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济宁市2022-2023学年高一下学期期末考试
数学试题
2023．07
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若为角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的边的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
4．（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，要测量电视塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个观测基点与，在点测得塔顶的仰角为，在点测得塔顶的仰角为，且，，则电视塔的高度为（ ）
A．25m B．20m C．15m D．10m
7．在三棱锥中，，是边长为6的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，边上一点满足，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数的的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．在上为减函数
D．把的图象向右平移个单位长度可得一个偶函数的图象
10．已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为钝角
D．当时，则在上的投影向量的坐标为
11．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（ ）
A．男生样本容量为100 B．抽取的样本的均值为
C．抽取的样本的均值为166 D．抽取的样本的方差为43
12．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，点为棱上的动点（包含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．的最小值为
D．当P为的中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则________．
14．已知是关于的方程的一个根，则________．
15．在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为________．
16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
某学校举行高一学生数学素养测试，现从全年级所有学生中随机抽取100名学生的测试成绩（其成绩都落在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，．
（1）求频率分布直方图中的值：
（2）估计该样本的80%分位数．
18．（12分）
已知向量与的夹角为，且，．
（1）求;
（2）若向量，，求与的夹角．
19．（12分）
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
20．（12分）
如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面;
（2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积．
21．（12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
（1）求角的大小;
（2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
22．（12分）
如图，在直三棱柱中，平面平面．
（1）求证：为直角三角形;
（2）设点，分别为棱，的中点，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
济宁市2022-2023学年高一下学期期末考试
数学试题参考答案
2023．07
一、选择题：每小题5分，共40分。
1．B 2．A 3．C 4．A
5．D 6．C 7．B 8．C
8．解析：在中，．①
在中，．②
因为，，，
由①：②得，
易求，所以，，所以．
二、选择题：每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．AB 10．BD 11．ACD 12．ABD
三、填空题：每小题5分，共20分。
13．4 14． 15． 16．
16．解析：由条件可得
，，
，
，即，
．
由为锐角三角形得，
解得．
，
所以，当时，取得最大值．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．解：（1）由题意知
3分
解得 5分
（2）因为，
，
，
，
所以该样本的80%分位数一定位于内， 8分
由
可以估计该样本的80%分位数为 10分
18．解：（1）因为，
所以，
即， 3分
解得 4分
（2）因为
6分
，
所以． 8分
同理． 10分
所以 11分
又，所以，
故与的夹角为． 12分
19．解：（1） 2分
， 4分
由，得，
所以，的单调递增区间为， 6分
（2）由，得 7分
因为，
所以，
所以， 9分
所以
12分
20．解：（1）法一：连接交于点，连接，，
因为为三棱台，，所以，
又为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形， 3分
所以为的中点，又为的中点，所以， 4分
又平面，平面，
所以平面 6分
法二：，分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面 2分
，为的中点，，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面， 4分
又，
平面平面 5分
又平面，所以平面 6分
（2）设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为，
设三棱台的高为，则 9分
所以 12分
21．解：（1）因为，
所以，
即， 2分
由正弦定理得，即 4分
由余弦定理得， 5分
又，所以 6分
（2）由余弦定理得，即 8分
所以，
即（当且仅当时，等号成立） 9分
因为，
所以，
解得 10分
因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），
所以长度的最大值为． 12分
22．解：（1）为直三棱柱，
平面，
又平面，
， 1分
过点作，垂足为．
平面平面，平面平面，
平面，
又平面，
， 2分
又，，
平面 3分
．
为直角三角形 4分
（2）由（1）知，平面，
，，
即为二面角的平面角， 6分
，
， 7分
作平面，垂足为，则为直线与平面所成的角． 8分
，
， 9分
10分
，
，即，
11分
，
直线与平面所成角的正弦值为． 12分

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