资源简介

江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
一．二次函数的应用（共1小题）
1．（2022 江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 　 　；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 　 　；
（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
二．二次函数综合题（共2小题）
2．（2023 江西）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝　 　；
②S关于t的函数解析式为 　 　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝　 　；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．
3．（2021 江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
… B（﹣1，3） O（0，0） C（1，﹣1） A（ 　 　，　 　） D（3，3） …
… B'（5，﹣3） O′（4，0） C'（3，1） A′（2，0） D'（1，﹣3） …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　 　；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　 　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
三．四边形综合题（共2小题）
4．（2022 江西）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　 　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　 　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　 　；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
5．（2021 江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　 　；
类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　 　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．
四．圆的综合题（共1小题）
6．（2021 江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
五．相似形综合题（共1小题）
7．（2023 江西）课本再现
思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证： ABCD是菱形．
知识应用
（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证： ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
8．（2023 江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）
（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共1小题）
1．（2022 江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 　66　；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 　b＞　；
（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】（1）66；
（2）①基准点K的高度h为21m；
②b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由见解答过程．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
二．二次函数综合题（共2小题）
2．（2023 江西）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝　3　；
②S关于t的函数解析式为 　S＝t2+2　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝　4　；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．
【答案】（1）①3；②S＝t2+2；
（2）S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8），AB＝6；
（3）①4；②正方形DPEF的面积为．
【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，
又∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．
故答案为：3；
②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，
∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．
故答案为：S＝t2+2；
（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，
抛物线的顶点坐标为（4，2），
∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，
∴M（2，6），
设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，
∴AC＝AD+CD＝3+＝4，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，
CB+AC＝2+6＝8，
∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；
（3）①如图，则∠AHD＝90°＝∠C，
∵∠DAH＝∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴DH＝，AH＝4，
∴BH＝2，DH＝CD，
∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴DP1＝DP2＝DP3，
∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，
在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，
，
∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），
∴CP1＝HP2，
∴t1＝4﹣t2，
∴t1+t2＝4．
故答案为：4；
②∵DP3＝DP1，DH＝DC，∠DHP3＝∠C＝90°，
∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL），
∴P3H＝CP1，
∵P3H＝t3﹣4，
∴t3﹣4＝t1，
∵t3＝4t1，
∴t1＝，
∴S＝（）2+2＝．
3．（2021 江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
… B（﹣1，3） O（0，0） C（1，﹣1） A（ 　2　，　0　） D（3，3） …
… B'（5，﹣3） O′（4，0） C'（3，1） A′（2，0） D'（1，﹣3） …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　﹣3≤x≤﹣1　；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
【答案】（1）①（2，0）；
②所画图象见解答；
（2）①﹣3≤x≤﹣1；
②y＝ax2；
③m＝±1．
【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，
∴点A为BB′的中点，
设点A（m，n），
∴m＝＝2，n＝＝0，
故答案为：（2，0）；
②所画图象如图1所示，
（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，
抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，
故答案为：﹣3≤x≤﹣1；
②∵抛物线y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，
∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，
令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，
整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，
∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，
∴分下面两种情形：
i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，都会存在对应的m使得b′﹣6m＝0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
ii）当a′≠﹣1时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，
即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1） 8m2﹣4c′（a′+1）＝0，
整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，
∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，
∴当m取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，
∴，
解得a′＝，b′＝0，c′＝0，
则y＝x2，
故答案为：y＝ax2；
③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），
其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），
抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，0），
∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：
i）直线y＝m经过M（m，﹣m2），
∴m＝﹣m2，
解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），
ii）直线y＝m经过N（3m，m2），
∴m＝m2，
解得：m＝1或m＝0（舍去），
iii）直线y＝m经过A（2m，0），
∴m＝0，
但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，
综上所述，m＝±1．
三．四边形综合题（共2小题）
4．（2022 江西）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　1　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　1　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　S1＝S　；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
【答案】（1）1，1，S1＝S；
（2）①证明见解析部分；
②﹣1；
（3）S2的最小值为tan，S2的最大值为1﹣tan（45°﹣α）．
【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM＝ON，
∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOJ＝∠NOK，
∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ＝S△ONK，
∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，
∴S1＝S．
故答案为：1，1，S1＝S．
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT＝CT，
∵BM＝CN，
∴MT＝TN，
∵OT⊥MN，
∴OM＝ON，
∵∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM＝∠CON＝30°，
∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，
∵BJ＝JC＝OJ＝1，
∴JM＝OJ tan15°＝2﹣，
∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ＝OQ tan＝tan，
∴MN＝2MQ＝2tan，
∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．
如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM＝α，
∵∠COQ＝45°，
∴∠MOQ＝45°﹣α，
QM＝OQ tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），
∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），
∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．
5．（2021 江西）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 　∠DCE′　；
类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 　AD2+DE2＝AE2　；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）∠DCE′．
（2）AD2+DE2＝AE2．
（3）①证明见解析部分．
②．
【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，
故答案为：∠DCE′．
（2）解：如图2中，
∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD2+DE2＝AE2．
（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点
∴点O是△ADC的外心，
∴∠AOC＝2∠ADC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，
∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝90°．
②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．
∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT＝∠ACB，＝，
∴＝，∠DCB＝∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴＝，
∵＝2，
∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，
∴BD＝AT，
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m，
∴AT＝＝＝，
∴BD＝．
四．圆的综合题（共1小题）
6．（2021 江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①是菱形，理由见解答；
②+π．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴ ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝2OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
＝S△ACD+S扇形COD
＝××2×2+
＝+π．
五．相似形综合题（共1小题）
7．（2023 江西）课本再现
思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证： ABCD是菱形．
知识应用
（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证： ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①证明见解答过程；
②．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
又∵BD⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形．
（2）①证明：∵ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，
又∵AD＝5，
∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，
∴∠AOD＝90°，
即BD⊥AC，
∴ ABCD是菱形；
②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝AD＝，
由①知：四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB，
又∵∠E＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴CE＝CO＝4，
∵OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AD∥BE，
∴△OGF∽△ECF，
∴，
又∵OG＝，CE＝4，
∴．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
8．（2023 江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）
（1）连接CD，求证：DC⊥BC；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）雕塑的高约为4.2m．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，
∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，
∴∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴DC⊥BC；
（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，
∴BD＝≈＝（m），
∵DE＝2m，
∴BE＝BD+DE＝（m），
在Rt△BEF中，EF＝BE sin55°≈×0.82≈4.2（m），
∴雕塑的高约为4.2m．江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021 江西）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；
（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
二．分式的混合运算（共2小题）
2．（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
3．（2022 江西）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③… 解：
（1）上面的运算过程中第 　 　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
三．分式方程的应用（共1小题）
4．（2021 江西）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 　 　元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 　 　元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同 　 　加油更合算（填“金额”或“油量”）．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
5．（2023 江西）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
五．解一元一次不等式组（共2小题）
6．（2022 江西）（1）计算：|﹣2|+﹣20；
（2）解不等式组：．
7．（2021 江西）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
8．（2021 江西）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
七．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2023 江西）（1）计算：+tan45°﹣30．
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．
八．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2021 江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．
九．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2021 江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2021 江西）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g） 频数 频率
68≤x＜71 2 0.1
71≤x＜74 3 0.15
74≤x＜77 10 a
77≤x＜80 5 0.25
合计 20 1
分析上述数据，得到下表：
统计量厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 b 6.3
乙厂 75 75 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
一十一．折线统计图（共1小题）
13．（2022 江西）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数人数类别 0 1 2 3 4及以上 合计
“双减”前 102 48 75 51 24 m
“双减”后 255 15 24 n 0 m
（1）根据表1，m的值为 　 　，的值为 　 　；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 　 　，“双减”后学生报班个数的众数为 　 　；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021 江西）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　 　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021 江西）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；
（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
【答案】（1）；
（2）见解答．
【解答】（1）解：原式＝1﹣1+
＝；
（2）证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°，
∵∠A＝40°，
∴∠A＝∠ABE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
二．分式的混合运算（共2小题）
2．（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③．
（2）2x．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
（+）
＝+
＝+
＝x﹣1+x+1
＝2x．
3．（2022 江西）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③… 解：
（1）上面的运算过程中第 　③　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③；
（2）见解答过程．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案为：．
三．分式方程的应用（共1小题）
4．（2021 江西）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 　48　元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 　50　元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同 　金额　加油更合算（填“金额”或“油量”）．
【答案】（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48；50；（3）金额．
【解答】(1)解：设这种商品的单价为x元/件．
由题意得：,
解得：x＝60,
经检验：x＝60是原方程的根．
答：这种商品的单价为60元/件．
（2）解：第二次购买该商品时的单价为：60﹣20＝40（元/件），
第二次购买该商品时甲购买的件数为：2400÷40＝60（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（3000÷60）×40＝2000（元），
∴甲两次购买这种商品的平均单价是：2400×2÷（）＝48（元/件），乙两次购买这种商品的平均单价是：（3000+2000）÷（×2）＝50（元/件）．
故答案为：48；50．
（3）解：∵48＜50,
∴按相同金额加油更合算．
故答案为：金额．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
5．（2023 江西）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】（1）该班的学生人数为45人；
（2）至少购买了甲树苗80棵．
【解答】解：（1）设该班的学生人数为x人，
根据题意得：3x+20＝4x﹣25，
解得：x＝45．
答：该班的学生人数为45人；
（2）设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（3×45+20﹣y）棵，
根据题意得：30y+40（3×45+20﹣y）≤5400，
解得：y≥80，
∴y的最小值为80．
答：至少购买了甲树苗80棵．
五．解一元一次不等式组（共2小题）
6．（2022 江西）（1）计算：|﹣2|+﹣20；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）3；
（2）1＜x＜3．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1，
＝3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
7．（2021 江西）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，
解不等式＞﹣1，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
8．（2021 江西）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1，
∴A（1，1），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×1＝1；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，1），C（﹣2，0），
∴AD＝1，CD＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝3，
∴B（﹣3，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+．
七．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2023 江西）（1）计算：+tan45°﹣30．
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．
【答案】（1）2；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：+tan45°﹣30
＝2+1﹣1
＝2；
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
八．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2021 江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；
（2）如图2中，直线a即为所求．
九．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2021 江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）
【答案】（1）∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
（2）枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），
在Rt△BMH中，
cos∠BMH＝＝＝0.4，
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP，
∴∠BMH+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝＝，
∴MI≈19.80cm，
∵KI＝50cm，
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2021 江西）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g） 频数 频率
68≤x＜71 2 0.1
71≤x＜74 3 0.15
74≤x＜77 10 a
77≤x＜80 5 0.25
合计 20 1
分析上述数据，得到下表：
统计量厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 b 6.3
乙厂 75 75 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝　0.5　，b＝　76　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
【答案】（1）0.5，76；
（2）详见解答；
（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而要求的规格是75g，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）13000．
【解答】解：（1）a＝10÷20＝0.5，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g，因此众数是76，即b＝76，
故答案为：0.5，76；
（2）20﹣1﹣4﹣7＝8（只），补全频数分布直方图如下：
（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而要求的规格是75g，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）20000×（0.15+0.5）＝13000（只），
答：从甲厂采购了20000只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有13000只．
一十一．折线统计图（共1小题）
13．（2022 江西）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数人数类别 0 1 2 3 4及以上 合计
“双减”前 102 48 75 51 24 m
“双减”后 255 15 24 n 0 m
（1）根据表1，m的值为 　300　，的值为 　0.02　；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 　1　，“双减”后学生报班个数的众数为 　0　；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【答案】（1）300；0.02；（2）2.4%；（3）①1；0；②“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴＝＝0.02，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
0 1 2 3 4及以上 总数
“双减”前 172 82 118 82 46 500
“双减”后 423 24 40 12 1 500
×100%＝2.4%，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为2.4%；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
∴“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021 江西）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　随机　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
【答案】（1）随机；（2）．
【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，
所以A，B两名志愿者被选中的概率为＝．江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2023 江西）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为 　 　．
2．（2021 江西）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日公布人口普查结果，其中江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为 　 　．
二．规律型：数字的变化类（共1小题）
3．（2021 江西）如图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 　 　．
三．单项式（共1小题）
4．（2023 江西）单顶式﹣5ab的系数为 　 　．
四．完全平方公式（共1小题）
5．（2023 江西）化简：（a+1）2﹣a2＝　 　．
五．因式分解-提公因式法（共1小题）
6．（2022 江西）因式分解：a2﹣3a＝　 　．
六．因式分解-运用公式法（共1小题）
7．（2022 邵阳）因式分解：x2﹣4y2＝　 　．
七．根的判别式（共1小题）
8．（2022 江西）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
八．根与系数的关系（共1小题）
9．（2021 江西）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
九．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
10．（2022 江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 　 　．
一十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2022 江西）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 　 　．
一十一．含30度角的直角三角形（共1小题）
12．（2023 江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm．
一十二．多边形内角与外角（共1小题）
13．（2022 江西）正五边形的外角和为 　 　度．
一十三．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2021 江西）如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为 　 　．
一十四．正方形的性质（共1小题）
15．（2022 江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 　 　．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
16．（2021 江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　 　．
一十六．旋转的性质（共1小题）
17．（2023 江西）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　 　．
一十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023 江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　 　m．
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2023 江西）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为 　1.8×107　．
【答案】1.8×107．
【解答】解：18000000＝1.8×107，
故答案为：1.8×107．
2．（2021 江西）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日公布人口普查结果，其中江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为 　4.51×107　．
【答案】4.51×107．
【解答】解：45100000＝4.51×107，
故答案为：4.51×107．
二．规律型：数字的变化类（共1小题）
3．（2021 江西）如图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 　3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，
故第四行空缺的数字是1+2＝3，
故答案为：3．
三．单项式（共1小题）
4．（2023 江西）单顶式﹣5ab的系数为 　﹣5　．
【答案】﹣5．
【解答】解：﹣5ab的系数为：﹣5，
故答案为：﹣5．
四．完全平方公式（共1小题）
5．（2023 江西）化简：（a+1）2﹣a2＝　2a+1　．
【答案】2a+1．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2
＝2a+1，
故答案为：2a+1．
五．因式分解-提公因式法（共1小题）
6．（2022 江西）因式分解：a2﹣3a＝　a（a﹣3）　．
【答案】a（a﹣3）．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
六．因式分解-运用公式法（共1小题）
7．（2022 邵阳）因式分解：x2﹣4y2＝　（x+2y）（x﹣2y）　．
【答案】（x+2y）（x﹣2y）．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
七．根的判别式（共1小题）
8．（2022 江西）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　1　．
【答案】1．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
八．根与系数的关系（共1小题）
9．（2021 江西）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案是：1．
九．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
10．（2022 江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 　＝　．
【答案】＝．
【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：
＝．
故答案为：＝．
一十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2022 江西）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 　5或2或　．
【答案】5或2或．
【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；
当AB＝BO时，AB＝5；
当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），
∵OA＝5，
∴＝5，
解得：a1＝3，a2＝4，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB＝＝2或AB＝＝；
综上所述，AB的长为5或2或．
故答案为：5或2或．
一十一．含30度角的直角三角形（共1小题）
12．（2023 江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　2　cm．
【答案】2．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
一十二．多边形内角与外角（共1小题）
13．（2022 江西）正五边形的外角和为 　360　度．
【答案】360．
【解答】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
一十三．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2021 江西）如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为 　4a+2b　．
【答案】4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
一十四．正方形的性质（共1小题）
15．（2022 江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 　　．
【答案】．
【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长＝＝．
故答案为：．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
16．（2021 江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　9或10或18　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DF，DB，BF．则△DBF是等边三角形．
设BE交DF于J．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴由对称性可知，DF⊥BE，∠JEF＝60°，EF＝ED＝6，
∴FJ＝DJ＝EF sin60°＝6×＝9，
∴DF＝18，
∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，
∴△DMN的边长为18，
如图，当点N在OC上，点M在OE上时，
等边△DMN的边长的最大值为6≈10.39，最小值为9，
∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，
综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．
故答案为：9或10或18．
一十六．旋转的性质（共1小题）
17．（2023 江西）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 　90°或180°或270°　．
【答案】90°、180°、270°．
【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．
如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．
∵P3C＝2AB＝BC，
又∵∠B＝60°，
∴△P3BC为等边三角形，
∴AC⊥AB．
在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴CD⊥AC．
∴∠ACD＝90°，
∴当P在直线AC上时符合题意，
∴α1＝90°，α2＝270°．
连接P3D，
∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，
∴四边形ACDP3为平行四边形．
∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，
即：P运动到P3时符合题意．
∴α3＝180°．
记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．
AG＝＝＝＝＞，
∴⊙A与⊙G相离，
∴∠DPC＜90°．
故答案为：90°、180°、270°．
一十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023 江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m．
【答案】6．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABC∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
1．（2022 江西）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　（用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2023 江西）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．
三．切线的判定（共1小题）
3．（2023 江西）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
四．作图—复杂作图（共1小题）
4．（2022 江西）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
五．作图—应用与设计作图（共2小题）
5．（2023 江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
6．（2022 江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2022 江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
8．（2022 江西）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
八．统计量的选择（共1小题）
9．（2023 江西）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
0.6及以下 8 4%
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200 100%
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 　 　；
分析处理
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．
九．列表法与树状图法（共2小题）
10．（2023 江西）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 　 　事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
11．（2022 江西）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 　 　事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
1．（2022 江西）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 　（0，2）　，点D的坐标为 　（1，0）　，点C的坐标为 　（m+1，2）　（用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
【答案】（1）（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）k＝4，y＝﹣2x+6．
【解答】解：（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2（m+1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2023 江西）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．
（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）直线AB为y＝x+1，反比例函数为y＝；
（2）6．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），
∴3＝2+b，3＝，
∴b＝1，k＝6，
∴直线AB为y＝x+1，反比例函数为y＝；
（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，
∴B（0，1），
把y＝1代入y＝，解得x＝6，
∴C（6，1），
∴BC＝6，
∴△ABC的面积S＝＝6．
三．切线的判定（共1小题）
3．（2023 江西）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵∠ADE＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝80°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，
∵AB＝4，
∴⊙O半径长是2，
∴的长＝＝；
（2）证明：∵∠EAB＝∠EOB＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝76°﹣50°＝26°，
∵∠C＝64°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠C+∠BAC）＝90°，
∴直径AB⊥BC，
∴CB为⊙O的切线．
四．作图—复杂作图（共1小题）
4．（2022 江西）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）2．
【解答】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
③如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝＝2．
五．作图—应用与设计作图（共2小题）
5．（2023 江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：如图：
（1）△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）点Q即为所求．
6．（2022 江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【解答】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；
（2）如图2中，直线l或直线l′即为所求．
六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2022 江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）9．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
8．（2022 江西）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
【答案】（1）证明见解答；
（2）7.5m．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
Rt△APG中，sinA＝，
∴＝0.96，
∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m．
八．统计量的选择（共1小题）
9．（2023 江西）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
0.6及以下 8 4%
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200 100%
（1）m＝　68　，n＝　23%　；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 　320　；
分析处理
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．
【答案】（1）68，23%；
（2）320；
（3）①答案不唯一，合理即可；
②14300名，合理建议即可．
【解答】解：（1）m＝200×34%＝68，n＝46÷200×100%＝23%，
故答案为：68，23%；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为14+44+60+82+65+55＝320，
故答案为：320；
（3）①初中学生的视力水平比高中学生的好，
初中视力水平的中位数为1.0，高中视力水平的中位数为0.9，
所以初中学生的视力水平比高中学生的好；
②26000×＝14300（名），
答：估计该区有14300名中学生视力不良，建议高年级学生坚持每天做眼保健操，养成良好的用眼习惯．
九．列表法与树状图法（共2小题）
10．（2023 江西）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 　随机　事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】（1）随机；（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：＝．
11．（2022 江西）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 　C　事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
【答案】（1）C；
（2）．
【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，
则P（A）＝＝，江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．有理数（共1小题）
1．（2023 江西）下列各数中，正整数是（　　）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
二．相反数（共1小题）
2．（2022 淮安）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
三．实数（共1小题）
3．（2022 江西）下列各数中，负数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
四．实数与数轴（共1小题）
4．（2022 江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
五．规律型：图形的变化类（共1小题）
5．（2022 江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
六．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
6．（2023 江西）计算（2m2）3的结果为（　　）
A．8m6 B．6m6 C．2m6 D．2m5
七．整式的混合运算（共1小题）
7．（2022 江西）下列计算正确的是（　　）
A．m2 m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
八．分式的加减法（共1小题）
8．（2021 江西）计算的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
九．二次根式有意义的条件（共1小题）
9．（2023 江西）若有意义，则a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
一十．函数的图象（共1小题）
10．（2022 江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
一十一．二次函数的图象（共1小题）
11．（2021 江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
一十二．垂线（共1小题）
12．（2023 江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
一十三．确定圆的条件（共1小题）
13．（2023 江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
一十四．利用轴对称设计图案（共1小题）
14．（2021 江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
一十五．中心对称图形（共1小题）
15．（2023 江西）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
一十六．简单组合体的三视图（共2小题）
16．（2022 江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
17．（2021 江西）如图，几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
一十七．扇形统计图（共1小题）
18．（2021 江西）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（　　）
A．一线城市购买新能源汽车的用户最多
B．二线城市购买新能源汽车用户达37%
C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万
D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．有理数（共1小题）
1．（2023 江西）下列各数中，正整数是（　　）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：A．3是正整数，
则A符合题意；
B．2.1是有限小数，即为分数，
则B不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，
则C不符合题意；
D．﹣2是负整数，
则D不符合题意；
故选：A．
二．相反数（共1小题）
2．（2022 淮安）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
三．实数（共1小题）
3．（2022 江西）下列各数中，负数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
【答案】A
【解答】解：﹣1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，
故选：A．
四．实数与数轴（共1小题）
4．（2022 江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
【答案】C
【解答】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；
故选：C．
五．规律型：图形的变化类（共1小题）
5．（2022 江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
六．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
6．（2023 江西）计算（2m2）3的结果为（　　）
A．8m6 B．6m6 C．2m6 D．2m5
【答案】A
【解答】解：（2m2）3＝8m6．
故选：A．
七．整式的混合运算（共1小题）
7．（2022 江西）下列计算正确的是（　　）
A．m2 m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
【答案】B
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
八．分式的加减法（共1小题）
8．（2021 江西）计算的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【解答】解：原式＝
＝
＝1，
故选：A．
九．二次根式有意义的条件（共1小题）
9．（2023 江西）若有意义，则a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
【答案】D
【解答】解：有意义，
则a﹣4≥0，
解得：a≥4，
故a的值可以是6．
故选：D．
一十．函数的图象（共1小题）
10．（2022 江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（　　）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【答案】D
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
一十一．二次函数的图象（共1小题）
11．（2021 江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
一十二．垂线（共1小题）
12．（2023 江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：C．
一十三．确定圆的条件（共1小题）
13．（2023 江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，
故选：D．
一十四．利用轴对称设计图案（共1小题）
14．（2021 江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．
故选：B．
一十五．中心对称图形（共1小题）
15．（2023 江西）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A、C、D不符合题意；
选项B中的图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：B．
一十六．简单组合体的三视图（共2小题）
16．（2022 江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
17．（2021 江西）如图，几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：从正面看该组合体，长方体的主视图为长方形，圆柱体的主视图是长方形，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：C．
一十七．扇形统计图（共1小题）
18．（2021 江西）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（　　）
A．一线城市购买新能源汽车的用户最多
B．二线城市购买新能源汽车用户达37%
C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万
D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少
【答案】C
【解答】解：A、一线城市购买新能源汽车的用户最多，故本选项正确，不符合题意；
B、二线城市购买新能源汽车用户达37%，故本选项正确，不符合题意；
C、由扇形统计图中的数据不能得出三四线城市购买新能源汽车用户达到11万，故本选项错误，符合题意；
D、四线城市以下购买新能源汽车用户最少，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．

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