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2023 年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试参考答案
高一数学
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D A C C B D
二、多项选择题
9 10 11 12
AB BCD BD AC
12．解析：取 AC中点 D，连 BD，PD， BC AB， PA PC，
因为 AC BD， AC PD， PD BD D，PD， BD 平面 PBD，
所以 AC 平面 PBD，又因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 PBD
所以 PBD为 PB与底面 ABC所成线面角，即 cos PBD 2 2 ，
3
因为 AC 2AB 2 2，所以BD 2 ， PD PA2 AD2 3
令 PB x 3 2 x2 2 2 x 2 2，则 ，解得 x 3， 选项 C正确
3
取 PB中点 O，连接 OD，OD2 9 2 2 2 3 2 2 1
4 2 3 4
因为OD2 DB2 OB2 ，所以OD DB， OD 平面 ABC，所以OA OB OC OP
3 4 27 9
所以 O为 ABC外接球的球心，半径为 R ，所以球体积V ， 选项 A正确2 3 8 2
(本题亦可利用补形法解题，三棱锥P ABC外接球即为三棱锥 P ABC所在长方体的外接球)
三、填空题
6 3
13． 1 14． 304 15． 4 16． 4
16．解析：如图所示，延长 AO交 BC于D，

令 AO AD AD AO m
n
AB AC，

∵ B,C,D三点共线，∴ m n 1 m n ，∴ 取最大值时，m n取最大值，


A ∴ O ，∵ AO 为外接圆的半径定值，∴当 AD 取得最小时， 取最大值，此时 AD BC，
AD
∴ ABC为等腰三角形，且 sin A 2 2 (0 A )，∴ cos A 1 ，∴ sin A 3 ,cos A 6 , tan A 1 ，
3 2 3 2 3 2 3 2 2
a 3a
∵ a 3a AO , AD 2 2a ，∴ 4 2 3 ．
2sin A 4 2 maxtan A 2 2a 4
2 2
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四、解答题

17．（1）已知向量 a (3,1)，b ( 1,2)，则 ka b (3k 1,k 2) ………………1分

又 a (ka b)，于是有 a (ka b) 0， …………………………3分
即：3 (3k 1) 1 (k 2) 0 1，于是所求实数 k ． …………………………5分
10

（2）解 1：由题意有 AB a b (4, 1)， BC a mb (3 m,1 2m)， ………6分
又 A、 B、C三点共线，于是
4 (1 2m) ( 1) (3 m) 0， ……………………………8分
于是所求实数m 1． …………………………10分

解 2：已知 A、B、C三点共线，则存在实数 ，使得 AB BC ，即： (a b) (a mb)，于是
1
m 1 m 1 即为所求
．

18．（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有 n 2个结果，每个结果可能性相同，
其中事件 A发生有 n种结果，所以 P(A) n 1 ，解得n 2．…………………………4分
n 2 2
（2）由（1）可知连续取球两次所包含的基本事件有：
（红，红），（红，白 1），（红，白 2），（红，黑），（白 1，红），（白 1，白 1），（白 1，白 2），（白 1，黑），
（白 2，红），（白 2，白 1），（白 2，白 2），（白 2，黑），（黑，红），（黑，白 1），（黑，白 2），（黑，黑），
所以基本事件的总数为 16． …………………………6分
设事件B：连续取两次分数之和为 3分，设事件C：连续取两次分数之和为 4分，
设事件D：连续取两次分数之和大于 2分，则D B C，且事件B与事件C互斥，
因为事件B所包含的基本事件有：（红，白 1），（红，白 2），（白 1，红），（白 2，红），所以 P B 4 ，
16
…………………………8分
1
因为事件C所包含的基本事件有：（红，红），所以P C ， …………………………10分
16
故 P D P B P C 5 ． …………………………11分
16
5
即两次取球所得分数之和大于 2分的概率为 ．…………………………12分
16
19．（1）如图所示：连接 BD与 AC交于点O，连接OE，
∵E,O为中点，∴ BD1 / /OE，又 BD1 平面 ACE，OE 平面 ACE，
∴BD1 / /平面 ACE； ……………………4分
（2）设点 B到平面 ACE的距离为 d，
在 Rt ADE中， AE AD2 DE2 22 12 5， …………………………5分
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在 Rt CDE中，CE CD2 DE2 22 12 5， …………………………6分
AE CE，又∵O为CA中点， OE CA，
在 Rt ABC中，CA AB2 BC2 4 4 2 2 1，则OE AE2 ( CA)2 5 2 3，…………7分
2
S 1CA OE 1即 AEC 2 2 3 6， …………………………8分2 2
∵在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E到平面 ABC的距离为DE，
1 1
VB AEC VE ABC , S d S3 AEC 3 ABC
DE ， …………………………10分
1
则 6d 22 1 d 6 ，即 ． …………………………12分
2 3
20．（1）已知 sin2C sin2 A sin2 B sin Asin B，由正弦定理有 c2 a2 b2 ab …………1分
由余弦定理可得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab， …………………………3分
1
解得 cosC ， …………………………5分
2
2π
因为 C是 ABC的一个内角，故C …………………………6分
3
（2）因为 c 2 5 ， ABC的周长为8 2 5，所以a b 8， …………………………7分
a b c
由正弦定理 2R，可得 sin A sin B
a b a b
，………………9分
sin A sin B sinC 2R 2R 2R
2R c 2 5 4 15 2 又 sinC 3 ， …………………………11分sin
3
sin A sinB a b 2 15于是 ． …………………………12分
2R 5
21．
（1）由频率分布直方图，设分数中位数为 x，则有 0.04(x 70) 0.1，可求分数的中位数为72.5………3
分
（2）由频率分布直方图知，分数在 50,90 的频率为 0.01 0.02 0.04 0.02 10 0.9，
在样本中分数在 50,90 的人数为100 0.9 90（人），
在样本中分数在 40,90 的人数为 95人，所以估计总体中分数在 40,90 的人数为 400 0.95 380（人），
总体中分数小于 40的人数为 20人 …………………………7分
3
（3）总样本的均值为 70
1
80 72.5， …………………………9分
4 4
2 3
所以总样本的方差为 s总 10 72.5 70
2 1 12 72.5 80
2 117 ．…………………12分4 4 4
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22．（1）因为 PA 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以 PA AB， …………………1分

因为 BAD ，所以 AB AD，因为 PA AD A，PA, AD 平面PAD，
2
所以 AB 平面 PAD， …………………2分
因为CF / /AB，所以CF 平面 PAD，因为 CF 平面 CFG，所以平面 CFG
⊥平面 PAD； ………………4分
（2）连结 AC，过点B作 BE PC于点 E，连接DE，如图，
PA 平面 ABCD， AD, AC 平面 ABCD，
所以 PA AD，PA AC，
BAD BCD 因为 , AB BC 2,PA BD 4，
2
由勾股定理得： AD= BD2 AB2 2 3，则 ADB 30 ，
同理可得CD 2 3， CDB 30 ，
故 ADC 60 ，所以三角形 ACD为等边三角形， AC CD 2 3，
故 PB PA2 AB2 2 5，PC PA2 AC2 2 7，PD PA2 AD2 2 7，……………6分
2 2
BCP BC CP PB
2 4 28 20 3
在 中，由余弦定理得： cos BCP ，
2BC CP 8 7 2 7
CE BC cos BCP 6 19则 ， BE BC2 CE2 ， ………………………8分
2 7 7
2 2 2
CDP cos PCD PC CD DP 12 28 28 3在 中，由余弦定理得： ，
2PC CD 2 3 4 7 2 7
在 CDE中，DE2 CE2 CD2 2CE CDcos PCD 36 12 2 6 3 75 2 3 ，
28 2 7 2 7 7
因为CE2 DE2 12 CD2，所以DE PC，所以 BED是平面PBC与平面 PDC所成二面角的平面角，
…………………10分
19 75
2 2 2 16
由余弦定理得： cos BED BE DE BD 7 7 3 57 ． …………………12分
2BE DE 95
2 19 75
7 7
第 4 页
{#{QQABTQCAogiAAgAAABBCQw2ACgKQkgAAAKgGQEAYIEAAiQNABCA=}#}20.(本小题清分12分)在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
sin'C=sin4+sinB+sin Asin B.
(1)求角C;
(2)若c=2W5,△MBC的周长为8+2W5,求sinA+sinB.
21.(体小题满分12分)某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，
使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：
[20,30),[30,40),,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：
(1)由频率直方图求样本中分数的中位数：
4频率阻距
(2)己知样本中分数在[40,50)的学生有5人，
0.04
试估计总体中分数小于40的人数：
0.02
(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男0.01
生样本的均值为70，方差为10，女生样
0
2030405060708090分数
本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.
2,本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD,PAL平面ABCD,∠BAD=∠BCD=),
AB=BC=2,PA=BD=4,过点C作直线AB的平行线交AD于F,G为线段PD上一点.
(1)求证：平面PAD⊥平面CFG;
(2)求平面PBC与平面PDC所成二面角的余弦值.
G
高一数学试卷第4页（共4页）
2023年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试
高一数学
(满分：150分；考试时长：120分钟)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再远涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写
在试卷上无效
3.考试结束后，将答题卡交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.复数z满足zi=1+i,则2=（)
A.1
B.√2
c.3
D.2
2.在△ABC中，若AB.BC>0,则△ABC的形状为(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
3.己知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，当地政府
为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的
户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是()
1贫困率(%)
A.150,15
50-
B.150,20
350户
C
200户
30
C.200,15
B
450户
C
D.200,20
图(1)
图(2)
4.已知a-万=15，d=5,-3,则6在a上的投影向量为（)
3-
2-
A.sa
C.
D.
26
5.甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是；和，两个零
3
件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(
5
A12
B.
C.8
15
D.2
5
6.在△ABC中，D为线段AB上一点，且AD=2BD,则CD=()
A.3C4+ICB
3
高一数学试卷第1页（共4页）

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