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专题2.6 有理数的混合运算与七种简算方法
模块1：学习目标
1. 熟练掌握有理数混合运算法则；
2. 能运用有理数的混合运算法则解决实际问题，框图程序问题等；
3. 熟练掌握有理数的简算方法（归类法、凑整法、逆向法、拆项法、组合法、裂项相消法、倒数求值法）。
模块2：知识梳理
1)有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算先将除法化为乘法-→确定积的符号-→按从左到右的顺序运算-→求出结果.
结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶數个时结果为正,负因数的个数是奇数个时结果为负。化成乘法后,应先约分再相乘.
2)有理数的加减乘除混合运算
有理数的四则混合运算,应遵循有括号先算括号(一般先算小括号,再算中括号,最后算大括号)里面的运算，无括号则按“先乘除,后加减”的顺序计算.
3)有理数的混合运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
4）有理数常用简算方法：
（1）归类法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等；
（2）凑整法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消；
（3）逆向法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单；
（4）拆项法：将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁；
（5）组合法：找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目；
（6）裂项相消法：将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁；
（7）倒数求值法：先将除数与被除数调换位置，当除数为一个数时 ，我们把除法转化为乘法后，就可以运用乘法法则进行计算了，在得到结果后，在进行一次倒数的运算就可以得到原式的答案。
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的混合运算
例1．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）计算：_____________．
【答案】
【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算．解题的关键在于明确运算顺序．易错点是先计算乘法然后计算除法．
变式1．（2023·河北衡水·校联考二模）计算的过程，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先将带分数化为假分数，再根据有理数的混合运算，先计算括号，再计算除法，即可求解．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
变式2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)30(2)17(3)(4)(5)(6)
【分析】（1）根据有理数加减运算法则进行计算即可；（2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．
考点2、有理数混合运算-24点游戏
例2．（2023春·浙江·七年级专题练习）“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是__．
【答案】
【分析】根据加减乘除运算法则列出算式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式2．（2022秋·广东佛山·七年级佛山市荣山中学校考期中）有一种“二十四点”游戏，游戏规则如下：任取四个1到13间的自然数，将这四个数进行加减乘除四规运算（每个数只能用一次），使其结果等于24，现有四个有理数，，2，7，如何凑成24？______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接根据有理数混合运算的法则把四个数，，2，7，相结合，使结果等于24即可．
【详解】解：根据题意可得：
，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，解题的关键是熟悉有理数混合运算得法则．
考点3、程序框图与有理数混合运算
例3．（2023秋·河南开封·七年级统考期末）计算机编程语言是指用于人与计算机之间通信的语言，是人与计算机之间传递信息的媒介，因为它是用来进行程序设计的，所以又称程序设计语言或者编程语言，如图所示的运算程序中，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求（结果大于10）为止当输出的数为11时，输入的数字不可能是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】分别求出当，，，4时，输出的结果，即可得出答案．
【详解】解：A．把代入得：，，，
∴当时，输出结果是11，故A不符合题意；
B．把代入得：，，
∴当时，输出结果是11，故B不符合题意；
C．把代入得：，
∴当时，输出结果是11，故C不符合题意；
D．把代入得：，，
∴当时，输出结果是15，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是理解题意，准确计算．
变式3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2023次输出的结果为______．
【答案】2
【分析】根据设计的运算程序计算得到依次输出的结果，发现从8开始以8，4，2，1为一个循环，再利用，，即可得到答案．
【详解】解：由设计的运算程序知，依次输出的结果为50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1，，发现从8开始以8，4，2，1为一个循环，
∵，，∴第2023次输出的结果为2，故答案为：2．
【点睛】此题考查了有理数的运算与计算程序，正确理解运算程序图进行有理数的计算是解题的关键．
考点4、实际问题与有理数混合运算
例4．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是，小莉此时在山脚测得温度是7． 已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8，这个山峰的高度大约是多少米？
【答案】1000米
【分析】先求出山脚和山顶的温差，然后用温差除以0.8，所得的结果乘以100即为山峰高度．
【详解】解：由题意知，（米），答：这个山峰的高度大约是1000米．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用．解题的关键在于理解题意并正确运算．
变式4．（2023年北京市石景山区中考一模数学试题）为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的型、型环保板材，具体要求如下：
板材要求板材型号 板材规格 需用量
型板材 块
型板材 块
现只能购得规格为的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，裁法如下（损耗忽略不计）：
裁法板材型号 裁法一 裁法二 裁法三
型板材
型板材
上表中的值为_______；公司需购入标准板材至少_______张．
【答案】 2 190
【分析】利用标准板材得长减去型板材的长再除以即可求出的值，根据型板材的需求量大，以及三种不同裁法，标准板材的利用率进行选择，计算即可得出至少需购进标准板材的数量．
【详解】解：∵，∴；
∵，，
又，∴选择裁法一和裁法二，所需板材最少，
∵，，
∴公司需购入标准板材至少张；故答案为：2，190．
【点睛】本题考查有理数运算的实际应用，解题的关键是求出各裁法的损耗，找出搭配方案．
考点5、有理数简便运算-归类法与凑整法
例5．（2022·山东烟台·期末）计算：
（1） （2）（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．
【答案】（1） （2）-5
【分析】（1）根据有理数的运算进行计算即可，注意符号问题．（2）根据有理数加减法放入法则进行计算即可．
【解析】（1）解：
=
（2）原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5
＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）
＝﹣20+15
＝﹣5．
变式5．（2022·浙江七年级期末）计算
(1) （2）．
【答案】(1)－18（2）3；
(1)解∶原式＝(－21－)＋3－
＝ －22＋3
＝－18
(2)解：（1）
=
=
=
=3；
变式6．（2022·河南驻马店·七年级期末）计算：
（1）； (2)；
【答案】（1）；（2）-7
【分析】（1）先化简绝对值、去括号，再计算加减法即可得；（2）先算同分母分数，再算加减法即可求解；
【详解】解：（1）原式；
(2)解：；
考点6、有理数简便运算-逆向法
例6．（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）用简便算法计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；
（2）将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用．
变式6．（2022秋·广西贵港·七年级校考阶段练习）利用简便方法计算下列各题：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
考点7、有理数简便运算-拆项法
例7．（2022·河北·石家庄七年级阶段练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】(1)将带分数拆成整数部分和分数部分，然后再将整数部分结合，分数部分结合，进行简便运算；(2)同(1)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可；
【详解】(1)解：原式
；
(2)解：原式
；
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除四则运算法则，注意运算顺序：先乘除，后加减即可．
变式7．（2022·浙江七年级期中）计算：
(1)； （2）
【答案】(1)5（2）11110；
【分析】（1）先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可；（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到由此求解即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
【点睛】本题主要考查了分数与小数的混合计算，分数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
考点8、有理数简便运算-组合法
例8.（2022秋 襄汾县期中） ( http: / / www.m / math / report / detail / 99971a75-b842-4267-8980-e5dab444fb8c" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016
【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论．
【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，
∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．
变式8．（2022·深圳市龙岗区七年级月考）计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝___________．
【答案】
【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果．
【详解】解：原式===，故答案为：．
【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．
考点9、有理数简便运算-裂项相消法
例9．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）观察下列等式：
……
请根据，上面计算规律计算___________．
【答案】
【分析】原式利用拆项法变形，计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：
＝ 故答案为：．
【点睛】此题主要考查了有理数的运算，解题的关键是根据已知的等式找到规律进行化简求解．
变式9．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）观察下列式子的规律：，，，，……，计算______．
【答案】
【分析】根据题目中式子的特点，通过裂项抵消的方法可以解答本题．
【详解】解：
．故答案为：.
【点睛】本题考查数字类规律探索、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，求出所求式子的值．
变式10．（2022·温州市七年级月考）计算的值．
【答案】
【分析】由题意，先把每个分数进行拆项，变成差的形式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意，则
=
==．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，解题关键是掌握运算法则，正确进行拆项，从而进行解题．
考点10、有理数简便运算-倒数求值法
例10．（2022·娄底市七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】．
【分析】根据题意，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．
变式10．（2022·湖北黄冈市·七年级月考）阅读下列材料：
计算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1） 上述得到的结果不同，你认为解法　 　是错误的；
（2） 请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
【答案】（1）解法一；（2）
【分析】（1）根据有理数的计算方法判断即可；（2）选择解法二求出值即可；
【详解】（1）杉树得到的结果不同，通过分析可得解法一不正确；
（2）根据解法二的形式可得：
原式;
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·天津·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．4 B．-4 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法和除法的运算法则运算即可．
【详解】解：原式= =-16．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法和除法的运算法则．
2．（2022·河北石家庄·七年级期末）下列式子中，正确的算式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案.
【详解】A：，故A错误；B：，故B错误；
C：，故C错误；D：，故D正确；故答案选择D.
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，比较简单，需要熟练掌握有理数的混合运算法则.
3．（2022·河北·平泉市七年级期末）三位同学在计算时，用了不同的方法：小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是；
聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到；
明明说：把12与，，分别相乘后再相加，得到结果是．
对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是（ ）
A．三位同学都用了运算律 B．聪聪使用了加法结合律
C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交换律
【答案】C
【分析】根据运算律的特点判断即可．
【详解】根据题意，明明使用了分配律，是正确的，其余三位同学的描述都是错误的。故选C．
【点睛】本题考查了运算律，正确理解运算律是解题的关键．
4．（2022·河北石家庄·二模）所得的结果是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】直接提取公因式（ 2）2021，进而得出答案．
【详解】解：（ 2）2021＋（ 2）2022＝（ 2）2021×（1 2）＝22021．故选：A．
【点睛】此题主要考查了提取公因式以及有理数的混合运算，正确找出公因式是解题关键．
5．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）若成立，则“”中的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别将选项中所给的运算符号代入“”逐一进行求解即可得答案．
【详解】若“”中的运算符号是+，则有；
若“”中的运算符号是，则有；
若“”中的运算符号是，则有；
若“”中的运算符号是，则有；故选：．
【点睛】本题主要考查有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
6．（2023春·重庆沙坪坝·七年级校考开学考试）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是，则最后输出的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入程序中计算，判断结果是否，以此类推，得到结果时输出即可．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，则最后输出的结果为，故选：A．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期中）若，则计算的结果是（ ）
A． B．120 C． D．300
【答案】A
【分析】先利用与的互为倒数，求出的值，再计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∴．故选A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，求出是解答本题的关键．
8．（2022·四川资阳·七年级期末）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则（68）（35）的结果是（　　）
A．60 B．69 C．112 D．90
【答案】D
【分析】首先理解两种运算“ ”“*”的规定，然后按照混合运算的顺序，有括号的先算括号里面的，本题先算6 8，3 5，再把它们的结果用“*”计算．
【详解】解：由题意知，（6 8）*（3 5）=（6+8-1）*（3+5-1）=13*7=13×7-1=90．故选：D．
【点睛】本题考查了学生读题做题的能力．理解两种运算“ ”“*”的规定是解题的关键．
9．（2021·河南·鹤壁市外国语中学七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（ ）
A．－6 B．－5 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题．
【详解】解：根据题意得，故选：A．
【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·河北唐山·七年级期末）已知四个有理数：，如果从中任选两个数并分别对它们进行加、减、乘、除四则运算，那么可以得到的最大结果为（ ）
A．18 B．24 C．27 D．72
【答案】B
【分析】根据已知，从中任选两个数并分别对它们进行加、减、乘、除，比较结果及可得答案．
【详解】解：根据题意，两数相乘、除，同号得正，异号得负，而（-8）×（-3）=24，9÷=18，
∴最大结果为（-8）×（-3）=24，故选：B．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数加、减、乘、除的运算法则．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
【答案】13
【分析】根据题意可得，把，代入进行计算即可解答．
【详解】解：当，时，
．故答案为：13．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一）
【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：（5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．
13．（2022·湖北随州·中考真题）计算：______．
【答案】0
【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红想顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码应该是___.
【答案】
【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可．
【详解】解：由三个等式，得到规律：
，
，
，
，
即是密码：，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键．
15．（2022·江西赣州·七年级期末）已知a，b互为相反数， m，n互为倒数，则的值是_______．
【答案】-2020
【分析】利用相反数、倒数的性质求出a+b与mn的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】根据题意得：a+b=0，mn=1，
则=-2020+0=-2020．故答案为：-2020．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数的性质、倒数的定义及有理数的混合运算顺序与运算法则．
16．（2022·河南·郑州市七年级期末）计算：____________．
【答案】-2
【分析】先计算乘方和绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【详解】解：原式．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17．（2022·四川宜宾·七年级期末）规定，请你按照这种运算的规定，计算__________．
【答案】-4
【分析】直接根据新定义计算即可．
【详解】解：∵，∴，故答案为：-4．
【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
18．（2022·江苏南京·七年级期末）小明在计算1－3＋5－7＋9－11＋13－15＋17时，不小心把一个运算符号写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了－17，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了．
【答案】6
【分析】先确定哪一个数的符号出了错，再确定这个符号是第几个．
【详解】∵1－3＋5－7＋9－11＋13－15＋17=9，
∴-17小于9，∴一定是把+错写成减号了，
∴这个数为[9-（-17）]÷2=13，∴是第六个符号写错了，故答案为：6．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，大小的比较，熟练进行计算是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北沧州·一模）计算：．
解法1：原式①
②
③
解法2：原式①
②
③
(1)解法1是从第_____步开始出现错误的；解法2是从第_____步开始出现错误的；（填写序号即可）(2)请给出正确解答．
【答案】(1)①；③ (2)解答过程见详解
【分析】（1）根据有理数运算法则判断即可；
（2）按照运算法则，先进行乘除运算，再进行加减运算即可．
(1)解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误；
解法2，，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误．
故答案为：①；③．
(2)解：原式
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键在于熟练掌握有理数混合运算的运算法则．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨期中）
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）-19；（2）-1；（3）1；（4）-27
【分析】（1）先去括号再求解；（2）先去括号再求解；
（3）先把除号变成乘号再求解；（4）先计算立方，再依次计算即可得到答案．
【详解】（1）
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=
=．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则．
21．（2022·河北·石家庄市二模）李老师课上讲了两道利用运算律进行简便运算的例题：
例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176，
例2：﹣16233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233，
请你参考老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：
(1)999×（﹣15）；(2)999×118+333×（﹣）﹣999×18．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先将999写成（1000-1）的形式，再使用乘法分配律计算即可；
（2）提取公因式999，先计算括号内的，再进行简便运算即可．
(1)解：原式=（1000-1）×（-15）
=-15000+15
=-14985；
(2)原式=
=999×
=999×100
=99900．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握乘法的分配律，准确计算是解题的关键．
﹣9－（﹣12）＝3，
∴第一个因数增加1后积的变化是增加3，故选：C
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．（2022·郑州市中原区第一中学七年级月考）阅读下面文字：
对于(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)
可以如下计算：
原式＝[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]
＝[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]
＝0+(﹣1)
＝﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
【答案】
【分析】先仿照题目给出的方法把每一项拆成两项，再根据有理数的加法法则和加法运算律解答即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
【点睛】本题考查了有理数的加法，正确理解题意、熟练掌握加法法则和加法运算律是解题的关键．
23．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价25元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每箱以35元为标准，超出35元的部分记为正，不足35元的部分记为负，超市记录第一周牛奶的售价情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每箱价格相对于标准价格（元） +5 +3 -2 +2 -1 +1 -4
售出箱数 5 10 35 15 30 20 50
(1)这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期几？最高单价是多少元？
(2)这一周超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
(3)超市为了促销这种牛奶，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过3箱，每箱36元；超出3箱，超出的部分，每箱打8折；
方式二：每箱售价36元，每买一箱牛奶送一盒成本为4元钱的酸奶一瓶．
李老师打算买6箱牛奶，通过计算说明，促销员希望李老师通过哪种方式购买才会使得超市盈利较多？
【答案】(1)这一周超时售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是40元；
(2)这一周超市出售此种牛奶是盈利的，盈利1455元；
(3)促销员希望李老师通过方式一购买才会使得超市盈利较多，理由见详解．
【分析】（1）由题意及表格可直接进行求解；
（2）根据题意易得每箱按35元售出时的利润为10元，然后根据有理数的混合运算的应用可进行求解；（3）分别算出方式一与方式二的利润，然后问题可求解．
(1)解：由表格得：这一周超时售出的牛奶单价最高的是星期一，此时单价为35+5=40元；
答：这一周超时售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是40元．
(2)解：由题意得：每箱按35元售出时的利润为35-25=10元，
∴
=75+130+280+180+270+220+300=1455（元）；
答：这一周超市出售此种牛奶是盈利的，盈利1455元．
(3)解：由题意得：
方式一：（元）；
方式二：（元）；
∴促销员希望李老师通过方式一购买才会使得超市盈利较多．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
24．（2022·河北张家口·一模）阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法：
例1：把和化成分数
乘10原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，
算式如下：，即，所以
同样道理，把化成分数算式如下：
，即，所以
根据上面材料完成：
(1)直接把下面无限循环小数化为分数__________，__________；
(2)请把下面无限循环小数，化为分数，写出计算过程
(3)无限循环小数（a、b均表示一位的正整数）
【答案】(1)，(2)；；见解析 (3)
【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可；（3）仿照题意求解即可．
(1)解：∵，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴；
(3)解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键．
25．（2022·浙江衢州市·七年级期中）阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第①步）
＝ （第②步）
＝（－15）÷（－25）（第③步）
＝ （第④步）
（1）上面解题过程中有错误的步骤是________．（填序号）
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）②④；（2）见解析
【分析】（1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可；
（2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】解：（1）②乘法和除法的混合运算，要依次计算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误，故填：②④；
（2）原式 ＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点睛】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
7．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（为正整数）
（2）根据规律计算：
．
【答案】（1），，；（2）．
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
【详解】（1），
，
，
故答案为：，，；
（2）原式，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．
附20道 有理数混合运算专项训练:
1．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算：
(1) (2) (3)
【答案】(1)-3 (2)-13 (3)15
【分析】根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序，先计算括号内的，然后按照先乘方，后乘除，再加减的顺序进行计算即可求解．
(1)解：原式＝
(2)解：原式＝
(3)解：原式＝
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
2．（2022·河南南阳·七年级期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)-7 (2)7
【分析】（1）利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
(1)原式=
．
(2)原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·湖南·常德市第七中学七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)8 (2)45 (3)-1 (4)2
【分析】（1）先化简符号，再根据有理数的加减法计算即可；（2）先确定积的符号，再互为倒数先算，再计算乘法即可；（3）根据乘法对加法的分配率计算，再进行有理数的加减法即可；
（4）先计算乘法，绝对值，再计算除法即可．
(1)解：
=
=8；
(2)解：
=
=45；
(3)解：
=
=-16+6+9
=-1；
(4)解：
=
=2．
【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算，乘法分配律，掌握含乘方的有理数混合运算，乘法分配律是解题关键．
4．（2021·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）利用有理数加法和减法法则按照从左到右的顺序依次计算；
（2）先算乘方，并把带分数化成假分数，再计算乘除，最后计算加减，同时按照先算小括号再算中括号的运算顺序计算即可；（3）利用乘法分配律进行计算即可；（4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可.
(1)原式=；
(2)原式=
=
=；
(3)原式=
=
=
=5；
(4)原式=
=
=
=
=.
【点睛】本题考查有理数的加减乘除及乘方的混合运算，解题关键是牢记运算法则，掌握运算顺序.
5．（2022·全国·七年级）计算：
(1)； (2)－12×(－5)÷[－32＋(－2)2]．
【答案】(1)28 (2)-12
【分析】先算乘方，再算加减；
按有理数混合运算的顺序计算即可；
(1)解：
=28
(2)解：-12×(-5)÷[-32＋(-2)2]
=-12×(-5)÷[-9＋4]
=-12×(-5)÷(-5)
=-12
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键，每一项的符号是易错点．
6．（2022·全国·七年级）计算
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
7．（2022·全国·七年级）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）35
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
8.（2022·湖北省初一月考）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）35
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】解：（1）
====
（2）
===35
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2021·全国·七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1) (2) (3) (4)
(1)解：
．
(2)
．
(3)
．
(4)
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确计算是解题的关键．
10．（2021·全国·七年级期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)．
【答案】(1)2(2)100(3)-36(4)
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；（2）根据乘法分配律计算即可；（3）按有理数混合运算的顺序计算即可；
（1）先算乘方，再结合乘法分配律计算即可.
(1)解：原式=
=-44+56-36+26
=2；
(2)解：原式=
=×（370+24.5+5.5）
=×400
=100；
(3)解：原式=
=
=-18-18
=-36；
(4)解：原式=
=
=-
=-4+
=
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序和法则是解答此题的关键.
21．（2021·全国·七年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法，最后将结果相加即；
（2）分别计算乘方和括号，再计算乘法，最后将结果相加即可．
(1)解：
；
(2)解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．
12.（2021·全国初一课时练习）计算：
（1）－22÷×； （2）2×(－)÷(－2)； （3）17－23÷(－2)×3；
（4）2×(－5)＋23－3÷； （5）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5．
【答案】（1）－；（2）；（3）29；（4）－8；（5）－1060．
【分析】（1）先算乘方、再变除为乘，最后进行乘法运算即可；（2）先算括号、再变除为乘，最后进行乘法运算即可； （3）先算乘方、再变除为乘，然后算乘法，最后算加减即可；（4）先算乘方、然后按有理数的四则混合运算法则计算即可； （5）先算乘方、再算括号，然后变除为乘，最后按有理数的四则混合运算法则计算即可．
【解析】（1）原式＝－4÷×=－4××＝－6×＝－；
（2）原式＝×÷＝××＝；
（3）原式＝17＋8××3＝17＋12＝29；
（4）原式＝－10＋8－6＝－8；
（5）原式＝－125×8－60＝－1000－60＝－1060．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的四则混合运算，掌握并灵活运用运算步骤是解答本题的关键．
13．（2022·全国·七年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)-49 (2)0
【分析】（1）根据乘方及乘法分配律去括号，再按从左到右计算即可；
（2）先算乘方，再算括号，再算乘法，最后算加减．
(1)原式，
，
；
(2)原式，
，
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及乘方，乘法分配律，熟练掌握运算法则及运算步骤是解题的关键．
14．（2021·全国·七年级期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)-1 (2)
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
（2）原式先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可得到结果．
(1)解：原式=
(2)解：原式=
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
15．（2022·全国·七年级期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)－7 (2)
(1)解：
．
(2)解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
16．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）按照有理数混合运算的顺序依次计算即可得出答案．
（2）按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
(1)原式
(2)原式
【点睛】本题考查了有理数的运算能力，解题的关键是正确掌握有理数混合运算的顺序：先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
17．（2021·江苏初一课时练习）计算：
（1）； （2）．
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）27；（4）11．
【分析】（1）先去括号，再算乘法即可．（2）先去括号，再算乘法，再算加法即可．
（3）先转换成假分数的形式，再算乘法即可．（4）根据乘法分配律求解即可．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
（3）．
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数混合运算问题，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
18．（2021·河北邯郸·七年级期中）能简算的要简算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）25；（2）11110；（3）；（4）10
【分析】（1）先把小数化为分数，然后根据乘法的结合律进行计算求解即可；
（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到由此求解即可；（3）直接根据分数的混合计算法则进行求解即可；
（4）先把小数化为分数，然后根据分数的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题主要考查了分数与小数的混合计算，分数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
19．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）16．
【分析】（1）先计算除法，再计算加法，两个有理数相除，同号得正；
（2）乘除法，同级运算，从左到右，依次将除法转化为乘法，先确定符号，再将数值相乘；
（3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律解题，注意符号；
（4）先算乘除，再算减法，结合加法结合律解题；
（5）先算小括号，再算除法；（6）先算小括号，再算中括号；
（7）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算解题；
（8）先算小括号，再算中括号，结合乘法交换律解题．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，涉及加法结合律、乘法分配律等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20．（2021·湖北宜昌·七年级期末）计算
(1)4＋（－2）3×5－（－0.28）÷4 (2)
【答案】(1)－35.93 (2)6
【分析】（1）先算乘方，在算乘除，最后算加减计算即可；
（2）先算乘方，在算乘除，最后算加减计算即可；
(1)原式＝4＋（－8）×5＋0.07
＝4－40＋0.07
＝－35.93
(2)原式＝
＝－8＋（16＋20－22）
＝6
【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算与整式的加减运算，掌握基本法则，结合分配律，交换律求解；
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专题2.6 有理数的混合运算与七种简算方法
模块1：学习目标
1. 熟练掌握有理数混合运算法则；
2. 能运用有理数的混合运算法则解决实际问题，框图程序问题等；
3. 熟练掌握有理数的简算方法（归类法、凑整法、逆向法、拆项法、组合法、裂项相消法、倒数求值法）。
模块2：知识梳理
1)有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算先将除法化为乘法-→确定积的符号-→按从左到右的顺序运算-→求出结果.
结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶數个时结果为正,负因数的个数是奇数个时结果为负。化成乘法后,应先约分再相乘.
2)有理数的加减乘除混合运算
有理数的四则混合运算,应遵循有括号先算括号(一般先算小括号,再算中括号,最后算大括号)里面的运算，无括号则按“先乘除,后加减”的顺序计算.
3)有理数的混合运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
4）有理数常用简算方法：
（1）归类法：运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等；
（2）凑整法：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消；
（3）逆向法：主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单；
（4）拆项法：将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁；
（5）组合法：找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目；
（6）裂项相消法：将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁；
（7）倒数求值法：先将除数与被除数调换位置，当除数为一个数时 ，我们把除法转化为乘法后，就可以运用乘法法则进行计算了，在得到结果后，在进行一次倒数的运算就可以得到原式的答案。
模块3：核心考点与典例
考点1、有理数的混合运算
例1．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）计算：_____________．
变式1．（2023·河北衡水·校联考二模）计算的过程，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
考点2、有理数混合运算-24点游戏
例2．（2023春·浙江·七年级专题练习）“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是 ．
变式2．（2022秋·广东佛山·七年级佛山市荣山中学校考期中）有一种“二十四点”游戏，游戏规则如下：任取四个1到13间的自然数，将这四个数进行加减乘除四规运算（每个数只能用一次），使其结果等于24，现有四个有理数，，2，7，如何凑成24？
考点3、程序框图与有理数混合运算
例3．（2023秋·河南开封·七年级统考期末）计算机编程语言是指用于人与计算机之间通信的语言，是人与计算机之间传递信息的媒介，因为它是用来进行程序设计的，所以又称程序设计语言或者编程语言，如图所示的运算程序中，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求（结果大于10）为止当输出的数为11时，输入的数字不可能是（ ）
A． B．3 C． D．4
变式3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2023次输出的结果为______．
考点4、实际问题与有理数混合运算
例4．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是，小莉此时在山脚测得温度是7． 已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8，这个山峰的高度大约是多少米？
变式4．（2023年北京市石景山区中考一模数学试题）为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的型、型环保板材，具体要求如下：
板材要求板材型号 板材规格 需用量
型板材 块
型板材 块
现只能购得规格为的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，裁法如下（损耗忽略不计）：
裁法板材型号 裁法一 裁法二 裁法三
型板材
型板材
上表中的值为_______；公司需购入标准板材至少_______张．
考点5、有理数简便运算-归类法与凑整法
例5．（2022·山东烟台·期末）计算：
（1） （2）（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．
变式5．（2022·浙江七年级期末）计算
(1) （2）．
变式6．（2022·河南驻马店·七年级期末）计算：
（1）； (2)；
考点6、有理数简便运算-逆向法
例6．（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）用简便算法计算：
(1) (2)
变式6．（2022秋·广西贵港·七年级校考阶段练习）利用简便方法计算下列各题：
(1) (2) (3)
考点7、有理数简便运算-拆项法
例7．（2022·河北·石家庄七年级阶段练习）计算
(1) (2)
变式7．（2022·浙江七年级期中）计算：
(1)； （2）
考点8、有理数简便运算-组合法
例8.（2022秋 襄汾县期中） ( http: / / www.m / math / report / detail / 99971a75-b842-4267-8980-e5dab444fb8c" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016
变式8．（2022·深圳市龙岗区七年级月考）计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝___________．
考点9、有理数简便运算-裂项相消法
例9．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）观察下列等式：
……
请根据，上面计算规律计算___________．
变式9．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）观察下列式子的规律：，，，，……，计算______．
变式10．（2022·温州市七年级月考）计算的值．
考点10、有理数简便运算-倒数求值法
例10．（2022·娄底市七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
变式10．（2022·湖北黄冈市·七年级月考）阅读下列材料：
计算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1） 上述得到的结果不同，你认为解法　 　是错误的；
（2） 请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·天津·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．4 B．-4 C．16 D．-16
2．（2022·河北石家庄·七年级期末）下列式子中，正确的算式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北·平泉市七年级期末）三位同学在计算时，用了不同的方法：小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是；
聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到；
明明说：把12与，，分别相乘后再相加，得到结果是．
对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是（ ）
A．三位同学都用了运算律 B．聪聪使用了加法结合律
C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交换律
4．（2022·河北石家庄·二模）所得的结果是（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）若成立，则“”中的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·重庆沙坪坝·七年级校考开学考试）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是，则最后输出的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期中）若，则计算的结果是（ ）
A． B．120 C． D．300
8．（2022·四川资阳·七年级期末）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则（68）（35）的结果是（　　）
A．60 B．69 C．112 D．90
9．（2021·河南·鹤壁市外国语中学七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（ ）
A．－6 B．－5 C． D．
10．（2022·河北唐山·七年级期末）已知四个有理数：，如果从中任选两个数并分别对它们进行加、减、乘、除四则运算，那么可以得到的最大结果为（ ）
A．18 B．24 C．27 D．72
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
12．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
13．（2022·湖北随州·中考真题）计算：______．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红想顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码应该是___.
15．（2022·江西赣州·七年级期末）已知a，b互为相反数， m，n互为倒数，则的值是_______．
16．（2022·河南·郑州市七年级期末）计算：____________．
17．（2022·四川宜宾·七年级期末）规定，请你按照这种运算的规定，计算__________．
18．（2022·江苏南京·七年级期末）小明在计算1－3＋5－7＋9－11＋13－15＋17时，不小心把一个运算符号写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了－17，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北沧州·一模）计算：．
解法1：原式①
②
③
解法2：原式①
②
③
(1)解法1是从第_____步开始出现错误的；解法2是从第_____步开始出现错误的；（填写序号即可）(2)请给出正确解答．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨期中）
（1） （2） （3） （4）
21．（2022·河北·石家庄市二模）李老师课上讲了两道利用运算律进行简便运算的例题：
例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176，
例2：﹣16233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233，
请你参考老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：
(1)999×（﹣15）；(2)999×118+333×（﹣）﹣999×18．
22．（2022·郑州市中原区第一中学七年级月考）阅读下面文字：
对于(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)
可以如下计算：
原式＝[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]
＝[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]
＝0+(﹣1)
＝﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
23．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价25元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每箱以35元为标准，超出35元的部分记为正，不足35元的部分记为负，超市记录第一周牛奶的售价情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每箱价格相对于标准价格（元） +5 +3 -2 +2 -1 +1 -4
售出箱数 5 10 35 15 30 20 50
(1)这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期几？最高单价是多少元？
(2)这一周超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
(3)超市为了促销这种牛奶，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过3箱，每箱36元；超出3箱，超出的部分，每箱打8折；
方式二：每箱售价36元，每买一箱牛奶送一盒成本为4元钱的酸奶一瓶．
李老师打算买6箱牛奶，通过计算说明，促销员希望李老师通过哪种方式购买才会使得超市盈利较多？
24．（2022·河北张家口·一模）阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法：
例1：把和化成分数
乘10原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，
算式如下：，即，所以
同样道理，把化成分数算式如下：
，即，所以
根据上面材料完成：
(1)直接把下面无限循环小数化为分数__________，__________；
(2)请把下面无限循环小数，化为分数，写出计算过程
(3)无限循环小数（a、b均表示一位的正整数）
25．（2022·浙江衢州市·七年级期中）阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第①步）
＝ （第②步）
＝（－15）÷（－25）（第③步）
＝ （第④步）
（1）上面解题过程中有错误的步骤是________．（填序号）
（2）请写出正确的解题过程．
7．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（为正整数）
（2）根据规律计算：
．
附20道 有理数混合运算专项训练:
1．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算：
(1) (2) (3)
2．（2022·河南南阳·七年级期末）计算
(1) (2)
3．（2022·湖南·常德市第七中学七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
4．（2021·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
5．（2022·全国·七年级）计算：
(1)； (2)－12×(－5)÷[－32＋(－2)2]．
6．（2022·全国·七年级）计算
（1）； （2）；
（3）； （4）．
7．（2022·全国·七年级）计算：
（1）； （2）．
8.（2022·湖北省初一月考）计算：
（1） （2）
9．（2021·全国·七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
10．（2021·全国·七年级期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)．
11．（2021·全国·七年级期中）计算：
(1)； (2)．
12.（2021·全国初一课时练习）计算：
（1）－22÷×； （2）2×(－)÷(－2)； （3）17－23÷(－2)×3；
（4）2×(－5)＋23－3÷； （5）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5．
13．（2022·全国·七年级期末）计算：
(1) (2)
14．（2021·全国·七年级期末）计算
(1) (2)
15．（2022·全国·七年级期末）计算
(1) (2)
16．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）计算：
(1)； (2)．
17．（2021·江苏初一课时练习）计算：
（1）； （2）．
（3）； （4）．
18．（2021·河北邯郸·七年级期中）能简算的要简算
（1） （2）
（3） （4）
19．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
20．（2021·湖北宜昌·七年级期末）计算
(1)4＋（－2）3×5－（－0.28）÷4 (2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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