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第六章 三角形的几个性质
6.3 面积法
我们学习过三角形的面积公式，一边与这边上的高的
上述结论可以叙述为：三角形的面积等于三角形中任两边以及它们夹角正弦的乘积的一半.
因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换. 运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称它为面积法.
我们知道，一个三角形可以分割成若干个小三角形，那它的面积就等于这几个小三角形的面积之和； 等底等高的三角形的面积相等；等底(或等高)的三角形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比； 两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
利用上述的结论，可以解决有关平面几何问题.
【例1】 已知△ABC的三边分别为 a, b,c, 内切圆的半径为 r, 求证: b+c)r
【分析】 如果能把未给出的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的面积即可得
知. 根据面积的比例关系，可求出这两个面积.
【解】 设未知的两个小三角形的面积为 x和y，则
即 ①
即 ②
由①②式得 x=56, y=35.
【分析】 可以发现h与x分别是△ABC和△BPC的高，而且这两个三角形同底，
于是可以将 用这两个三角形的面积比来表示. 其他两个比类同.
【证明】 因为 所以
同理有
所以
故 为定值 1.
我们最后看看 6.2节例2 的另一解法.
习题 6.3
1.在△ABC中,b, c是角 B, C所对的边,若∠A=60°,b=2, c=3,则此三角形的面积为 ( ).
2.若直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，斜边上的高为h，则有( ).
A. ab=h B. a +b =2h
3.不等边三角形 ABC的两条高的长度分别为4和12.如果第三条高也为整数，那么它的长度是( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
7.(1)设G 是△ABC的重心,证明:△GBC, △GAC,△GAB的面积相等.
(2)利用(1)的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的 2倍.
参考答案
第六章 三角形的几个性质
习题6.3
1. C. 2. C. 3. B.
4. S =S . 5.60°或120°.
6.提示：利用面积相等，三角形面积等于两个小三角形的面积之和.
7. 略.
8.提示:
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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