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数列求和的四种常见类型
类型1．公式求和
已知数列的前项之积为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.
请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据当时，计算并检验成立即可得答案；
（2）根据等差数列基本计算得，进而，再分组求和即可.
【详解】（1）解：当 时，
当时，
综上，；
（2）解：若选①，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得
所以，，
所以，，
所以，
所以，
若选②，
设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，所以，解得
所以，，
所以，，
所以，
所以，
类型2．裂项求和
，则：
.
记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
类型3：错位相减
型如的数列求和，其基本解题步骤如下：
Step1：由题可得：
Step2：故①， ②
Step3：由①－②得：
Step4：化简： .
若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前n项和
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q，
依题意有： ，
，解得 （舍）， ，
；
（2）令 ， ，
…①，
…②，
①-②得：
，
；
（3） ，
；
综上， ，， .
类型4. 分组求和
主要用于通项由两部分不同形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.
.
在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）条件选择见解析，;（2）
【解析】（1）选①，当时，则有，即，解得；
对任意的，因为，则，
故，即，
因，，所以定值，
故数列是首项，公差为的等差数列，
所以.
选②，因为，故，
所以，故数列是常数列，
所以，故.
（2）知，，故，
对任意的，，
所以，即为数列的前项和，
因为，故数列为等差数列，
所以.

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