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2022-2023学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是( )
一项对“中兴事件”年月日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论影响的调查中有人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有人没有发表自己的看法现要从这人中随机抽取人做进一步调查．
从某中学高二年级的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况．
A. 简单随机抽样，系统抽样 B. 分层抽样，简单随机抽样
C. 系统抽样，分层抽样 D. 都用分层抽样
3. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱若侧面水平放置时，如图所示，水面恰好过、、、的中点，那么，当底面水平放置时，水面高为( )
A. B. C. D.
4. 已知向量，，且，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知、表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6. 的三边分别为，，，且，，，则的外接圆的直径为( )
A. B. C. D.
7. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 在四面体中，平面，，，若四面体的体积，则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
9. 某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第百分位数是，则下列说法中正确的是( )
成绩分
频数
A. B. 学生成绩的众数是
C. 学生的成绩的平均分大于 D. 学生成绩的极差为
10. 函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 图象的对称中心为
D. 图象的对称轴方程为
11. 在中，，分别是线段，上的点，与交于点，若，则( )
A. B. C. D.
12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有( )
A. 线段长度的最小值为
B. 的最大值为
C. 点在线段上运动时，始终有面
D. 的最小值为
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得 ______ ．
14. 已知，，且，则 ______ ．
15. 已知正方体中，、分别是、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为______ ．
16. 已知中，，，点是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知复数，复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
Ⅰ求；
Ⅱ若复数，且，求
18. 从，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
在中，，，所对的边分别为，，，且_____．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，，求的面积．
注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．
19. 已知，，函数．
Ⅰ求函数的单调递减区间；
Ⅱ求函数在区间上的值域．
20. 某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出名学生成绩，将其成绩分成组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知在的人数等于在和的人数的算术平均数．
Ⅰ求，的值结果保留三位小数；
Ⅱ估计这名学生的中位数和平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数；
Ⅲ已知该校高一学生共人，估计高一年级法律常识考试成绩在分及以上有多少人？
21. 四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．
Ⅰ点为棱上一点，若平面，，求实数的值；
Ⅱ若，求点到平面的距离．
22. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦围成，如图所示改建计划是在优弧上选取一点，以、、为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为、、，在区域内种植观赏花卉．
Ⅰ设、，用、表示的面积；
Ⅱ要使面积最大，点应选在何处？并求出面积最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义及其几何意义，属于基础题．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义及其几何意义即可得出．
【解答】
解：复数，
则在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D．

2.【答案】
【解析】解：由题意，调查的人中，有人认为这只是一个孤立事件，有人没有发表自己的看法，分层特征明显，适用于分层抽样；
从某中学高二年级的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况，人数较少，适用于简单随机抽样．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样、简单随机抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样、简单随机抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设的面积为，底面水平放置时，液面高为，
侧面水平放置时，水的体积为
当底面水平放置时，水的体积为，于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为．
故选：．
根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答．
本题考查了柱体体积的计算问题，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
又，，即．
故选：．
由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标运算，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，，，则、平行、相交或异面，不正确；
B.若，，，则，平行或相交，不正确；
C.若，，且，则由面面垂直的性质可知，不正确；
D.因为，，所以或，因为，所以，正确．
故选：．
对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
本题考空间中线面，面面，线线位置关系，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
由，和面积的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后由，及的值，利用余弦定理，求出的值，利用正弦定理可得的外接圆的直径．
本题考查三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理化简求值，属于中档题．
【解答】
解：，，，
由三角形的面积公式得：，
，
又，，
根据余弦定理得：，解得．
的外接圆的直径为．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
利用诱导公式及二倍角角的余弦可得答案．
本题考查诱导公式及二倍角角的余弦的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
，，可得的面积，
平面，设，
由四面体的体积，得，即．
、、两两垂直，四面体的外接球即为以为顶点，以、、为相邻棱的长方体的外接球，
四面体的外接球的半径为．
四面体的外接球的表面积．
故选：．
由已知求得，利用分割补形法可得四面体的外接球的半径，结合球的表面积公式得答案．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：设频数之和为，
，
因为处在到之间，所以前面共有个数，
所以，
解得，
所以，故A正确；
所以学生成绩的众数是，故B正确；
学生的成绩的平均分为，故C错误；
学生成绩的极差为，故D正确．
故选：．
设频数之和为，由题意可知前面共有个数，所以，求出的值，进而求出的值，再结合众数，平均数和极差的定义求解即可．
本题主要考查了百分位数的定义，考查了众数、平均数和极差的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，，，故A正确．
再根据五点法作图，可得，，，故B错误．
令，，求得，为最小值，可得函数的图象关于直线，对称，故C错误．
令，，求得，不是最值，可得函数的图象不关于直线，对称，故D错误．
故选：．
由题意，根据由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，，
由，
可得，，
，，共线，，，共线，
，，
故，，
即，．
故选：．
利用平面向量的基本定理，平面向量的线性运算得到，，再利用三点共线的性质，列出方程组求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，三点共线的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对，连接，，，如图，
当时，最短，由正方体棱长为，所以，
所以，
可得，故A错误；
对于，连接如图，
由正方体可知平面，
又平面，所以，
故，由知，的最小值为，
故的最大值为，故B正确；
对于，连接，，，，，如图，
在正方体中，平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，，、平面，
所以平面平面，
又平面，
所以面，故C正确；
对于，把平面沿展开到平面所在平面，
如图，
连接交于，此时最小，最小值为，
在，，，
由余弦定理得，故D正确．
故选：．
结合已知条件，说明当时，最短，求解判断的正误；通过求解的最大值为，判断的正误；利用平面与平面平行推出直线与平面平行，判断的正误；把平面沿展开到平面所在平面，连接交于，此时最小，最小值为，然后转化求解即可判断的正误
本题考查空间直线与平面的位置关系的应用，空间距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由欧拉公式可得，．
故答案为：．
根据已知条件，结合欧拉公式，即可求解．
本题主要考查复数的指数形式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，已知，，则，
又由，则，必有．
故答案为：．
根据题意，取出的坐标，由向量模的公式可得关于的方程，解可得答案．
本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，则，，
所以四边形为平行四边形，所以，
故或其补角为异面直线、所成角，
设正方体的棱长为，
在中，，，
由余弦定理知，，
所以异面直线、所成角的余弦值为．
故答案为：．
取的中点，连接，，易知，从而得或其补角即为所求，再结合勾股定理与余弦定理，得解．
本题考查异面直线夹角的求法，通过平移的思想，找到异面直线夹角是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，已知，，点是外接圆圆周上的一个动点，
设点为中点，则，
设点为外接圆心，，
因为，，由正弦定理可得：
，所以，
因为，所以，又，所以，
设，由题意知，即，
故
．
故答案为：．
根据已知，首先求出外接圆半径，再利用圆心将和进行转化，最终将数量积的取值范围和的范围联系起来，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ
，
在复平面上所对应的点为，
复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
；
Ⅱ，，
，，
，，
．
【解析】Ⅰ由复数的运算求出，再由题中条件即可得；
Ⅱ由复数的运算和复数相等求出，，从而求出复数，再求模即可．
本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ选时，利用正弦定理：，整理得，
所以，由于；
故B．
选时，利用正弦定理：，化简得，
利用余弦定理：所以，
由于；
故B．
选时，利用正弦定理，整理得，
利用余弦定理：，
由于；
故B．
Ⅱ由Ⅰ得：，且，，
利用余弦定理，故，解得．
所以．
【解析】Ⅰ选条件时，利用正弦定理和三角函数的值求出的值；
选条件时，利用正弦定理和余弦定理求出的值；
选条件时，利用正弦定理和余弦定理求出的值．
Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出的面积．
本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ已知，，
则，
由，，
则，，
即函数的单调递减区间为，；
Ⅱ因为，
所以，
则，
即函数在区间上的值域为．
【解析】Ⅰ由平面向量数量积的运算，结合三角恒等变换求出函数的解析式，然后结合三角函数单调区间的求法求解即可；
Ⅱ结合三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属基础题．
20.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图，之间的人数为，与之间的人数均为，
所以在，的人数共人，因为在的人数等于在，的人数的算术平均数，
设在的人数为，则，
解得，
所以，的人数分别为，，
所以，的频率分别为，，
所以，；
Ⅱ由可知，学生成绩在内的频率为，在内的频率为，
设学生成绩中位数为，则，
解得，
故估计这名学生的中位数为，
平均成绩为：；
Ⅲ因为学生成绩在内的频率为，而该校高一学生共人，
所以估计高一年级法律常识考试成绩在分及以上人数为：人．
【解析】Ⅰ根据直方图可得，，之间的人数，结合条件可得，的人数，即可得到，的值；
Ⅱ利用直方图结合中位数，平均数的计算方法即得；
Ⅲ由题可得学生成绩在内的频率为，然后根据高一学生人数即得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和平均数的计算，属于中档题．
21.【答案】解：
Ⅰ因为平面，平面，
平面平面，
所以，
因为，所以四边形为平行四边形，又，所以为的中点．
因为，，
．
Ⅱ因为，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
平面平面，
在平面内过点作直线于点，则平面，在和中，
因为，所以，
又由题知，
所以，
由已知求得，所以，
连接，则，
又求得三角形的面积为，
所以由三棱锥S-ABD，
设点 到平面为，则有，
解得
点 到平面的距离为：．

【解析】Ⅰ证明，推出，利用已知条件求出．
Ⅱ证明平面平面，在平面内过点作直线于点，说明平面，推出，连接，求出三棱锥的体积，求出底面面积，利用，求解 到平面的距离．
本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22.【答案】解：Ⅰ设，的外接圆半径为，
在中，由正弦定理得，
因为，，所以，
因为点在优弧上，所以，
因为点、是以、为边向外所作等边三角形外接圆圆心，
所以，且，
，
所以，
所以，
根据拿破仑定理可知：．
Ⅱ在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
整理得，当且仅当时，等号成立，
由知：，
所以，
故点取在优弧中点时，面积最大值，最大值为．
【解析】Ⅰ由正弦定理可得，结合等边三角形的性质可得，然后根据拿破仑定理及等边三角形的面积公式即可得结论；
Ⅱ根据余弦定理结合基本不等式即可得结论．
本题主要考查三角形中的几何计算，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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