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第十二章　全等三角形
12.1　全等三角形
学习目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素.
2.能熟练地找出两个全等三角形的对应角、对应边.
3.知道全等三角形的性质,能根据性质证明线段相等或角相等.
学习策略
1.结合以前学过的三角形，理解三角形的基本要素；
2.牢记三角形的三边关系.
学习过程
一.复习回顾：
1.三角形的内角和定理和外角和定理的内容是什么？
2. 观察下列几组图形，他们的形状和大小有什么特点？
二.新课学习：
阅读课本本节的内容，解决下列问题.
知识点一：全等形的概念
根据“探究”，并动手操作，你会发现什么 说一说.
【答案】形状、大小相同的三角板和纸板放在一起完全重合.形状、大小相同的图形放在一起也完全重合
综之：能够　 　的两个图形叫做全等形.
【答案】完全重合
知识点二：全等三角形
1.定义：能够完全　 　的两个三角形叫做全等三角形.
【答案】重合
2.全等三角形的对应元素：两个三角形重合时，重合的顶点是　 　，重合的边是　 　，重合的角是　 　.
【答案】对应顶点；对应边；对应角
3.全等三角形的表示方法
(1)“全等”用　 　表示，读作　 　.
(2)记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的　 　写在对应的位置上.
【答案】(1)≌，全等于；(2)字母
4.全等三角形的性质
全等三角形 对应边 对应角
关系 　 　 　 　
△ABC≌△DEF AB=　　 AC=　　 BC=　　 ∠A=∠　　 ∠B=∠　　 ∠C=∠　　
【答案】相等；相等；DE、DF、EF；D、E、F
三.尝试应用：
例1. 填空：
(1)如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△COD重合，这说明△AOB≌△COD．这两个三角形的对应边是AO与CO，OB与OD，BA与DC；对应角是∠AOB与∠COD，∠OBA与∠ODC，∠BAO与∠DCO.
(2)如图，△ABC≌△ADE，则，AB=AD，∠E=∠C．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=80°.
(3)△ABC≌△DEF且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4， 则AC=5．
(4)△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，BC=5cm．
例2.已知：△DEF≌△MNP，EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.
解：因为△DEF≌△MNP,EF=NP，∠F=∠P,
所以∠M=∠D=48°,∠N=∠E=52°,DE=MN=12 cm.
又∠M+∠N+∠P=180°
所以∠P=80°
四.自主总结：
1.全等三角形和全等三角形的对应边和对应家怎么找？
2.全等三角形的性质
五.达标测试
一、选择题
1. 下列各图形中，不是全等形的是(　　)
2. 如图，△ABE≌△ACF．若AB=5，AE=2，BE=4，则CF的长度是（　　）
A．4 B．3 C．5 D．6
3. 如图所示，将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4. 有下列说法： ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同 ;③两个正方形一定是全等形； ④边数相同的图形一定能够重合. 其中错误说法的个数为（ B ）
A.4 B.3 C.2 D.1
5. 若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为(　　)
A.5 B.8 C.7 D.5或8
若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，则DF长为（　　）
A．5 B．8 C．7 D．5或8
二、填空题
6. 如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌___________，AB的对应边是__________，BC的对应边是______，∠BCA的对应角是______．
7. 如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=46°，则∠DEF等于 .
8. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B重合，点C落到G处，折痕为EF，若∠ABE=20°，则∠EFG的度数为（　　）
A．125° B．120° C．135° D．150°
三、解答题
9. 如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
10.如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，
在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边. EF=2.1 cm，EH=1.1 cm，NH=3.3 cm.
（1） 写出其他对应边及对应角；
（2） 求线段NM及线段HG的长度.
参考答案
1.A
2.A 解析：因为△ABE≌△ACF，AB=5，AE=2，BE=4，所以AB=AC=5，AE=AF=2，BE=CF=4，所以CF=4．
3. C解析：将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有△ABD≌△AED，△ABC≌△AEC，△BDC≌△EDC，故选：C．
4. 解析：①错误，不是三角形的图形也能全等；②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；③错误，边长不同的正方形不全等；④错误，两个边长不等的正方形不全等．综上可得①③④错误．故选：B．
5. C 解析：因为△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，
所以AC＝20﹣5﹣8＝7，因为△ABC≌△DEF，所以DF＝AC＝7，故选C．
6. △ADC AD DC ∠DCA 解析：沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌△ADC，AB的对应边是AD，BC的对应边是DC，∠BCA的对应角是∠DCA．
7.34 解析：因为△ABC≌△DEF，所以∠D=∠A=100°，所以∠DEF=180°-∠D-∠F=34°.
8. 125° 解析：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBG=∠D=90°，∠BGF=∠C=90°，所以BE∥GF，所以∠EFG+∠BEF=180°，又因为∠ABE=20°，所以∠AEB=70°，所以∠BEF=∠DEF=55°，所以∠EFG=180°-55°=125°．
9.解：（1）因为△ACE≌△DBF，所以AC=BD，则AB=DC，因为BC=2，所以2AB+2=8，解得：AB=3，故AC=3+2=5；（2）因为△ACE≌△DBF，所以∠ECA=∠FBD，所以CE∥BF．
10.解：(1)对应角为：∠E与∠N，∠EGF与∠NHM
对应边为：EF与MN，EG与NH
（2）因为 △EFG≌△NMH, EF=2.1
所以 MN=EF=2.1.（全等三角形的对应边相等）
因为△EFG≌△NMH， HN=3.3，
所以GE=HN=3.3.(全等三角形的对应边相等)
因为HG=GE－EH, EH=1.1,
所以HG=3.3－1.1=2.2.

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