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2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区中国科大附中高新中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列实数中为无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．3.14
2．（4分）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体重只有0.00000043克，将数据0.00000043用科学记数法表示为（　　）
A．43×10﹣9 B．0.43×10﹣7 C．4.3×10﹣7 D．4.3×10﹣6
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x5 B．（x3）3＝x6 C．x4+x4＝x8 D．x8÷x2＝x4
4．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　）
A．m﹣2＞n﹣2 B．m+n＞2n C． D．﹣2m＞﹣2n
5．（4分）如图所示，已知直线AB，CD交于点O，EO⊥CD，垂足为O，且OB平分∠EOD，则∠AOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．（4分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣b，则a+b的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
7．（4分）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
8．（4分）若2a+3b﹣1＝0，则4a×23b的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
9．（4分）若不等式组 的整数解共有两个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1＜a＜0 D．﹣1≤a≤0
10．（4分）规定：把不超过实数x的最大整数记作[x]，例如：[2.6]＝2，[5]＝5，[﹣3.1]＝﹣4，则[π﹣4]﹣[﹣]的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
二、、填空题。（本大题共4小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）因式分解：4m2﹣4＝　 　．
12．（4分）比较大小：　 　．
13．（4分）如图，三角形ABC的面积为15，AB的长为5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 　 　．
14．（8分）已知关于x的方程 ．
（1）当a＝3时，方程的解为 　 　；
（2）若方程的解是非负数，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中 ．
18．（8分）如图，在网格图中，平移三角形ABC使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F．
（1）画出平移后的三角形DEF；
（2）连接AD、BE，则线段AD与BE的关系是 　 　．

五、解答题。（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明 GD∥CA．
（2）若DG平分∠CDB，且∠EFB＝80°，求∠A的度数．
20．（10分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为（2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多
少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝20，
x+y＝6，求图中阴影部分的面积．

六、解答题。（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．（12分）观察算式：①1×3+1＝4＝22；②2×4+1＝9＝32；③3×5+1＝16＝42；④4×6+1＝25＝52；…
根据你发现的规律解决下列问题：
（1）写出第5个算式：　 　；
（2）写出第n个算式：　 　；
（3）计算：．
22．（12分）提升居民生活质量，美化居民居住环境．某社区计划将面积为 3600m2 的区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两队共同完成．已知甲队每天完成的绿化面积是乙队每天完成的绿化面积的2倍，且甲、乙两队单独完成 600m2 的绿化面积，甲队比乙队少用3天．
（1）求甲、乙两队每天完成的绿化面积；
（2）①若 3600m2 绿化工作全部完成，乙队工作了a天，则甲队工作了 　 　天（用a的代数式表示）；
②若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且施工总费用不超过10.4万元，那么乙队至少工作多少天？
七、解答题。（本题满分14分）
23．（14分）已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E，∠ABC＝x°，∠CDE＝35°．
（1）如图1，点B在点A的左边，点C在点D的右边，求∠DAB的度数；
（2）在图1中，求∠BED的度数（用含x的式子表示）；
（3）将图1中的线段BC向右平移，使点B落在点A的右边，其它条件不变．在图2中先画出符合题意的图形，再求∠BED 与∠CBE 的度数和．
2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区中国科大附中高新中学七年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列实数中为无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．3.14
【分析】根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵＝2，
∴是有理数，不是无理数，
故A不符合题意；
B、﹣是无理数，故B符合题意；
C、0是有理数，不是无理数，故C不符合题意；
D、3.14是有理数，不是无理数，故D不符合题意；
故选：B．
本题考查了无理数，算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（4分）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体重只有0.00000043克，将数据0.00000043用科学记数法表示为（　　）
A．43×10﹣9 B．0.43×10﹣7 C．4.3×10﹣7 D．4.3×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000043＝4.3×10﹣7，
故选：C．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x5 B．（x3）3＝x6 C．x4+x4＝x8 D．x8÷x2＝x4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．x2 x3＝x5，故此选项符合题意；
B．（x3）3＝x9，故此选项不合题意；
C．x4+x4＝2x4，故此选项不合题意；
D．x8÷x2＝x6，故此选项不合题意．
故选：A．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　）
A．m﹣2＞n﹣2 B．m+n＞2n C． D．﹣2m＞﹣2n
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，正确，不符合题意；
B、∵m＞n，m+n＞2n，正确，不符合题意；
C、∵m＞n，∴＞，正确，不符合题意；
D、∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，符合题意．
故选：D．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
5．（4分）如图所示，已知直线AB，CD交于点O，EO⊥CD，垂足为O，且OB平分∠EOD，则∠AOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据垂线的定义和角平分线的定义可得∠BOD的度数，再根据对顶角相等可得∠AOC的度数．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠BOD＝∠BOE＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
故选：A．
本题考查了垂线，掌握角平分线的定义，对顶角相等，得到∠BOD的度数是解题的关键．
6．（4分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣b，则a+b的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出a、b值，再代入求出即可．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）
＝x2+3x﹣2x﹣6
＝x2+x﹣6，
∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣b，
∴a＝1，b＝6，
∴a+b＝1+6＝7，
故选：D．
本题考查了多项式乘多项式法则，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
7．（4分）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案．
【解答】解：图甲中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴可以验证成立的公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：D．
本题考查了平方差公式的几何背景，属于基础题型，比较简单．
8．（4分）若2a+3b﹣1＝0，则4a×23b的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：∵2a+3b﹣1＝0，
∴2a+3b＝1，
∴4a×23b
＝22a×23b
＝22a+3b
＝21
＝2．
故选：C．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．（4分）若不等式组 的整数解共有两个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1＜a＜0 D．﹣1≤a≤0
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有两个整数得出a的范围即可．
【解答】解：解不等式组 得：a≤x＜2，
∵不等式组 的整数解共有两个（是1和0），
∴﹣1＜a≤0，
故选：B．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出﹣1＜a≤0是解此题的关键．
10．（4分）规定：把不超过实数x的最大整数记作[x]，例如：[2.6]＝2，[5]＝5，[﹣3.1]＝﹣4，则[π﹣4]﹣[﹣]的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据[x]所表示的不超过实数x的最大整数进行计算即可．
【解答】解：根据[x]的意义可得，
[π﹣4]﹣[﹣]
＝﹣1﹣（﹣2）
＝﹣1+2
＝1，
故选：A．
本题考查估算无理数的大小，理解[x]的意义是正确解答的前提．
二、、填空题。（本大题共4小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）因式分解：4m2﹣4＝　4（m+1）（m﹣1）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4（m2﹣1）
＝4（m+1）（m﹣1）．
故答案为：4（m+1）（m﹣1）．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）比较大小：　＞　．
【分析】在分母相同的情况下，比较分子，因为﹣1＞2，所以大于．
【解答】解：∵﹣1＞2，
∴＞．
故答案为：＞．
此题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的法则是解题的关键．
13．（4分）如图，三角形ABC的面积为15，AB的长为5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 　6　．
【分析】作CP⊥AB于P，根据垂线段最短推出此时PC最小，根据三角形的面积公式求出PC．
【解答】解：作CP⊥AB于P，如图．
由垂线段最短可知，此时PC最小，
∵三角形ABC的面积为15，AB的长为5，
∴×5CP＝15，
解得，CP＝6，
即线段PC的最小值是6．
故答案为：6．
本题考查的是垂线的性质，三角形的面积，利用垂线段最短确定P点位置是解题的关键．
14．（8分）已知关于x的方程 ．
（1）当a＝3时，方程的解为 　x＝﹣1　；
（2）若方程的解是非负数，则a的取值范围是 　a＜1且a　．
【分析】（1）把a＝3代入方程，再方程两边都乘x﹣3得出3x﹣1＝x﹣3，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先求出方程的解是x＝，根据方程的解是非负数得出1﹣a＞0，求出a＜1，再根据分母x﹣3＝0求出x＝3，把x＝3代入整式方程ax﹣1＝x﹣3求出a，再得出答案即可．
【解答】解：（1）+＝1，
当a＝3时，方程为+＝1，
方程两边都乘x﹣3，得3x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣3≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）+＝1，
方程两边都乘x﹣3，得ax﹣1＝x﹣3，
解得：x＝，
∵方程的解是非负数，
∴1﹣a＞0，
∴a＜1，
∵ax﹣1＝x﹣3，
∴当x＝3时，方程为3a﹣1＝0，
解得：a＝，
∴a＜1且a．
故答案为：a＜1且a．
本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝3﹣4+4﹣1
＝2．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（8分）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜4，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中 ．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（x﹣1+）÷
＝
＝，
当时，
原式＝
＝．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（8分）如图，在网格图中，平移三角形ABC使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F．
（1）画出平移后的三角形DEF；
（2）连接AD、BE，则线段AD与BE的关系是 　AD∥BE，AD＝BE　．

【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形DEF；
（2）连接AD、BE，可得线段AD与BE的关系．
【解答】解：（1）如图即为平移后的三角形DEF；
（2）线段AD与BE的关系是：AD∥BE，AD＝BE．
故答案为：AD∥BE，AD＝BE．
本题考查作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明 GD∥CA．
（2）若DG平分∠CDB，且∠EFB＝80°，求∠A的度数．
【分析】（1）由EF∥CD证得∠1+∠ACD＝180°，根据∠1＝∠2等量代换得出∠ACD＝∠2，从而判定GD∥CA；
（2）根据GD∥CA，先证明∠2的度数，进而求出∠BDG，再进一步求出∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ACD＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ACD＝∠2，
∴GD∥CA；
（2）解：∵CD∥EF，
∴∠EFB＝∠CDB＝80°，
∵DG平分∠CDB，
∴∠BDG＝∠2＝40°，
∵GD∥CA，
∴∠A＝∠BDG＝40°．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
20．（10分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为（2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多
少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝20，
x+y＝6，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）通过运用整体求解和部分求和的方法表示图2的面积进行求解；
（2）通过计算（2a+b）（3a+2b）的结果为6a2+7ab+2b2可求解此题；
（3）根据x2+y2＝20，x+y＝6，运用完全平方公式可求得xy＝8，即可求得此题结果．
【解答】解：（1）∵图2的面积为a2+2ab+b2，
或（a+b）2，
∴由图2可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A，B，C三种纸片各6张、2张、7张；
（3）由题意得x2+y2＝20，x+y＝6，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，
即20+2xy＝62，
解得xy＝8，
∴图中阴影部分的面积为：×2＝xy＝8．
此题考查了完全平方公式数形结合问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识和方法进行求解．
六、解答题。（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．（12分）观察算式：①1×3+1＝4＝22；②2×4+1＝9＝32；③3×5+1＝16＝42；④4×6+1＝25＝52；…
根据你发现的规律解决下列问题：
（1）写出第5个算式：　5×7+1＝36＝62　；
（2）写出第n个算式：　n（n+2）+1＝（n+1）2　；
（3）计算：．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解．
【解答】解：（1）由题意得：第5个算式为：5×7+1＝36＝62，
故答案为：5×7+1＝36＝62；
（2）由题意得：第n个算式为：n（n+2）+1＝（n+1）2，
故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
（3）．
＝××××…×
＝××××…×
＝××××…××
＝×
＝．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用．
22．（12分）提升居民生活质量，美化居民居住环境．某社区计划将面积为 3600m2 的区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两队共同完成．已知甲队每天完成的绿化面积是乙队每天完成的绿化面积的2倍，且甲、乙两队单独完成 600m2 的绿化面积，甲队比乙队少用3天．
（1）求甲、乙两队每天完成的绿化面积；
（2）①若 3600m2 绿化工作全部完成，乙队工作了a天，则甲队工作了 　　天（用a的代数式表示）；
②若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且施工总费用不超过10.4万元，那么乙队至少工作多少天？
【分析】（1）设乙队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为600m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①根据工作量÷工作效率＝工作时间列代数式即可；
②根据总费用＝甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过10.4万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
根据题意得﹣＝3，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
∴2x＝200．
答：甲队每天能完成绿化的面积为200m2，乙队每天能完成绿化的面积为100m2；
（2）①设乙工程队需工作了a天，则甲队工作了天，
故答案为：；
②根据题意得0.6×+0.25a≤10.4，
解得：a≥8．
答：乙队至少工作8天．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
七、解答题。（本题满分14分）
23．（14分）已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E，∠ABC＝x°，∠CDE＝35°．
（1）如图1，点B在点A的左边，点C在点D的右边，求∠DAB的度数；
（2）在图1中，求∠BED的度数（用含x的式子表示）；
（3）将图1中的线段BC向右平移，使点B落在点A的右边，其它条件不变．在图2中先画出符合题意的图形，再求∠BED 与∠CBE 的度数和．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得答案；
（2）根据角平分线的定义、平行线的性质以及图形中角的和差关系可得答案；
（3）利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠CDE＝70°，
∵a∥b，
∴∠DAB＝∠ADC＝70°；
（2）如图1，过点E作EM∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥EM，
∴∠DEM＝∠CDE＝35°，∠MEB＝∠ABE，
∵AE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝x°，
∴∠BED＝∠BEM+∠MED
＝35°+x°；
（3）如图2，∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝x°，
∵a∥b，
∴∠BFC＝∠ABF＝∠CBF＝x°，
∴∠BED+∠CBE＝∠CDE+∠DFE+∠CFE
＝35°+180°
＝215°．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．

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