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三角形的几个性质
6.2 三角形的“心”
1.内心
内心与各顶点的连线平分各角，内心到三角形三边的距离相等，因此内心是三角形内切圆的圆心.
又因为 BD= BF, AE=AF, BF+AF=AB, 所以(a-r)+(b-r)=c, 即
2.外心
(2)过外心作一边的垂线平分此边；
(3)外心与一边中点的连线垂直于此边；
(4) 直角三角形的外心就是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内，而钝角三角形的外心在三角形外.
3.重心
同理，若BE与AD 相交于点G'，则必有
所以点G'与G 重合.
因此，三角形三条中线相交于一点，此点就叫做三角形的重心.
重心到顶点与到对边中点的距离之比为 2：1.
【例2】 如图 6.2-5,已知△ABC的重心G 与内心I的连线GI∥BC, 求证:AB+AC=2BC.
【注】 上面我们利用重心把中线分为1：2的比和内角平分线定理解答. 除此之外，也可以利用面积法来解决，我们将在6.3节证明.
4.垂心
因此，三角形三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心.
顶点与垂心的连线垂直于对边； 直角三角形的垂心即为直角顶点，锐角三角形的垂心在三角形内，而钝角三角形的垂心在三角形外.
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形底边上三线 (角平分线、中线、高线) 合一.因此在等腰三角形中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H、外心O必在同一条直线上. 而正三角形作为特殊的等腰三角形，四心(内心、重心、垂心、外心)合一，这点称为正三角形的中心.
【例3】 在△ABC中, AB=AC=5, BC=6.求:
(1)△ABC 的面积S△ABC;
(2)△ABC的内切圆的半径r;
(3)△ABC的外接圆的半径R.
【分析】 等腰三角形底边上三线合一，因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心
I、外心O在底边的高线上.
【例4】 一个正三角形的边长为6，求此三角形的外接圆和内切圆的半径. 能否得出任意一个正三角形的外接圆和内切圆的半径与高的比是定值
由①②式解得
对于一般的正三角形，我们只要设其边长为 a，可以求出其高 根据上面的方法，求出 由此可以得到
【注】 实际上，正是由于正三角形的四心合一，所以内心和外心也就是重心. 根据重心的性质，重心把高分成了两段，它们的比为 1：2，所以
习题6.2
A. 2倍 B. 倍 C. 倍 D. 3倍
5. 等腰三角形的底边长为 10，腰长为13，则它的内切圆半径为 ，外接圆的半径为 .
6.已知△ABC的三边长分别为 BC=a, AC=b, AB=c, I为△ABC的内心,且I在△ABC的边 BC, AC, AB上的射影分别为D, E, F, 求证:
7.证明：若三角形的内心与重心为同一点，则这个三角形为正三角形.
在△ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6, BC=5,CA=4,求 的值.
习题6.2
1. B. 2. A. 3. B.
4.144. 5. , .
6.因为 AE，AF为圆的从同一点作的两条切线，所以AE=AF.
同理BD=BF, CD=CE.
∵b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE,
同理可得, AB=BC.
所以GI∥BC, 所以 得
从而
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