦不成立，因未知∠BAC是否为直角.
7.∵BC =BD·AB,BE =BD·BM,
∴BC =BD·AB=BD·2BM=2BE ,
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