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2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列语句错误的是( )
A. 实数可分为有理数和无理数 B. 无理数可分为正无理数和负无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 无限小数都是无理数
2. 下列近似数，精确到且有三个有效数字的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，是边上一点，且，下列说法中，错误的是( )
A. 直线与直线的夹角为
B. 直线与直线的夹角为
C. 线段的长是点到直线的距离
D. 线段的长是点到直线的距离
4. 下列三条线段能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是( )
A. 有一个内角是的两个直角三角形
B. 有一个内角是的两个等腰三角形
C. 有一个内角为且腰长为的两个等腰三角形
D. 有一个内角为且腰长为的两个等腰三角形
6. 如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）
7. 的平方根是______ ．
8. 把表示成幂的形式是______ ．
9. 比较大小：______．
10. 数轴上点表示的数是，那么点到原点的距离是______ ．
11. 经过点且平行于轴的直线可以表示为直线______ ．
12. 如果点在第一象限，那么点第______ 象限．
13. 如果将点先向下平移个单位，再向右平移个单位后，得到点，那么点的坐标是______．
14. 已知中，：：：：，如果按角分类，那么是______ 三角形．
15. 等腰三角形的周长为厘米，其中一边长为厘米，那么腰长为______ 厘米．
16. 如图，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，那么______度．
17. 如图，已知在中，、分别平分和，过点作，分别交边、于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么 ______ ．
18. 如图，已知在中，，，、分别是边、上的两条高，与相交于点，联结，那么图中有______ 对全等三角形．
19. 如图，在中，度，如果过点画一条直线能把分割成两个等腰三角形，那么______度．
20. 如图，在中，、分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点落到点的位置如果，，，那么 ______ 度
三、解答题（本大题共10小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
计算：．
22. 本小题分
计算：．
23. 本小题分
利用有理数指数幂的性质进行计算：结果用含幂的形式表示
24. 本小题分
如图，已知，，，试说明的理由．
解：因为已知，所以______
因为已知，所以 ______ ______
因为已知，所以______
即．
所以 ______ 所以______
25. 本小题分
已知：如图，，，，试说明的理由．
解：因为已知，
所以等式性质，
即 ______ ______ ．
在和中，
所以≌( )______
所以 ______ ______ ______
又因为______ ，
即，
所以______
因为已知，
所以______
26. 本小题分
阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，与交于点与的面积相等吗？为什么？
解：作，垂足为，作，垂足为．
又因为已知，
所以______ 平行线间距离的意义．
完成以下说理过程
27. 本小题分
如图，已知，试说明的理由．
28. 本小题分
如图，已知点是线段上一点，，猜想、、之间的数量关系并证明．
29. 本小题分
在直角坐标平面内，已知点的坐标为，点与点关于原点对称，点的坐标为．
画出；
写出点的坐标和的面积：______ ， ______ ；
如果与全等，请写出满足条件的所有点的坐标点不与点重合 ______ ．
30. 本小题分
已知在中，，点是边上一点，．
如图，试说明的理由；
如图，过点作，垂足为点，与相交于点．
试说明的理由；
如果是等腰三角形，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、实数可分为有理数无理数，正确；
B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确；
C、无理数都是无限小数，正确；
D、无限不循环小数都是无理数，故错误；
故选：．
根据实数的分类，即可解答．
本题考查了实数，解决本题的关键是掌握实数的分类．
2.【答案】
【解析】解：、精确到，且有四个有效数字，故A不符合题意；
B、精确到，且有三个有效数字；故B不符合题意；
C、精确到且有三个有效数字，故C符合题意；
D、精确到且有两个有效数字，故D不符合题意；
故选：．
精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位是什么位，有效数字就是从数的左边第一个不是的数起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3.【答案】
【解析】解：、，
直线与直线的夹角是，正确，故本选项不符合题意；
B、，
直线与直线的夹角是，正确，故本选项不符合题意；
C、，
，
线段的长是点到直线的距离，正确，故本选项不符合题意；
D、和不垂直，
线段的长是点到直线的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：．
根据已知角即可判断、；根据点到直线的距离的定义即可判断、．
本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
4.【答案】
【解析】解：，能组成三角形，故此选项正确；
B.，不能组成三角形，故此选项错误；
C.，不能组成三角形，故此选项错误；
D.，不能组成三角形，故此选项错误；
故选A．
根据三角形两边之和大于第三边可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5.【答案】
【解析】解：：不知道两三角形边长关系，从而无法判断全等，故A选项不符合题意；
：不知道两三角形边长关系，从而无法判断全等，故B选项不符合题意；
：若为顶角，则该三角形三角为，，；
若为底角，则该三角形三角为，，，
此时两三角形不全等，故C选项不符合题意；
：为钝角，
只能为等腰三角形的顶角，
根据可知此时两三角形全等，
故D选项符合题意．
故选：．
只知道角的关系无法判断全等，从而可证明，选项不正确；分是顶角和底角两种情况可判断选项不正确；由可判断选项．
本题主要考查了三角形全等的判定．本题的易错点是忽略既可以做底角又可以做顶角，从而错选C．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
补充条件时，≌，故选项A不符合题意；
补充条件，无法判断≌，故选项B符合题意；
补充条件时，则，故，则≌，故选项C不符合题意；
补充条件时，则，则≌，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定≌，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】
【解析】解：，，
的平方根是，
故答案为：．
一个数的平方等于，那么这个数即为的平方根，据此即可求得答案．
本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据幂的表达方法即可得出答案．
本题考查幂的表达方法，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
先把变为算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】
解：
，
故填空答案．
10.【答案】
【解析】解：点到原点的距离．
故答案为：．
依据数轴上两点间的距离公式求解即可．
本题主要考查的是实数与数轴，依据数轴上两点间的距离公式列出算式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：直线和轴平行，
直线上所有点的纵坐标都相等，为，
直线表示为：．
故答案为：．
由直线和轴平行可知直线上所有点的纵坐标，从而可求出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．与轴平行的直线上所有点纵坐标相等，与轴平行的直线上所有点的横坐标相等．
12.【答案】四
【解析】解：由点在第一象限，得，，
，
点在第四象限，
故答案为：四．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得、的取值范围，根据不等式的性质，可得的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出、的取值范围，再利用不等式的性质得出点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围．
13.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形的变化，解决本题的关键是得到各点的平移规律．
【解答】
解：根据题意知点的坐标是，即，
故答案为：．
14.【答案】锐角
【解析】解：设：：：：，
则，
，
，即三角形中最大的角是，
这个三角形是锐角三角形．
故答案为：锐角．
根据三角形的内角和为列出关于的方程，求解可得三角形中最大角的度数，即可判断出三角形的形状．
此题主要是考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，能够根据三角形的内角和定理得到关于的方程是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：当等腰三角形腰长为厘米时，
厘米；
，
，，不能构成三角形，
即腰长为厘米不符合题意；
等腰三角形底为厘米时，
厘米，
，
，，符合题意．
综上所述，腰长为厘米．
故答案为：．
分成等腰三角形的腰长为厘米和底为厘米两种情况，结合周长确定腰长．
本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系．本题的易错点有两个，一是没有讨论已知边是腰还是底，而是没有根据三角形的三边关系对答案进行取舍．
16.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，．
，，
．
又，
为等边三角形，
，，．
，
．
在和中，，
≌，
，
．
故答案为：．
由为等边三角形可得出、，由的度数利用邻补角互补可得出，结合可得出为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出、，根据可得出，利用全等三角形的判定定理可证出≌，根据全等三角形的性质可得出的度数，再根据即可求出的度数．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明≌，找出是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
的周长为，
，
的周长是，
，
，
故答案为：．
由平分，平分，过点作，易得与是等腰三角形，又由的周长为，可得，又由的周长是，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质，三角形的周长，弄清的周长和的周长之间的关系是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
≌，≌，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
≌．
故答案为：．
由等腰三角形的性质可得，，结合可证明≌，≌；从而可证明，由可证明≌；由已知条件可知是等腰直角三角形，即可证明，又由同角的余角相等可证明，由可证明≌．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质．本题的易错点是忽略了已知，从而导致少找一对全等三角形．
19.【答案】
【解析】解：如图，设过点的直线与交于点，则与都是等腰三角形，
度，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
设过点的直线与交于点，则与都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，得出，，根据三角形外角的性质即可求得．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，，
．
由翻折而成，
，．
，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
21.【答案】解：
．
【解析】先由立方根定义，算术平方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则进行化简，再合并计算可得结果．
此题主要是考查了立方根定义，算术平方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则，能够熟练运用各种运算法则是解答此题的关键．
22.【答案】解：原式
．
【解析】分别将算术平方根、完全平方、负指数幂计算出来，并化简即可．
计算能力是数学中要求的最基本的能力．本题考查二次根式的混合运算，比较简单，但要认真、仔细，否则很容易计算错误．
23.【答案】解：
．
【解析】根据分数指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查了实数的运算，分数指数幂，解决本题的关键是掌握分数指数幂运算法则．
24.【答案】两直线平行，同位角相等 等量代换 等式性质 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为已知，所以两直线平行，同位角相等．
因为已知，所以等量代换．
因为已知，所以等式性质．
即，所以．
所以内错角相等，两直线平行．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式性质；；内错角相等，两直线平行．
由已知平行可证明，由可证明，从而可知，进而可证明两直线平行．
本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明．
25.【答案】 全等三角形对应角相等 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 等式的性质 等量代换
【解析】解：因为已知，
所以等式性质，
即．
在和中，
，
所以≌．
所以 全等三角形对应角相等 ．
又因为 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，
即，
所以 等式的性质 ．
因为已知，
所以 等量代换 ．
如图，首先运用等式的基本性质证明；运用公理证明≌，借助全等三角形的性质证明；借助三角形外角的性质及等式的基本性质，即可证明．
该题主要考查了等式的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
26.【答案】
【解析】解：相等．作，垂足为，作，垂足为．
已知，
平行线间距离的意义
，，
，
与的面积相等．
故答案为：．
由平行线距离的意义可知，从而可证明和的面积相等，两个三角形减去公共部分剩余面积也相等，从而可证明与的面积相等．
本题考查了三角形面积、平行线的性质．本题的关键是先证明两个大三角形面积的关系．
27.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由已知可证明，从而可证明，由平行线的性质和对顶角的性质可证明．
本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明和平行．
28.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即．
【解析】证明≌，得，，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
29.【答案】， 或或
【解析】解：由题意知，，则如图所示，
点和点关于原点对称，
，
点和点纵坐标相等，
轴，
点到的距离，，
，
故答案为：，．
当≌时，
，，
此时；
当≌时，
，，
此时或；
综上所述，如果与全等，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
根据对称求出点坐标，从而可画出三角形．
由轴，可求出三角形的底的长以及三角形的高，从而可求出三角形的面积．
分成≌和≌，画出图形，即可求出点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征、三角形的全等、对称．本题的关键是根据对称求出的坐标．本题最后一问的易错点是没有考虑全面．
30.【答案】解：，
，
是的一个外角，
，
，，
，
．
；
，
，
，
设，则，
，
，
；
是的一个外角，
，
分三种情况：
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
【解析】根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得再根据等角对等边可得，即可解答；
根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
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